中学数学复习证明题专项练习.docx
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中学数学复习证明题专项练习
数学
1.如图||,在平面直角坐标系中||,已知矩形OABC的顶点A(8||,0)||,C(0||,4)||,点P是OA边上的动点(点P与点O、A不重合)||,将△PAB沿PB翻折得到△PDB||,PD与BC交于点M.
(1)判断△BMP的形状||,并证明||;
(2)在OC边上选取适当的点E||,将△POE沿PE翻折得到△PFE||,使PF与PD重合.设P(x||,0)||,E(0||,y)||,求y关于x的函数关系式||,并求y的最大值||;
(3)在
(2)的条件下||,当点F恰好落在边CB上时||,请直接写出点P的坐标.
1.解:
(1)△BMP为等腰三角形.
证明如下:
∵将△PAB沿PB翻折得到△PDB||,
∴∠MPB=∠APB||,
∵BC∥OA||,
∴∠MBP=∠BPA||,
∴∠MPB=∠MBP||,
∴MP=MB||,
∴△BMP为等腰三角形||;
(2)由已知PB平分∠APD||,PE平分∠OPF||,PD与PF重合||,
∴PB⊥PE||,则∠BPE=90°||,
∴∠OPE+∠APB=90°||,
又∵∠APB+∠ABP=90°||,
∴∠OPE=∠ABP||,
∴Rt△POE∽Rt△BAP||,
∴
=
||,即
=
||,
∴y关于x的函数关系式为y=
x(8-x)=-
x2+2x=
-
(x-4)2+4(0 ∴当x=4时||,y有最大值为4||; (3)点P的坐标为(4||,0)或( ||,0). 【解法提示】如解图||,过P作PN⊥CB于N||, 第1题解图 ∴∠ECF=∠FNP=90°||, ∴∠CEF+∠EFC=90°||, ∵∠EFC+∠PFN=90°||, ∴∠CEF=∠NFP||, ∴△CEF∽△NFP||, ∴ = ||, ∵CF= = =2 ||, ∴ = ||,由 (2)得 = ||, 即2y-4= ||, 将y=- x2+2x代入得: 8(- x2+2x)-16=x2-16x+64||, 整理得3x2-32x+80=0||, 解得x1=4||,x2= ||, ∴点P的坐标为(4||,0)或( ||,0). 2.如图||,在△ABC中||,AB=AC||,过点C作CG⊥BA||,交BA的延长线于点G||,一等腰直角三角尺的一条直角边与AC在同一直线上||,该三角尺的直角顶点为F. (1)如图①||,当另一条直角边恰好经过点B时||,求证BF=CG||; (2)将三角尺沿AC方向平移到图②位置时||,另一条直角边交BC于点D||,过点D作DE⊥BA于点E||,试探究线段DE、DF与CG之间满足的等量关系||,并说明理由||; (3)如图③||,将三角尺继续沿AC方向平移(点F不与点C重合)时||,若AG∶AB=5∶13||,BC=4 ||,请直接写出DE+DF的值. 第2题图 2. (1)证明: 如解图①||, 第2题解图① ∵BF⊥AC||,CG⊥AB||, ∴S△ABC= AC·BF= AB·CG||, ∵AB=AC||, ∴BF=CG||; (2)解: DE+DF=CG||; 理由: 如解图②||,连接AD||, 第2题解图② ∵DF⊥AC||,DE⊥AB||,CG⊥AB||, ∴S△ACD= AC·DF||,S△ABD= AB·DE||, S△ABC= AB·CG||, ∵S△ACD+S△ABD=S△ABC||, ∴ AC·DF+ AB·DE= AB·CG||, ∵AB=AC||, ∴DE+DF=CG||; (3)DE+DF的值为8. 【解法提示】如解图③||,连接AD||, 第2题解图③ 同 (2)可得: DE+DF=CG||, 设AG=5x||, ∵AG∶AB=5∶13||,AB=AC||, ∴AC=AB=13x||, ∵∠G=90°||, ∴GC= =12x||, 在Rt△BGC中||, ∵BG=AB+AG=13x+5x=18x||,GC=12x||,BC=4 ||, ∴(18x)2+(12x)2=(4 )2||, 解得x= (负值舍去)||, ∴DE+DF=CG=12x=8. 3.如图||,在等边△ABC中||,AD是BC边上的中线||,点P是直线AD上的动点(不与点A、D重合)||,连接BP||,将线段BP绕点P逆时针旋转60°||,得到线段PM||,连接CM. (1)如图①||,当点P在线段AD上时||,直接写出线段AP与CM的数量关系||; (2)如图②||,当点P在AD的延长线上时||, (1)中结论是否成立? 若成立||,请加以证明||;若不成立||,请说明理由||; (3)如图③||,当点P在AD的延长线上||,∠AMC=45°时||,若AB=2||,请直接写出线段AP的长. 第3题图 3.解: (1)AP=CM||; 【解法提示】如解图①||,连接BM||,由旋转的性质可得BP=MP||,∠BPM=60°||, 第3题解图① ∴△BPM是等边三角形||, ∴BP=BM||, ∵△ABC是等边三角形||, ∴AB=BC||, ∵∠ABP+∠CBP=∠CBP+∠CBM||, ∴∠ABP=∠CBM||, ∴△ABP≌△CBM(SAS)||, ∴AP=CM||; (2) (1)中结论仍成立. 证明: 如解图②||,连接BM||, 第3题解图② 由旋转性质得BP=MP||,∠BPM=60°||, ∴△BPM是等边三角形||, ∴BP=BM||, ∵∠ABC=∠MBP=60°||, ∴∠ABP=∠CBM||, ∵AB=CB||, ∴△ABP≌△CBM||, ∴AP=CM||; (3)AP=2. 【解法提示】 如解图③||,连接BM. 第3题解图③ 由 (2)得△ABP≌△CBM||, ∵AD为BC边上的中线||, ∴∠BCM=∠BAP=30°||, ∵∠ACB=60°||,∴∠ACM=90°||, ∵∠AMC=45°||,AC=AB=2||, ∴CM=2||, ∴AP=CM=2. 4.如图①||,在菱形ABCD和等边三角形BGF中||,∠ABC=60°||,点G在BC边上||,点P是DF的中点||,连接PG、PC. (1)判断PG与PC的关系||,并证明||; (2)将△BGF绕点B顺时针旋转60°||,如图②||,线段PC、PG还满足 (1)中的结论吗? 写出你的猜想||,并给出证明||; (3)若将△BGF绕点B顺时针旋转120°||,如图③||,连接CG||,PC= ||,请直接写出CG的长. 第4题图 4.解: (1)PC⊥PG||,PG= PC||; 证明: 如解图①||,延长GP交DC于点E||, 第4题解图① ∵点P是DF的中点||, ∴DP=FP||, ∵△BGF是等边三角形||, ∴∠FGB=60°||, ∴∠CGF=180°-60°=120°||, 又∵在菱形ABCD中||,∠ABC=60°||, ∴∠DCG=120°||, ∴DC∥GF||, ∴∠PDE=∠PFG||, 在△PED和△PGF中||, ||, ∴△PED≌△PGF(ASA)||, ∴PE=PG||,DE=FG||, ∵DC=BC||, ∴DC-DE=BC-FG=BC-BG||, 即CE=CG||, ∴CP是EG的中垂线||, 即PC⊥PG||, 在Rt△CPG中||,∠PCG=60°||, ∴PG= PC||; (2)猜想仍满足 (1)中结论. 证明: 如解图②||,延长GP交DA于点M||,连接MC||,GC||, 第4题解图② ∵点P是线段DF的中点||, ∴DP=FP. ∵∠ABC=60°||,∠CBG=60°||,△BGF是等边三角形||, ∴点F在AB的延长线上||,∠BFG=60°||, ∴GF∥BC∥AD||, ∴∠MDP=∠GFP||, 在△DPM和△FPG中||, ||, ∴△DPM≌△FPG(ASA)||, ∴PM=PG||,DM=FG=BG||, 在△CDM和△CBG中||, ||,∴△CDM≌△CBG(SAS)||, ∴CM=CG||,∠DCM=∠BCG||, ∴∠MCG=∠DCB=120°||, ∵PM=PG||, ∴PC⊥PG||,∠PCG= ∠MCG=60°||, ∴PG= PC||; (3)CG的长为2 . 【解法提示】如解图③||,延长GP到点H||,使PH=PG||,连接CH||,DH||,过点F作FN∥DC||, 第4题解图③ ∵∠ABC=60°||,∠CBG=120°||,△BFG是等边三角形||, ∴点G在AB的延长线上||,点F在CB的延长线上||, ∵点P是线段DF的中点||,∴FP=DP||, 在△GFP和△HDP中||, ||, ∴△GFP≌△HDP(SAS)||, ∴GF=HD||,∠GFP=∠HDP||, ∴GF∥HD. ∵FN∥AG∥DC||, ∴∠GFN=∠GFP+∠PFN=120°||, ∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=∠GFP+∠PFN=120°||, ∵△BFG是等边三角形||, ∴GF=GB||,∴HD=GB||, 在△HDC和△GBC中||, =120°||, ∴△HDC≌△GBC(SAS)||, ∴CH=CG||,∠DCH=∠BCG||, ∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°||, 即∠HCG=120°||, ∵CH=CG||,PH=PG||, ∴PG⊥PC||,∠GCP=60°||, ∵PC= ||,∴CG=2 . 5.问题情境 在Rt△ABC中||,∠BAC=90°||,AB=AC||,点E是直线AC上的一个动点(不与A、C重合)||,以CE为一边作Rt△DCE||,使∠DCE=90°||,且CD=CA.沿CA方向平移△CDE||,使点C移动到点A||,得到△ABF.过点F作FG⊥BC||,交线段BC于点G||,连接DG、EG. 深入探究 (1)如图①||,当点E在线段AC上时||,小文猜想GC=GF||,请你帮他证明这一结论||; (2)如图②||,当点E在线段AC的延长线上||,且CE<CA时||,猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系||,并证明你的猜想||; 拓展应用 (3)如图③||,将 (2)中的“CE<CA”改为“CE>CA”||,若设∠CDE=α||,请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可||,不必证明). 第5题图 5. (1)证明: ∵在Rt△BAC中||, ∠BAC=90°||,AB=AC||, ∴∠BCA=∠ABC=45°||, ∵FG⊥BC||, ∴∠FGC=90°||, ∴∠GFC=90°-∠GCF=45°||, ∴∠GFC=∠GCF||, ∴GC=GF||; (2)解: DG=EG||,DG⊥EG||; 证明: 同 (1)可证GC=GF||, ∵∠DCF=90°||,∠BCA=45°||, ∴∠DCG=45°||, ∵∠GFC=45°||, ∴∠DCG=∠EFG||, ∵△CDE平移得到△ABF||, ∴CE=AF||, ∴CE+CF=AF+CF||,即EF=AC||, ∵AC=CD||, ∴EF=CD||, ∴△DCG≌△EFG(SAS)||, ∴DG=EG||,∠DGC=∠EGF||, ∴∠DGC-∠EGC=∠EGF-∠EGC||, 即∠DGE=∠CGF=90°||, ∴DG⊥EG||; (3)∠CGE=180°-α. 【解法提示】同 (1)可证GC=GF||,同 (2)可证DG=EG||,DG⊥EG||,∴∠DGE=90°||,∠DEG=∠EDG=45°||,∵∠CDE=α||,∴∠GDC=α-45°||,∵∠GCF=∠ACB=45°||,∠DCF=90°||,∴∠DCG=90°+45°=135°||,∴∠DGC=180°-135°-(α-45°)=90°-α||,∴∠CGE=90°+∠DGC=180°-α. 6.问题情境 在矩形ABCD中||,AD=12||,AB=4||,在BC上分别取点P、Q||,使BP=CQ||,连接AP、DQ||,将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得到△AMP、△DNQ||,连接MN. 独立思考 如图①||,过点M作ME⊥BC于点E||,过点N作NF⊥BC于点F. (1)求证: ME=NF||; (2)试探究线段MN与BC满足的位置关系||,并说明理由||; (3)若BP=3||,求MN的长||; 拓展延伸 (4)如图②||,当点P与点Q重合时||,直接写出MN的长. 第6题图 6. (1)证明: ∵四边形ABCD是矩形||, ∴∠B=∠C=90°||,AB=CD||, ∵在△ABP和△DCQ中||, ∴△ABP≌△DCQ||,∴∠APB=∠DQC||, 由折叠的性质得∠MPE=180°-2∠APB||,∠NQF=180°-2∠DQC||,MP=BP||,NQ=CQ||, ∴∠MPE=∠NQF||,MP=NQ||, ∴在△MEP和△NFQ中||, ∴△MEP≌△NFQ||, ∴ME=NF||; (2)解: MN∥BC. 理由: ∵ME⊥BC||,NF⊥BC||, ∴ME∥NF||, ∵由 (1)知ME=NF||, ∴四边形EFNM是矩形||, ∴MN∥BC||; (3)解: 如解图①||,延长EM、FN交AD于点G、H||, 第6题解图① ∵AB=4||,BP=3||, ∴AM=4||,PM=3||, ∵AD∥BC||,∴EM⊥AD||, ∵∠AMP=∠MEP=∠MGA||, ∴∠EMP=∠GAM||, ∴△EMP∽△GAM||, ∴ = = = . 设AG=4a||,MG=4b||,则EM=3a||,EP=3b||, ∵∠BAG=∠B=∠BEG=90°||, ∴四边形ABEG是矩形||, ∴ ||,解得 ||, ∴AG= ||, ∵由 (1)△MEP≌△NFQ||,∴PE=FQ||, ∵BP=CQ||,∴BE=CF||, ∴DH=AG= ||, ∴MN=AD-2DH= ||; (4) . 【解法提示】如解图②||,设PM、PN分别交AD于点E、F.由折叠的性质得∠EPA=∠APB||,∵四边形ABCD是矩形||,∴∠EPA=∠APB=∠PAE||,∴EA=EP.设EA=EP=x||,在Rt△AME中||,42+(6-x)2=x2||,解得x= ||,∴EF=12-2× = ||,∵EF∥MN||,∴△PEF∽△PMN||,∴ = ||,即 ||,解得MN= . 第6题解图②
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