1、工程电磁场教案国家精品课华北电力学院崔翔第2章第二部分24 电介质中的电场1电位移矢量由高斯定理，得整理得 (0E + P)= 定义电位移矢量： D =0E + P = 0(1+e)E = E其中， = 0(1+e)= r0， r = /0 =(1+e)2介电常数上式分别给出了介质的介电常数和相对介电常数。从而电介质中电场问题可简洁地归结为场量D、E或位函数 的定解问题。例1：同轴电缆其长度L远大于截面半径，已知内、外导体半径分别为a和b。其间充满介电常数为的介质，将该电缆的内外导体与直流电压源U0相联接。试求：(1)介质中的电场强度E；(2)介质中Emax位于哪里？其值多大？ 解：（1）设内
2、、外导体沿轴线方向线电荷密度分别为+ 和-。由应用高斯定理，得即 所以 (a b)由因为 则 得 (a r1，则E1E2。在实际中，如果因制造工艺上的不完善性，使极板与绝缘材料间留有一空气层，设绝缘材料的相对介电常数为r2，则空气层中电场强度E1将为绝缘材料中电场强度E2的 r2倍，这很容易由于空气层被击穿而导致电容器的损坏。25 边值问题1泛定方程 由 D = 、D =E 和E = -，得 D = E = - = = = -对于均匀介质 为常数，得2 = -/上式称为电位 的泊松方程，式中，称为拉普拉斯算子，在直角坐标系中2 对于场中无自由电荷分布( = 0)的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方
3、程，即2 = 02边界条件第一类边界条件（狄利赫莱条件）：场域边界S上的电位分布已知，即式中rb为相应边界点的位置矢量。它与泛定方程构成第一类边值问题。 第二类边界条件（纽曼条件）：场域边界S上电位的法向导数分布已知，即当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。它与泛定方程构成第二类边值问题。 第三类边界条件（混合条件）：场域边界S上电位及其法向导数的线性组合已知，即它与泛定方程构成第三类边值问题。无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界电场问题，在无限远处有即电位 在无限远处趋于零， (r)| r= 0介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称
4、为辅助的边界条件。静电场边值问题：就是在给定的边界条件下，求解满足泊松方程或拉普拉斯方程的电位函数。3直接积分法对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微分方程的定解问题。这时可以直接积分求解电位函数。例1：图示二块半无限大导电平板构成夹角为的电极系统。设板间电压为U0，试求导电平板间电场。 解：本例为平行平面场问题，选极坐标系进行分析。显然电位仅是变量的函数，可以写出如下的第一类边值问题：将泛定方程直接积分二次，得通解为 = C1 + C2由给定的两个边界条件，得 ， C2 = 0所以 例2：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布
5、，设电荷体密度为解：设球状电荷分布内、外的电位分别为 1和 2，显然， 1满足泊松方程， 2满足拉普拉斯方程。由于电荷分布的球对称性，选球坐标系，有 (0 0和-mn2 0时 X(x)=A1nchmnx + A2nshmnx； Y(y)=B1ncosmny + B2nsinmny 当= -mn2 1时的电场分布图。值得注意的是，此时E1E0，这表明若电介质内部有细长的空气泡是，则气泡内的电场强度增强，可能导致击穿绝缘损坏。5唯一性定理 本段将证明满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这也称作静电场的唯一性定理。 如图所示为充满均匀介质和置有n个导体的场域。场域空间V的边界为S1
6、，S2，Sn 及外边界面S0。设V中存在两个电位函数 1和 2 ，对于给定第一类或第二类边界条件，均满足泊松方程，即， 令 d = 1- 2，因此2 d = 0利用格林公式令 = = d，代入上式得如图所示，上式场域V的边界面SS0 + S1 + S2 + + Sn 。如果所设的这两个不同的电位函数的解答 1和 2，在全部边界面上都应有相同的第一类边界条件或第二类边界条件，则它们在相应边界面Si上的差值或。代入上式，有这说明，场域V内 d的梯度处处为零，即V内所有场点上的 d值与其在各导体表面S1、S2、Sn上的值是相同的。对于第一类边值问题，由于在导体表面上已知 d =0,所以整个场域内必有
7、 d =0，由此得证 1 = 2，即解唯一。对于第二类边值问题而言，即已知各导体表面上的面电荷分布，此时 d = C，即电位 1和 2之间可能相差一个常数，但采用相同的电位参考点将导致C=0，所以解仍是唯一的。 静电场唯一性定理的重要意义在于，求解静电场问题时，不论采用哪一种解法，只要在场域内满足相同的偏微分方程、在边界上满足相同的给定边界条件，就可确信其解答是正确的。26 镜象法镜象法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜象(等效)电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程得以简化。根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引
8、入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变。通常这些等效电荷位于镜象位置，故称镜象电荷，由此构成的分析方法即称为镜象法。1 对无限大接地导电平面的镜像点电荷情况：设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处，其周围介质的介电常数为，如图所示。显然，电位函数在场域内满足如下边值问题 2 = 0 (除去点电荷所在点)边界条件为 |y=0 = 0可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜象对称的点电荷q= -q，并将原来的导体场域由介电常数为 的介质所替换。这样，原场域边界面(z = 0)上的边界条件 = 0保持不变，而对应的边值问题被简化为同一均匀介质空间内两个点电荷的电场计
9、算问题。根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域。应用镜像法，得待求电位为无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为式中负号表示感应电荷与点电荷q的极性相反。对感应电荷作面积分，得上式表明镜象电荷q确实等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷。此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为的整数分之一的情况。如图所示夹角为/3的导电劈可以引入5个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件。线电荷情况：图示线电荷及其镜像电荷如图示。由高斯定理得P点的电场强度为图 线电荷的镜象(a)线电荷对无限大接地平面(b) 线电荷的镜象-+o yP(x,y)介
10、质0导体xb1DD(-b,0) yP(x,y)0x+10(b,0)2e2e1o现任取Q点为电位参考点，则P点电位为设在无限大接地导电平面上，即1 = 2时， = 0，即电位参考点Q应选在接地导电平面上，所以C = 0。由上式，场中任意点电位为由上式，可以进一步获得其等位线分布。按等位线定义有 2/1=K，平方得整理，得显然，上式为直角坐标系中圆的方程。所以在xoy平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆。对应于某一给定的K值，圆心坐标是，圆半径是。对于每个等位圆轨迹而言，圆半径a、圆心到原点的距离h和线电荷至原点的距离b三者间关系为h2 = a2 + b2亦即， a2 = h2 - b2 =(
11、h + b)(h - b)这表明，两线电荷()位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关系。此外，当P点位于y轴右侧时，因2/1=K1， P皆为正值；当P点位于y轴左侧时，则 P 皆为负值。2对无限大介质平面的镜像(a) 无限大介质平面上的点电荷 q2en1D1hD2q(b) 上半空间电场计算的镜象E1E1tPrE1D1h(c)下半空间电场计算的镜象E222E2tPr qE2nD2h图 无限大介质平面镜像 点电荷情况：对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜象法。上下半无限空间中的电场是由点电荷q及其分界面上的束缚电荷共同产生的。对于介质为1的上半空间的电场计算，其分界面上的
12、束缚电荷可归结为在均匀介质1中镜像点电荷q；对于介质为2的下半空间的电场计算，其分界面上的束缚电荷可归结为在均匀介质2中点电荷q-q。镜象电荷q和q的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下。对于分界面上任意点P，由其上的边界条件E1t= E2t和D1n= D2n，得解得对于线电荷与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。3电轴法两半径相同的圆柱导体电场：基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题。此时，尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布(线密度)是相同的，圆柱导体表面为等位面。若设想圆柱导体表面与线
13、电荷对应的等位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如(a) 同半径两线输电线系统(b) 电轴法图示 yxaaho-+Dhbb图 电轴法xaahho y-+Dd图所示。为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法。设圆柱导体半径为a，间距为2h，电轴间距为2b。三者之间的关系为例1：半径为a的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为h，对地电位为U0，如图所示。试求：(1)大地上方传输线的电场；(2)场域最大电场场强的位置及其数值。解：(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得大地上方任意场点P处的电位为由传输线表面点A的电位
14、U0，得 = 大地上方任意场点P处的电位为(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A处，有两半径不同的圆柱导体电场：如图所示，设两平行长直圆柱导体半径分别为a1和a2，对于图（a）其轴心距d = h1 +h2，对于图（b）其轴心距为d = h2 -h1(设a2 a1)。可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。其关键问题仍然是确定等效电轴的位置。显然h12 = b2 + a12 ， h22 = b2 + a22 , d= h2 h1已知a1、a2和d，联立求解上式三个方程得xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2bb+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴
15、法图示h2bb+图 半径不同圆柱导体的电轴法，4对导体球的镜像导体球接地情况：如图所示，设导体球半径为a，点电荷q至球心距为d。设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为-q且位于球内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为b。在导体球表面上任取一点P，得 = 整理，得 q2(a2+b2)-q2(a2+d2)+2a(q2d- q2b)cos = 0上式对于任意的值恒成立，故有解得可以看出，点电荷q和其镜象电荷-q的位置，满足球反演的几何关系。根据q及-q即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布。可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于-q。 导体球不接地情况：此时如导体球原不带净电荷，即呈中性
16、，为使导体球表面上等电位，除引入镜象电荷-q外，还应在原导体球的球心处再引入一个镜象电荷q= q。同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的一端距球心为d。求导体球壳上总的感应电荷。解：应用点电荷对接地导体球的镜像，有元电荷为 dt，元电荷的位置为d+t；镜像元电荷为dx=-a dt/(d+t)，镜像元电荷的位置为x+ a2/d=a2/(d+t)。所以，导体球壳上总的感应电荷为图 线段电荷的镜像27 电容与部分电容电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，在是电网络中电
17、容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现。一般而言，需要借助于电场分析来计算。1两导体的电容一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷q计算其电场分布和其间电位差U或给定两导体间电位差U，通过计算其电场分布和其携带的电荷q，最后按定义计算电容C = q/U。例1：两半径为a、轴心距为d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容。解：应用电轴法，令h=d/2。首先确定电轴位置，基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点A1(h-a, 0)和点A2(-h+a, 0)的电位差为从而，均匀传输线的单位长度电容通常有h a，此时bh，故此外，对于h a的情况，也可以采用高斯
18、定理计算。设均匀传输线单位长线电荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为两导体间的电位差为显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同。从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数。2部分电容对于多导体需要引入部分电容概念。静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体。现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统。令各导体按0 - n顺序编号，其相应的带
19、电量分别为q0，q1，qk，qn。由定义，知q0 + q1 + + qk + + qn = 0选0号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为写成矩阵形式，为=q式中，系数ij 称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解式中，ii 称为自有电位系数，ij(ij)称为互有电位函数。显然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常数有关。当给出各个导体的电位时，有前式，得q=-1=或 式中，系数 ij 称为感应系数，与电位系数之间的关系为式中，是行列式，Aji是相应的代数余子式。ii 称为自有感应系数，ij j(ij)称为互有感应系数，即显然，感应系数也只
