1、初中数学常用的概念公式和定理初中数学常用的概念、公式和定理 1. 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:3, ,0.231,0.737373, , .无限不环循小数叫做无理数.如:, ,0.1010010001(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数.2. 绝对值:a0 丨a丨=a;a0 丨a丨=a.如:丨 丨= ;丨3.14丨=3.14.3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.4.把一个数写成a10
2、n的形式(其中1a0,b0).如:(3 )2=45. =6.a0时,方程有两个不相等的实数根;当=0时,方程有个相等的实数根;当0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k0时,开口向上;a0时,开口向下.顶点坐标是( , ),对称轴是直线x= .特别:抛物线y=a(xh)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.注意:求解析式的设法已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(xh)2+k;已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(xx1)(xx2
3、).19.抛物线与x轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.20.统计初步:(1)概念:所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(2)公式:设有n个数x1,x2,xn,那么:平均数 = (x1+x2+xn).方差S2= (x1 )2+(x2 )2
4、+(xn )2.( 是整数时用)S2= (x12+x22+xn2)n( )2.注:各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式.若将n个数x1,x2,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x1,x2,xn,那么原来那组数的方差S2=这组新数的方差,平均数 =a+ ,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差(3)频率:把一组数分成若干个小组,组距=(最大值最小值)组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1
5、.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.21.锐角三角函数:设A是Rt的任一锐角,则A的正弦:sinA= ,A的余弦:cosA= ,A的正切:tanA= ,A的余切:cotA= .并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0sinA1,0cosA0,ctgA0.A越大,A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.余角公式:sin(900A)=cosA,cos(900A)=sinA,tg(900A)=ctgA,ctg(900A)=tgA.特殊角的三角函数值:sin300=cos600= ,sin450=
6、cos450= ,sin600=cos300= ,sin00=cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600= ,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300= ,tg00=ctg900=0.斜坡的坡度i= = .设坡角为,则i=tg= .22.三角形:(1)在一个三角形中:等边对等角,等角对等边.(2).证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在Rt中,斜边上的中线等于斜边的一半.(4)证明一个三角形是直角三角形的方法有:先证明有一个角等于900.先证明最长边的平方等于另两边的平方和.先证明一条边的中线等于这条边的一半.(5
7、)三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半.(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.23.四边形:(1)n边形的内角和等于(n2)1800,外角和等于3600.(2)平行四边形的性质:对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.(3)证明一个四边形是平行四边形的方法有:先证两组对边平行.先证两组对边相等.先证一组对边平行且相等.先证两条对角线互相平分.先证两组对角分别相等.(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等.(5)证明一个四边形是矩形的方法有:先证明它有三个角是直角.先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等
8、.(6)证明一个四边形是菱形的方法有:先证明它的四条边相等.先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直.(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.(8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.(9)轴对称图形有:线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.24.证明两个三角形相似的方法有:先证两组对应角相等.先证两边对应成比例并且夹角相等.先证三边对应成比例.先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的
9、比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方.25.平行切割定理:如图1,DEBC = .如图2,若ABCDEF则 = , = .26.射影定理:如图3,ABC中,若ACB=900,CDAB,则:AC2=ADAB.BC2=BDBA.AD2=DADB.27.圆的有关性质:(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:经过圆心;垂直弦;平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具备,时,弦不能是直径.(2)两条平行弦所夹的弧相等.(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等
10、.(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.(8)同弧或等弧所对的圆周角相等.(9)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(10).900的圆周角所对的弦是直径.(11)圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.28.直线和圆的位置关系:(1)若O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:dr 直线L和O相离.(2)切线的判定定理:经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.反之:切线垂直过切点的半径.(3)切线长定理,弦切角定理,相交弦定理及其推论,切割线定理
11、及其推论.(4)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.(5)Rt的内切圆的半径R内= ,任意多边形的内切圆的半径R内= .(6)圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和.29.圆和圆的位置关系:(1)设两圆半径为R和r,圆心距为d,则:dR+r 两圆外离.d=R+r 两圆外切.RrdR+r(Rr) 两圆相交.d=Rr 两圆内切.dRr 两圆内含.30.圆中常作的辅助线:(1)两圆相交,常作公共弦,连心线.(2)两圆相切,常作公切线,连心线.(3)已知切线,常过切点作半径.(4)已知直
12、径,常作直径所对的圆周角.(5)求解有关弦的问题,作弦心距.(6)弧的中点常和圆心连结.31.各顶点等分圆周 正n边形 各边相等,各角相等,且每个内角= 度,中心角=外角= 度.32.面积公式:S正= (边长)2.S平行四边形=底高.S菱形=底高= (对角线的积)S圆=R2.C圆周长=2R.弧长L= .S扇形= = LR.S圆柱侧=底面周长高.S圆锥侧= 底面周长母线=rR,并且2r= (如上图).初中代数 【实数的分类】【自然数】表示物体个数的1、2、3、4等都称为自然数【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了
13、它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。 从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。【方根】如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。【开方】求一数的方根的运算叫做开方。【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的
14、n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。【代数式的分类】【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式初中数学概念总结（几何部分）1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有
15、且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻
16、的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平
17、分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上
18、的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a
19、2+b2=c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360 49四边形的外角和等于360 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）180 51推论 任意多边的外角和等于360 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边
20、形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形
21、的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他
22、直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）2 S=Lh 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果ab=cd,那么(ab)b=(cd)d 85 (3)等比性质 如果ab=cd=mn(b+d+n0),那么 (a+c+m)(b+d+n)=ab 86
23、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93
24、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值
25、101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 11
