1、高中数学 幂函数零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义学生版2019-2020年高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块三 函数的应用完整讲义（学生版）典例分析题型一：正比例、反比例和一次函数型【例1】 某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是 元.【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】 1200【例2】 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 . 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 【答案】【例3】 某地区199
2、5年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到xx年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从xx年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底xx年底xx年底xx年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.xx0.40000.60010.79991.0001【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）由表观察知，沙漠面积增
3、加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到xx年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到xx年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。【答案】（1）98（
4、万公顷）（2）xx年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷【例4】 已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明 其中和均为常数；【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】xx年，安徽理，高考【解析】 （）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。【答案】（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。【例5】 某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0
5、.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设摊主每天从报社买进x份，显然当x250，400时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润y为，x250，400因函数y在250，400上为增函数，故当x = 400时，y有最大值825元.【答案】当x = 400时，y有最大值825元【例6】 某地区上年
6、度电价为0.8元/kWh，年用电荷量为a kWh，本年度计划将电价降到0.55元/ kWh至0.75元/ kWh之间，而用户期望电价为0.4元/ kWh.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/ kWh. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20% (注：受益实际用电量(实际电价成本价)？【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)，下调电价后新增的用电荷量为本
7、年度用电荷量为受益实际用电量(实际电价成本价)，(2)，上年受益，解得 即最低电价应定为元/ .答：关系式为，最低电价为元/ .【答案】（1），（2）最低电价为元/ .【例7】 我国从1990年至xx年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：年份19901991199219931994199519961997xxxxxx生产总值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测xx年我国的国内生产
8、总值.【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由表中数据作出散点图，如右图所示.根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择1990年、xx年的数据代入，得，解得.所以，近似的函数模型为.当x=xx时，y=160209.6，即预测xx年我国的国内生产总值为160209.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.【答案】预测x
9、x年我国的国内生产总值为160209.6亿元题型二：二次函数型【例8】 一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（xN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x年468（万元）7117【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 表中已给出了二次函数模型，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则。解得a=1，b=12，c=-25，即。又而取“=”的条件为，即x=5，故选（B）。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次
10、函数的结论和性质，解决好实际问题。【答案】B【例9】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？刹车时车速v/km/h153040506080刹车距离s/m1.237.3012.218.4025.8044.40【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中
11、的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是。（代入其他数据有偏差是许可的）将s=15.13代入得，解得v45.07。所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h【例10】 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每
12、增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】xx年，北京，高考春【解析】 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x4050）2+307050.所以，当x=4
13、050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。【答案】（1）租出了88辆，（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元【例11】 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)，已知4月份该
14、产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)利用二次函数模型，设由已知条件可得方程组：，解得把4月份代入可得(2)用模型2，即指数模型把1，2，3月分别代入可得方程组如下： 解方程组可得：，综上可知用模型好.答：用模型作为模拟函数较好.【答案】用模型作为模拟函数较好【例12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费
15、用最省？此时的总费用为多少？【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为k，则：，设航速为每小时海里使最省，则：航行的总费用为当，即时取最小值.答：当航速满足时，费用最小，其最小值为.【答案】当航速满足时，费用最小，其最小值为【例13】 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获
16、得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=x，q=. 现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？【考点】二次函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9x万元. 设利润为y万元，. y=， 当=2,即x=4时，ymax=1.3.所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.【例14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋
17、糕成本增加的百分率为x(0x70，得n9.4，取n=10。所以到xx年可以收回全部投资款。点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。【答案】到xx年可以收回全部投资款【例18】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图210中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图210中（2）的抛物线表示.图210（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上
18、市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102 ，g，时间单位：天）【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】xx年，全国，高考【解析】 （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）（t150）2100，0t300（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）f（t）g（t），即h（t）当0t200时，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，当t50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h（t）（t350）2100，所以，当t300时，h（t）取得区间（2
19、00，300上的最大值87.5.综上，由100875可知，h（t）在区间0，300上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【答案】（1）f（t）g（t）（t150）2100，0t300（2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【例19】 某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(
20、在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：当时：即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；当时：此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.答：定价为20元可获日最大利润.【答案】定价为20元可获日最大利润【例20】 中国青年报xx年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.
21、 具体方案如下：方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030 原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动xx年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分
22、钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】xx年，北京，高中数学知识应用竞赛【解析】 (1) （2）当0t600时，解不等式50+0.4t268，得545t600（tN），当t600时，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600t1040(tN)，综上，545t1040时（tN），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4320），所以，不会选择月 租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.第
23、一种方式的话费为：30+0.6（320-48）=193.2（元）；第二种方式的话费为：98+0.6（320-170）=188（元）；第三种方式的话费为：168元.故选择第三种方式.事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.【答案】(1) （2）第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.（3）第三种方式【例21】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据进一
24、步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）当时，；当时，此时在曲线上， ，这时. 所以.（2），即， 解得 ， . 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. 生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题理解建模转化求解问题检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型来研究. 【答案】（1）（2）小时【例22】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,免征个人所得税，超过800
25、元部分需征税. 设全月纳税所得额为x，x=全月总收入800元，税率见下表：级 数全月纳税所得额税 率1不超过500元部分5%2超过500元至xx元部分10%3超过xx元至5000元部分15%9超过10000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示13级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人xx年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A.800900元 B.9001200元 C.12001500元 D.15002800元【考点】分段函数型 【难度】 3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）依税率表，有：第一段：x5%，0x500； 第二段：（x500）10%+5005%，500xxx； 第三段：（xxx）15%+150010%+5005%，xxx5000，即f（x）= .（2）这个人10月份应纳税所得额x=3000800=2200，f（2200）=0.15
