1、经典课件版高考数学大一轮复习第五章平面向量第31讲平面向量的综合应用学案理第31讲平面向量的综合应用考试要求1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题(A级要求)；2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线.()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形.()解析(4)中，与的夹角为B，是钝角，只能说明B为锐角.答案(1)(2)(3)
2、(4)2.(教材改编)已知力F(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(2，3)，则F对物体所做的功为_.解析由已知位移s(4，3)，力F做的功为WFs2(4)331.答案13.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形的形状是_.解析(2，2)，(6，6)，12120，ABC为直角三角形.答案直角三角形4.在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为_.解析(1，2)(4，2)0，则，故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|25.答案55.(2018苏州调研)在梯形ABCD中，2，|6，P为梯形ABCD所在平面上一
3、点，且满足40，|，Q为边AD上的一个动点，则|的最小值为_.解析设AB中点为E，则四边形BCDE为平行四边形，且2，所以2，D，E，P三点共线，|6，|2.又33|cosADE|，所以cosADE，sinADE.要使|最小，即PQAD.此时|sinADE.答案知 识 梳 理1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定
4、义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角).3.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标
5、运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.4.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.考点一平面向量在平面几何中的应用【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若1，则AB的长为_.(2)(2017苏、锡、常、镇调研(二)在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面内一点，若，则PBC面积的最小值为_.解析(1)由题意，可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以|，因此式可化为1|2
6、1，解得|0(舍去)或，所以AB的长为.(2)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则P(1，4)，C(t，0)，B，BC：ty1，xt2yt0，SPBC|4t1|21|，PBC面积的最小值为.答案(1)(2)规律方法向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.【训练1】 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC的形状为_三角形.(2)在ABC中，若，则点O是AB
7、C的_(从“重心”“垂心”“内心”“外心”中选填一个).解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线.因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形.(2)，()0，0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线.同理0，0，故O为ABC的垂心.答案(1)等边(2)垂心考点二向量在解析几何中的应用【例2】 (1)(2018南京、盐城模拟)已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.(2)(20
8、18江苏大联考)已知P为单位圆O上的点，M，N为圆x2y216上两点，函数f(x)|x|(xR)，若函数f(x)的最小值为t，且当点P在单位圆上运动时，t的最大值为3，则线段MN的长度为_.解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)f(x)，tdPMN，由题意得(dPMN)max3，因此dOMN2，MN24.答案(1)2xy30(2)4规律方法向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算
9、脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【训练2】 (1)(2018盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_.(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.解析(1)圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小.由条件知，当
10、POPC时，最小值为2.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.答案(1)(2)考点三向量的其他应用(多维探究)命题角度1向量在物理中的应用【例31】 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_.解析如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.故|F3|2.答案2命题角度2向量在不等式中的应用【例32】 已知x，y满足若(x，1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_
11、.解析因为(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.答案命题角度3向量在解三角形中的应用【例33】 (2018苏北三市(连云港、徐州、宿迁)调研)已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2，当取得最大值时，的值为_.解析C.BACAA，由得bsinB sin2cos Asin A；bccos A2cos A4cos2Asin Acos A4sin 2A22cos 2Asin 2A2sin2.ABc，0A0)的图象上任意一点，过M点向直线y
