1、第六章 窄带随机信号,使用班级：09050641,09050642 09050941,09050942,窄带随机信号的概念,窄带信号或窄带系统,中心频率 远大于谱宽，即,窄带随机信号或窄带随机系统,一个随机信号的功率谱密度，只要分布在高频载波 附近的一个窄带范围 内，在范围以外为零，即满足,第六章 窄带随机信号,6.1 预备知识（4）6.2 窄带随机过程（31）6.3 窄带高斯过程包络与相位的分布（41）6.4 窄带高斯过程包络平方的概率分布（61）,6.1 预备知识,傅里叶变换,6.1.1 信号的解析形式,单边谱的解析信号,（1）单边谱信号,Hilbert变换,（2）解析信号,虚部,实部,6
2、.1.2 希尔伯特变换,希尔伯特反变换,希尔伯特变换,（1）定义,（2）性质,1、希尔伯特变换相当于一个的90o理想移相器,于是，可以看成是 通过一个具有冲激响应为 的线性滤波器的输出。,系统的传输函数：,即,频域：,2、的希尔伯特变换为，即,3、若，则 的希尔伯特变换为,两次连续希尔伯特变换相当于两次90o相移，即反相,利用性质1和卷据交换率证明,也可以采用定义通过积分变量代换证明,4、与 的能量及平均功率相等，即,希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率,利用能量守恒定律证明,5、设具有有限带宽 的信号 的傅氏变换为,假定，则有,设 与 为低频信号，则,证明见书P198-19
3、9,利用该性质可以求信号的包络,超声信号的希尔伯特变换应用,超声信号及hilbert变换,6、偶函数的希尔伯特变换是奇函数，奇函数的希尔伯特变换是偶函数,偶函数：,奇函数：,6.1.3 高频窄带信号的复指数形式,（1）高频窄带信号,振幅调制，称“包络函数”,相位调制，称“相位函数”,由于，所以 相对载波 来讲是“慢变化”的时间函数。,相对于 来讲也是低频信号，且两者在几何上彼此正交。,s(t)的解析信号,s(t)的解析形式可以用复指数表示为,（2）复指数形式,低频限带,s(t)的复包络,s(t)的复载频,s(t)的包络,s(t)的预包络,对于一个理想的高频窄带信号或低频限带复包络的窄带信号而言
4、，其解析信号的形式可以用一个复指数信号的形式表示。,复指数形式,解析信号,已知实信号,包络,实信号频谱,复信号频谱,解析信号频谱,（3）误差分析,条件,6.1.4 高频窄带信号通过窄带系统,输入高频窄带信号,输出,系统冲激响应,因为高频窄带无重叠，所以交叉项为零,输出信号s(t)的复包络,输出,运算的简化,6.1.5 随机过程的解析形式及其性质,（1）解析过程的定义,实随机过程,解析过程,（2）解析过程的性质,性质：,性质：若 为广义平稳过程，则 也是广义平稳过程，且 联合平稳。,时间自相关函数：,平均功率相等：,证明,性质2时域证明,性质：,证明,奇函数,偶函数,性质4：,证明,性质5：,证
5、明,性质6：,证明:根据性质5得,性质4,返回,6.2 窄带随机过程,对于典型窄带随机信号，它的每一个样本函数都具有正弦的振荡形式，则所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为,6.2.1 窄带随机过程的数学模型,这是窄带过程准正弦表示形式。式中，A(t)是窄带过程的包络，(t)是窄带过程的相位，它们都是随机过程，而且它们相对0是慢变随机过程。,（1）正弦形式,（2）复指数形式,复包络,复载频,包络,相位,平稳窄带随机过程的特性,自相关,功率谱密度,窄带过程莱斯（Rice）表示形式,6.2.2 窄带随机过程的垂直分解,关系式,6.2.3 窄带随机过程的统计分析,分析条件X(t)是任意的宽平稳、
6、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于0都是慢变化过程，则很明显Ac(t),As(t)相对于0为慢变部分。,统计特性特点,性质1：X(t)是均值为0的平稳过程，则Ac(t),As(t)也是均值为0的平稳过程，且联合平稳,性质2：自相关函数相同：平均功率相同：方差相同：,性质3：功率谱密度相同,由定义可证明,由性质2可证明,性质4：互相关函数：互相关函数为奇函数：在同一时刻两者正交：,性质5：互功率谱密度,由定义可证明,由性质4可证明,性质6：,性质7：若窄带过程X(t)的单边功率谱是关于0偶对称的，则有,由性质2,4可证明,由性质5可证明,返回,6.3 窄带高斯过程包络与
7、相位的分布,假定窄带高斯过程X(t)的均值为零,方差为2,宽带噪声N(t),高频窄带系统,包络检波,相位检波,窄带高斯过程X(t),平方律检波,若X(t)为高斯过程，则Ac(t),As(t)也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2 由于Ac(t),As(t)在同一时刻是互不相关的，且二者都是高斯过程，所以，它们在同一时刻也是互相独立的。,6.3.1 包络和相位的一维概率分布,又,由于,A(t)和(t)的联合概率密度为,即,可得,包络的一维概率密度为瑞利分布,相位的一维概率密度为均匀分布,在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量,6.3.2 包络和相位的二维概率分布,求包络和相位的
8、二维概率密度的步骤如下：先求出四维概率密度 然后转换为 最后再推导出,窄带高斯过程的包络和相位不是互相独立的随机过程,需要记住结论，理解分析过程,条件：单边功率谱是关于0偶对称,两过程独立,四维的联合分布可以用二维分布来表示：,（1）求,根据性质7,其它,（2）求,（3）求 的二维分布,第一类零阶修正贝塞尔（Bessel）函数,包络的二维分布,相位的二维分布,窄带随机过程的包络 和相位 过程彼此是不独立的,随机余弦信号,为已知常数，在 上均匀分布。,均值为零，方差为 的平稳随机过程。关于 偶对称。（均为高斯分布）,高斯窄带噪声,6.3.3余弦信号加窄带高斯过程的包络及相位的概率分布,理解分析过
9、程,合成信号,合成信号的包络,合成信号的相位,（1）求 在给定 条件下的,方差,二维条件概率密度,均值,高斯过程,（2）求 在给定 条件下的,由于：,包络与相位的二维条件概率密度,（3）求包络 的一维概率密度,包络的一维概率密度,n=2的莱斯分布,a=0时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布,当r 1时，（小信噪比时）,（瑞利分布）,当r 1时，（大信噪比时）,讨论：,(高斯分布),（4）求相位 的一维概率密度,当r 0时，（小信噪比时）,（均匀分布）,概率积分函数,其均值为，方差为 高斯分布,当r时，（无噪声）,当r 1时，（大信噪比时）,信噪比r极小时，接近均匀分布信噪比r较大时，在附
10、近接近高斯分布信噪比趋于r时，趋于在上的一个冲激,相位的一维概率密度总结,返回,6.4 窄带高斯过程包络平方的概率分布,若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为,窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即,已知，则Ut的概率密度为,窄带高斯过程的包络平方为指数分布,6.4.1 窄带高斯噪声包络平方的分布,需要掌握,6.4.2 余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布,包络平方,因为包络服从莱斯分布,包络平方的概率密度,了解,定义：若n个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为零，方差为，则 的分布是具有n个自由度的中心 分布,6.4.3 分布,（1）中心 分布,概率密度为,p2
11、28,性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。,定义：若n个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为，方差为，则 的分布是具有n个自由度的非中心 分布,（2）非中心 分布,概率密度为,非中心分布参量,性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之和仍为非中心 分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为 和，其和的自由度为n=n1+n2，非中心分布参量为,P232,对于两个自由度的中心 分布，即Xi(i=1,2)是数学期望为零，方差为，且相互独立的高斯变量，则 为瑞利分布。,指数分布,（3）瑞利分布,当高斯变量Xi(i=1,2,n)的数学期望为 不为零时，是非中心 分布，而 则是莱斯分布。,（4）莱斯分布,应用,窄带过程N(t),平方律检波,独立采样m次,归一化,加法器,开方,中心 分布,莱斯分布,返回,S(t)+N(t),非中心,瑞利分布,指数分布（2项）,
