1、对数与对数运算教学设计对数与对数运算教学设计对数与对数运算教学设计课题2.2.1对数与对数运算：第一课时 三维目标 ： 知识与技能1理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2学会对数式与指数式的的互化，培养学生类比，分析p ，归纳的能力。（二）过程与方法1解自然对数和常用对数的概念，以及对数恒等式；2通过实例推导对数运算性质，准确运用对数的运算性质进行计算， 求值，化简。并掌握化简，求值的技能。（三）情感、态度和价值观1.培养学生分析p ，综合解决问题的能力；2通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质； 3在学习过程中培养学生探究的意识。 教学内容分析p ：教学重点对数式与指数式的互化
2、以及对数性质加以灵活运用 教学难点对数运算性质推导过程，以及分析p 过程 课型：新授课 新课讲解（一）创设情境，课题引入（学生活动）P72P73页 提出以下问题： 对对数的发明有杰出贡献的科学家是谁? 发明对数的目的是什么？为什么说对数发明是17世纪重大数学成就？苏格兰数学家napier（纳皮尔）在研究天文学过程中，为了简化其中的计算发明了对数。恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”；（老师引导：那么，什么是对数？对数式怎样简化运算的？对数真的有用吗？）教师：为了研究对数，我们先来研究下
3、面这个问题？（学生活动）P72页 思考：根据上一节的例1我们能从中算出任意一个_（经过的年份）的人口总数，可不可能哪一年人口数低于13亿？那么哪一年的人口达到18亿？可不可能哪一年人口达到1000亿？你会算吗? （教师活动）由指数函数性质知，有，所以 人口数达到18时候，所以有在个式子中，等于多少？学生可能会说，解出即可。实际不然，实际问题实际考虑，地球上供养不起这么多人，所以现在同学们们要珍惜现在资，爱护地球。 对数概念（教师活动）（板书）一般地，若，那么数叫做以为底的对数， 记作，叫做对数的底数，叫做真数。 其中为指数式，称为对数式 对数式与指数式具有互化关系：由此可知，引例中问题：的_用
4、对数表示为 （教师活动） 想想中底数有没有什么限制呢？有没有什么限制呢？ （教师活动）引导学生通过等价关系，理解等价关系的定义。（箭头的双向性：充要性） （学生活动）前面可以推出后者，后者也可以推出前者。 （教师活动）中有什么限制呢？ （学生活动）（1）中的。因此，也要求 （教师活动）中有什么限制呢？ （学生活动）（2）因为时有。因此，中真数（教师活动）总结：即是说负数与零一定没有对数。综合下来：，。 两种特殊的对数：板书： 常用对数 自然对数 （教师活动）（1）即是说：，我们得到对数。称为常用对数。通常简写成 （教师活动）为什么10为底的对数叫做常用对数？（学生活动）想其他2为底的对数为什么
5、不可以称为常用对数？（教师活动）常用对数有常用对数表可查，常用对数表是前人经验总结出来的。 （教师活动）当时，得到对数，称为自然对数。 通常写成（学生活动）为什么为底的对数叫做自然对数？（教师活动）这个符号由欧拉(Leonhard Euler 1707-1783)在1727年首先引入，其地位的最重要性质是以其为底的指数函数的导数等于其本身，这有点类似于像乘法运算中的1的地位。（四）对数的性质 利用例1 将指数式化为对数式：（1）（2）（3）解析：（教师活动）中，底数为2，化为对数时同样为底数；其结果作为对数的真数部分。 （学生活动）为什么要将指数化为对数呢？ （教师活动）可以将指数的幂算出来。
6、 （学生活动）（教师活动）从这三个答案中，你能看出哪些共同点，哪些差异点？（学生活动）共同点：真数部分都是1，对数值都是0。差异点：底数不一样。 （教师活动）是否在任意一个对数中，真数是1，其值就是0呢？即？ （教师活动）在中，你能否将对数改写成指数呢？ （学生活动）改写后，这是恒成立式子。所以有。 性质1：类比上面研究过程，研究 （教师活动）“？”代表值是多少我们不知道，是否可以用代替？ （学生活动）假设。（教师活动）对数不好研究，我们是否又可以改写成指呢？ （学生活动）化为指数式为，可以知道 所以有 性质2：（教师活动）从式子中，你还能看出什么？ （教师活动）由等价的充分性，你能想到什么？
7、 （学生活动）必然成立。（教师活动）是否可以将代入中？（学生活动）所以有，可以得出以下性质 性质3：（教师活动）等价条件既有充分性，还有必要性，那必要性是否可以得出类似结论？ （学生活动）由等价于的必要性，有（教师活动）是否也可以将将代入左边式子呢？ （学生活动）将代入中，有 性质4：总结：性质1：性质2：性质3：性质4：（五）课堂小结1.对数定义（关键点）2.指数式与对数式互换（重点）3.求值（理解指数对数互换基础上应用）（六）课堂作业：P64练习题1，2，3，4（七）板书设计2.2.1对数与对数运算一、导入_=?二、概念对数概念三、两种特殊的对数四、对数的性质（八）教学反思对数的教学采用讲
8、练结合的教学模式。教学中，抓住问题基础知识点，运用指数式与对数式的互相可以转化性质，体会转换过程的奥妙，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法。对数与对数运算（第一课时）教学设计华南师范大学 陈嘉韵教材新课标人教版高中教材数学必修1 课题2.2.1对数与对数运算第一课时 教学目标（一） 知识与能力1理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2理解和掌握对数的性质；3掌握对数式与指数式的关系。（二）过程与方法通过与指数式的比较，引出对数定义与性质（三）情感、态度和价值观1.对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析p 、归纳能力；2通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；
9、 3在学习过程中培养学生探究的意识；4让学生理解平均之间的内在联系，培养分析p 、解决问题的能力。教学内容分析p 教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质 教学难点推导对数性质 教学模式讲练结合 教学主题掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握教学程序（对数教学目标）对数的文化意义、对数概念（讲一讲）对数式与指数式转化（做一做）例题（讲一讲）、习题（做一做）两种特殊的对数（讲一讲）求值（做一做）评价、小结作业。 教学过程 （一）（说一说）对数的文化意义教师：对数发明是17世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下投影：恩格斯说，对数
10、的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。 教师：对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？（停顿）我们将会发现，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。这些都非常有趣。那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。（对数的导入）教师：为了研究对数，我们先来研究下面这个问题：（P72思考）根据上一节的例8我们能从（停顿让学生思考）即：y 13 1.01_中，算出任意一个年头_的人口总数，那么
11、哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？10 1.01_, 1.01_, 1.01_,在个式子中，_分别等于多少？ 131313（二）（讲一讲）对数概念教师：在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数_。如何求指数_？这是本节课要解决的问题。这一问题也就是：）若a N，已知a和N如何求指数_（其中，a 0且a 1数学家欧拉用对数来表示_，如何表示？一般地，若a N(a 0,且a 1)，那么数_叫做以a为底N的对数，_记作_ logaN，a叫做对数的底数，N叫做真数._ 称a N为指数式，称_ logaN为对数式我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：_a N logaN _
12、不难得到，1.01 _ 1818的_用对数表示就是 _ log1.01 1313_我们要注意到，a N中的a 0且a 1。因此，logaN _也要求a 0且a 1；还有logaN _中的真数N能取什么样的数呢？这是为什么？（停顿）这是因为a 0且a 1，所以a N 0。因此，logaN _中真数N也要求大于零，即负数与零一定没有对数。 _（三）（做一做）指数式与对数式间的关系例1 指数式化为对数式：41 431 3010 140 110 1000 04 解： 对数式是log4 4log 33 1log 01log41 0log0000 4教师：大胆猜测，由log44 1log33 1，可以发现
13、什么结果？由log 0log41 0呢？）.为什么？ （停顿，让学生思考）loga1 0,logaa 1(其中，a 0且a 1）化为对数式.立（停顿，让学生思考）把a a,a 1(其中，a 0且a 1即得到上式结论。我们还会注意到，10 10000，log0000 4，利用对数可以将很大很大的数变为较小的数，减少计算量，以后还会发现，乘除运算便会加减运算，简化运算.410（四）（讲一讲）例题讲解例2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）5=625(2)24 6 11(3)m 5.73 643 9 2(4) log(5)log5125 3(6) log116 4 32解：(1)log
14、62 551(2)log 6264(3)log15.37 m34 (4）3 9(5)53 1251(6) 4 162（做一做）练习：1.把下列指数式写成对数式：(1)2 8(2)2 3251 113 (3)2 (4)27 3 232 12.把下列对数式写成指数式：(2)lo25 (3(1)lo3)lo23g 925g1 2g (4)log3141 4 81（五）（讲一讲）两种特殊的对数：常用对数log10N记为lgN； 自然对数 logeN记为lnN；教师：对数logaN的底a有何限制?（停顿）a 0且a 1a 10，我们得到对数log10N。称log10N为常用对数。通常写成lgN.当a e
15、=2.71828时，得到对数logeN，称logeN为自然对数。通常写成lnN（做一做）练习：把下列对（指）数式写成指（对）数式： （1）lg0.01 2（2）ln10 2.303 （六）（讲一讲，练一练）求值例3求下列各式中_的值：2log 6（4）-lne2 _ （3）lg10 0_(1)log64_ （2）_8322 123 2解：（1）因为log64_ ，则_ 643 (4)3 4 163（2）因为log_8 6，所以_ 8,_ 8 (2) 2 2（3）因为lg100 _, 所以10 100,10 10,于是_=22（4）因为-lne _，所以lne _，e e，于是_ 222 _26
16、1613612我们可以发现，求对数的值可以将式子化为指数式，求指数时将指数式化为对数，在转化中解决问题 （做一做）练习：1.求下列各式的值：（）1log（2）lo15252g16（3）lg10 02.求下列各式的值(1)log1515(2)log0.41(3)log98 1(4)log2.56.25(5)log734 (6)3log32431.对数定义（关键）2.指数式与对数式互换（重点）3.求值（重点）P86题1，2；课外阅读：P79对数的发明4）lg0.0 01（0（七）评价与小结（八）作业：对数与对数运算性质教学反思对数与对数的运算性质这节课，我的设计意图是尝试让学生尝试探究学习，培养学
17、生观察、推理的能力，从特殊到一般的类比过程，同时也借此机会锻炼自己的探究教学的能力，所以查阅了一些关于数学探究学习的教学理论，以及对数学教学的设计理念，但是在此教学过程中，也发现了自己的一些教学问题，也学到了不少东西，主要有：（1）这节课的一开始让学生复习指数与指数的运算性质相关知识，我让一个学生站起来复述了知识，可是最好还是让学生做一些简单的题目，通过简单的题目来检测上一节课学生的知识掌握情况，因为知识是死的，需要记住，但是方法是活的，能应用就好了，所以这一点做的不到位；（2）我在这节课中，当然还有以前的教学过程中，都存在一个个人习惯问题，就是总结知识点不是很到位。一个善于总结、经验丰富的老
18、师，会在学生做了很多题之后，总结解题技巧，以及解题中的注意点，公式的适用范围，公式的正用与逆用，什么时候用什么公式，用公式的时候要注意哪些，学习新知识的时候，多用自己的语言表述公式和概念，以此让学生把自己对公式和概念的表征形式描述出来，通过这个来判断学生对知识的掌握情况。课堂中应该多总结，老师要多总结，也要让学生多总结，但是前提条件是教师要有意识的引导学生总结，培养学生的这种习惯；（3）在推到公式的过程中，设计意图是让学生自己总结，因为学生的程度不是很好，所以开始我先带领学生们推导出了一个公式，接着让学生尝试着模仿，自主推导出后两个，并且让学生板演。给学生自己证明的机会，让学生多思考，给学生自
19、己动手的机会，即使错误了也是一个学习的机会，从失败中，吸取解题策略和技巧。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，先学后教，先练后讲，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。对数与对数运算第一课时教学反思“对数与对数运算”作为高一新教材的内容，被安排在第一册第二章“基本初等函数”的第二节，共分三个课时完成，对数概念为第一课时对数
20、概念对于高一的学生来讲是一个全新的概念。此前，学生已学习了指数与指数运算及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值。通过本节课，学生将会理解到对数是已知底数和幂值求指数，与指数运算二者是互逆的关系对数概念的引入，充分凸显了高中数学新课程理念中的“运算思想”和“函数思想”，对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的作用。在新课程背案下，转变高中数学教学方式已成为教学改革的核心话题之一在传统的讲授方式中融入问题探究，通过教师引导、启发、鼓励学生积极参与教学活动，通过师生互动、学生的思维和行为参与，可以使启发式讲授教学与活动式
21、教学有机结合，从而有效地提高课堂教学效率与教学质量。因此本节课我通过两个求指数的具体实例引出对数的定义，确保学生明白对数产生的意义，加深记忆。接着自然的给出对数定义及对数的正确写法与念法，带领学生一起将两个引例中的指数式化为对数式并要求准确的读出这些对数。继而引导学生发现指数式与对数式的互化，帮助学生建立指对数式的互化模型，指导学生联系指数式里各个值的取值范围，寻找对数当中对应值的取值范围。简单对数方程的运算及简单对数的计算是为了让学生更好的理解对数概念并将之合理运用在实际解题当中。总之，结合本节课的教学，我反思如下：一、成功之处1、教学方法上：突出教学内容中主要的、本质的东西，即弄 清对数的
22、来与意义，确保学生能够准确无误的写出并读出对数；将本节课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；启发探究式教学、互动式的教学方法和手段，确保用最合理的方法给学生教授知识。结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教，体现了认知心理学的基本理论。 2.学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，不再是教师从上课讲到下课，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，一直坐在位置上，机械的听教师灌输知识，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上黑板板演等做法，真正做到了“六让”：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考
23、探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。 二、不足之处1.导学案编写不太合理，有些题目选择方面略难，题目较少， 没有达到很好的练习作用，不利于学生的运用和记忆。2.课程引入略长，影响了后半部分课程的进行，没有给出对数 恒等式。3.展示课流程比较完整，基本上完成了学习目标，但由于对数 对高一学生来讲还是一个新的内容，对数的运算性质更是新上加新，导致学生在展示时显得略微胆怯，回答问题不够干脆、声音不够响亮、质疑也不够
24、激烈，究其原因有两个：我的引导不够；运算过程结果唯一导致质疑点少。以后在学案编写时尽量多编些开放型题目，并且可以适当的设置些追问，也可以让同学们上黑板展示错误等。另外学生在展示时，我应当多关注学生倾听和做笔记的情况，及时提醒提高课堂效率。 4.个别学生上黑板板书的不是很理想，体现出部分学生的计算能力较差、书写规范度不够、习惯不好，故今后在教学中，应该加强计算，提高运算能力，并严格规范书写格式。另一方面，这节课对技巧的强调不好，有点过，应该对解题的思想加强引导，授之以鱼，不如授之以渔，以后在教学中应加以注意。结合本节课的成功之处和不足之处，我得出以下几条经验。 一：在日常的课堂教学中，要想很好的
25、达成教学目标，学生是教学活动中最活跃的因素，是教学活动的主体。在课程的教学设计中要以学生的“学”作为出发点，通过情景引入，以问题串的形式，引导学生得出对数的概念。学生对对数的概念有了一个较为深刻的认识，又通过对数运算是幂运算的一种逆运算，初步掌握对数运算及其性质。二：问题设计的表述要精确。通过一次试讲及教研组内老师们帮助将问题精确提炼并表述出来。说明教学预设时对学生的认知基础估计要充分。良好的问题设计应该要有一定的思维量、表述准确，更要接近学生的思维发展区，要让学生跳一跳就能摘到桃子。三：让学生思考交流，在有些问题的解决上要给学生充分的独立思考、相互交流的时间，不能急于将学生的思维纳入自己的教
26、学套路。如“通过观察你得出什么规律”问题有难度，如果能够采用小组合作更好。并在学生的回答中给予适当鼓励或赞赏，激励学生更加认真的听课并积极回答问题。四：在课前要充分做好对学生心理态度的预设。现在高一班级人数较多，有七十多人，空间比较小，来听课老师人数又较多。学生与老师坐在一起，难免会有些紧张，导致站起来回答问题脑子一片空白现象。有些学生甚至看不清黑板。因而以后的教学过程中要注意学生心理品质的培养。 总之，在我的教学中需要反思的地方还有很多。教学是一门遗憾的艺术。这些遗憾只能在以后的教学中多加注意，善反思、不断总结、不断进步、不断提升、多向师傅们学习，力求教学的更大进步。 2.2.1（1）对数与
27、对数运算（教学设计）教学目的：1、理解对数的概念、了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并青春期技能。2、通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析p 得出对数的概念及对数式与指数式的互化。3、掌握对数的重要性质，通过练习，使学生感受到理论与实践的统一。4、培养学生的类比、分析p 、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。 教学难点：对数概念的理解；对数性质的理解。 教学过程：一、复习回顾，新课引入： 引例1：一尺之锤，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长
28、？（答：1/32）_（） 0.125，则_=? （2）取多少次，还有0.125尺？（答：12引例2：20_2年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8，那么经过多少年GDP是20_2年的2倍？略解：(1+8)_=2，则_=?二、师生互动，新课讲解： 1定义一般地，如果a_ N（a 0，且a 1），那么数_叫做以a为底N的对数（logarithm），记作_ logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 （解答引例）问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作log416 2；同样从对数的定义出发，可写成42 162对数式与指数式的互化当a 0，且
29、a 1时，如果a_ N，那么_ logaN； 如果_ logaN，那么a_ N即a_ N等价于_ logaN， 记作当a 0，且a 1时，a_ N _ logaN负数和零没有对数3两个重要的对数（常用对数和自然对数）通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（mon logarithm），并且把log10N记作lgN在科学技术中常使用以无理数e 2.718281828459 为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN记作lnN例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式11；（3）3a 37；（4）m 5.73 643（5）log116 4；
30、（6）log2128 7；（7）log327 a；（8）lg0.01 2 （1）54 625；（2）2 6 2 变式训练1：（课本P64练习 NO：1；2）例2（课本P63例2）：求下列各式中_的值。（1）log64_ ；（2）log_8 6；（3）lg100 _；（4） lne2 _； （5）loga_ 0；（6）loga_ 1；（7）lne2 _；（8）lne 变式训练2：（课本P64练习 NO：3；4） 例3：求下列各式的值：（1）log31；（2）lg1；（3）ln1；（4）log0.31；（5）loga1 （6）log33；（7）log0.20.2；（8）lg10；（9）lne；（1
31、0）logaa 变式训练3：求下列各式的值：（1）2log3；（2）0.4log5；（3）alogN；（4）log334；（5）log0.90.92；2231.4a（6）lne8；（7）logaan三、课堂小结，巩固反思： （1）指数式与对数式的关系ab N logaN b（2）负数与零没有对数； “1”的对数等于0； 底数的对数等于1；对数恒等式：alogN=N；logaaN=N a四、布置作业： A组：1、（课本P74习题2.2 A组NO：1）2、（课本P74习题2.2 A组NO：2）3、求下列各式的值： （1）（2）（3）log71=_log22=_logaa2=_2（4）log0.51=_
