1、建模建模 私家车保有量增长及调控问题私家车保有量增长及调控问题 摘 要: 近年来，随着我国经济的快速发展，人民群众生活水平的不断提高，汽车进入普通老百姓的家庭已不再是一个遥远的梦，家有私车也成为了一件再寻常不过的事了，截止到 2006 年底，中国私人汽车保有量约为 2650 万辆，全国汽车保有量的60%左右,与此同时,中国已成为仅次于美国的全球第二大新车市场.私有汽车的多少直接影响国民经济的发展和环境的种种问题时，许多社会问题和环境问题直接或间接影响着私家车的保有量。研究表明,汽车保有量与人均国民收入成正比,且汽车特别是用于消费的私有汽车保有量的多少,与经济发展程度,居民收入以及道路建设的总长
2、度密切相关.对于问题一，通过所给的数据,我们经过多元回归分析方程,从而得出各个因素各种因素对于私家车保有量的影响，再通过插值、多次曲线拟合预测出2010私家车保有量；对于问题二，分别拟合出19962007和2007，12008，1两段私家车保有量随时间变化的函数，分别做出各自的增长率或增长图表，比较即可得出结论；对于问题三，建立了线性规划模型，并定性的由该地区的汽车尾气的排放情况得出应该增加公交车的数量限制私人汽车保有量的调控措施，并根据该地区的汽车废气的排放情况综合各个方面的因素定性的得出应该增加公交车的数量来限制私人汽车保有量。关键词： 多元回归分析 拟合 线性规划一、问题的提出与分析汽车
3、作为中国家庭拥有率最低的一种高档耐用消费品，随着居民收入 水平的不断提高和中国政府鼓励轿车进入家庭政策的出台，制约需求的各种不合理费用逐步取消和汽车贷款正在被越来越多人所接受，汽车正在快速进入普通家庭。而汽车特别是用于消费的私人汽车的保有量与经济发展程度居民收入消费者购买力个体私营经济的快速发展及道路建设等多种社会经济发展因素有着密切的关系。很显然，在所给的因素中，城市交通干线噪音均值和公交营运总数不能作为汽车保有量的因变量，我们选取的是人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、全社会固定资产投资总额、道路总长、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、汽油年均价作为因变量，给出了1996年到2008
4、年的汽车保有量和一些相关的其他方面的数据并预测出到2010年的汽车保有量。汽车行业的快速发展对经济有一定的推动作用，但对这种快速增长如果不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素，尤其是汽车行业的发展对环境的污染问题。我们需要在保证经济稳定快速发展的同时，确保汽车废气排放量达到标准要求。1. 问题的提出问题1.分析影响该地区私人汽车保有量的因素,并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少? 问题2.分析2007年政府5次升息,9次上调存款准备金率,这些措施对该地区对私人汽车保有量有怎样的影响? 问题3.按照汽车废气国I
5、II排放标准,如何根据该地区废气的排放情况,来调空公交车和私人汽车保有量? 2. 对影响该地区私人汽车保有量的因素分析 问题一的分析(1).人均国内生产总值直接反映经济发展状况，由题中“汽车保有量与人均国民收入成正比”知，其促进私人汽车保有量的增加； (2).汽车贸易在社会消费品中占有重要的份额，因此可以认为该项数据与 其 车保有量有密切关系； (3).全社会固定资产投资，目前我国正大力发展汽车及相关产业，因此固定资产投资额与汽车保有量的相关性更高； (4).道路总长为我们的出行带来方便，因而也推动了私人汽车的消费； (5).居民人均可支配收入的高低对于私人汽车的购买有着直接的影响； (6).
6、居民储蓄款余额的水平在一定程度上也反映了购买汽车的经济能力； (7).燃油价格的上涨和城市交通干线噪音均值都从一定方面上反映了它们对其的制约，是不利因素 。 综上因素,根据对国内外汽车发展变化情况的分析，一般私人汽车的增长随时间呈现S形曲线私人汽车的增长一般在初始阶段增长缓慢。随着经济的发展和汽车价格的下降，汽车的增长会经过一个加速增长的过程。但由于受到城市空间和交通服务能力的限制，汽车在达到一定数量后，增长速度将放慢，同时拥有量将趋于一个极限值。这一系列变化过程，基本符合S形曲线的变化特点。因此我们选择了五次多项式拟合，预测了2010年私家车保有量。 问题二的分析2007年政府采取了5次增息
7、，9次上调准备金率，要想知道这些措施对私家车保有量的影响，我们分别求出19962007和2007，12008，1的私家车增长率图表和数目增长图表，从图表中，我们比较了措施前后私家车增长的快慢，从而得出了政府措施的影响。 问题三的分析考虑到问题中要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克，我们要解决的是如何根据要求和该地区汽车尾气的排放情况对公交车和私人汽车的调控问题，这是一类规划问题，考虑到环境的因素我们提出了合理调控公交车和私人汽车的意见。二、基本假设 问题一的基本假设 假设某地区的统计数据真实有效，能够客观反映私家车的增长
8、情况； 假设建模过程中不考虑未来可能发生的非题目所给因素的影响； 假设根据变量的已知数据所得的2010年的预测数据可靠有效，能准确反映重要变量的变化； 假设样本容量是充分的； 为考虑外地车对本地区相关数据的影响。 汽车保有量只与给出的因素有关，并且所有因素都是对时间的函数，我们选取了其中的一部份而与其它的 部分没有关系； 问题二的基本假设 假设加息和提高人民币存款准备金等从紧的货币政策只影响人均国内 生产总值和居民人均可支配收入，其他因素均为常量。 假设人都是理性的，其投资和消费行为受市场利率等因素的影响。 假设人们投资和消费不受主观偏好影响。 假设市场经济稳定发展，没有意外事件的发生。 基于
9、问题一的求解模型与求解公式对其分析。问题三的基本假设 假设所有公共汽车和私人汽车得到充分利用； 假设汽车的老化问题不会对汽车排放废气的类型和数量造成影响； 假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一； 假设单位小汽车一年内排放的污染物是公共汽车一年内排放污染物的10倍； 假设该地区2008年汽车废气排放量超过汽车废气国III排放标准，需要进行调整； 假设不考虑汽车的限量值，即认为私人保有汽车和公共汽车都属于欧III标准中定义的一级车； 假设该地区从2007年7月开始实施欧III标准，既能瞬间完成所有车辆排放废气的改革措施。 该地区车辆只有公共汽车和私人小汽车两种类型。三、符号说明
10、 X: 时间/年 X1:人均国内生产总值/万元 X2: 全社会消费品零售总额/百亿元 X3: 社会固定资产投资总额/百亿元 X4: 居民人均可支配收入/千元 X5: 居民储蓄款余额/百亿元 X6: 汽油年均价/角 X7: 道路总长/百公里 y:私人汽车保有辆/万辆X8:公交车车保有辆/万辆s1:私家车年运里程/万公里 s2: 公交车年运里程/万公里 m1:私家车每公里排污量 m2:公交车每公里排污量 四、模型的建立与求解第一问： 1.建立模型 （1）多元线性回归模型通过分析题目所给的数据,设出各因素和私家车保有量相应的多元线性回归方程,从所得方程我们大致得出人均国内生产总值、全社会消费品零售总
11、额、社会固定资产投资总额、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、道路总长等因素对私家车保有量的影响，即私家车保有量随着以上因素的增长而总体在增长:y=a0+a1*X1+a2*X2+a3*X3+a4*X4+a5*X5+a6*X6+a7*x7;式中: X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7-各相关因素; y -私家车保有量; a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7-回归系数;用matlab软件计算得:a0= 61.2817 a1= 41.5090 a2= 8.1174 a3=-0.9529 a4= -7.5797a5= 2.3288 a6= -0.8493 a7= -8.3306详细求解（
12、见附录一）2检验模型 (1)初步检验根据所得系数可以判断X7(道路总长)和X3(全社会固定资产)增加,但私家车保有量却受到抑制,可能是所做的假设太理想化.(2)统计检验F检验, 用matlab软件计算得出三个回归方程的统计量。 其中, F值=30.1973计算时取置信水平a=0.05;查表得：F0.95(1,12)=4.96;则F值F0.95（1，12）因此在置信水平a=0.05下回归方程是显著的.3 模型优化（1）.变量剔除基于已经建立的多元回归的基础上，本文对各个影响变量做了共线性的分析，剔除了lnx2(全社会消费品零售总额)、lnx3（全社会固定资产投资总额）、lnx8(路总长）、lnx
13、5居民储蓄款余额），使保留的自变量尽量lnx1(人均国内生产总值)、lnx4居民人均可支配收入）不相关。根据剔除共线性变量之后的自变量，对因变量做回归分析。（2）.多元回归运算依照上一个模型的建立过程，运用matlab算结果为：（3）.模型检验根据下列各生成表，对于生成的回归函数进行检验。判定系数 =0.994，回归曲线拟合度很好。F=269.371，因变量与自变量之间有显著的线性关系。观察t值的大小，常量的t值小于0.5,但它不存在经济意义。观察残差分布图，能够很好地拟合成一条直线，符合正态分布。(4）.模型分析 在剔除具有共线性的几个变量之后，所做的回归模型能够很好地拟合因变量与自变量之间
14、的关系。由运算结果可以得出：各个回归系数的实际意义是：表示在城市交通干线噪音均值、公交车营运里程、居民人均可支配收入不变的情况下，人均国内生产总值每增加1，私家车保有量增加1.580。，表示在人均国内生产总值、公交车营运里程、居民人均可支配收入不变的情况下，城市交通干线噪音均值每增加1，私家车保有量减少4.018。，表示在人均国内生产总值、城市交通干线噪音均值、居民人均可支配收入不变的情况下，公交车营运里程每增加1%，私家车保有量增加1.416%。，表示在人均国内生产总值、城市交通干线噪音均值、公交车营运里程不变的情况下，居民人均可支配收入每增加1%，私家车保有量减少0.429%4.曲线拟合
15、(1).为预测2010年的私家车的保有量，我们经过多次曲线拟合7出时间与私家车保有量的曲线方程，设下面四次多项式的关系：y=b0+b1*x+b2*x2+b3*x3+b4*x4;其中： y-私家车保有量 x-时间b0,b1,b2.b3,b4-曲线方程系数利用matlab求解得系数及方程为：yy = 0.010357 *x4 - 82.7184 *x3 + 247738.4801 *x2 - 329762998.9653 *x+ 164604358536.4044；再进行一次五次多项式拟合的方程为：yyy = 0.042214 *x5 - 0.23321* x4 - 0.39513* x3 + 4
16、.0518* x2 + 89.9343；而后根据以上式子预测且求出2010年的保有量，具体求解过程（见附录二）；(2).预测检验预测值与真实值比较：我们通过所建模型预测各年份的私家车保有量与实际的值如下表和下图所示:各年份的私家车保有量与实际对比年份私人汽车保有量/(万辆)预测值19963.11.634419973.64.815719984.25.758119994.85.669220006.75.756320019.17.226720021311.2880200318.919.147320042932.0122200551.151.0900200678.277.58812007113112.
17、71392008-157.67472009-213.67802010-281.9311从上可知,所得结果与实际的比较吻合,说明我们所建模型是合理的5结果评价与分析：即2010年该地区私家车的保有量预测值为281.9311万辆。从预测的结果可以看出，2010年私家车消费需求迅速膨胀，家庭私家车的消费处于明显迅速的增长阶段。这与现实中我国社会经济发展、交通系统日益完善的实际情况是相符合的。从效果上来说，运用多个变量进行多元回归的短期预测，其结果精度是理想的。第二题：1 模型的建立：根据题目给出的数据我们分别画出它们19962007私家车增长率表和2007.12008.1私家车增长率表： 如下图所示
18、 19962007私家车增长率和增长表年份 私人汽车保有量/(万辆)年增长辆数/(万辆)年增长率19963.1-19973.60.516.13%19984.20.616.67%19994.80.614.29%20006.71.939.58%20019.12.435.82%2002133.942.86%200318.95.945.39%20042910.153.34%200551.122.176.21%200678.227.153.03%200711334.844.382%2007，12008，1私家车增长率和增长表 年份 私人汽车保有量/(万辆)季度增长辆数/(万辆)季度增长率20071 93
19、.4 15.219.949%20072 100.6 7.27.709%20073 107.1 6.56.461%200741135.95.509%20081128 1513.274% 再根据它们的增长率表分别作出:19962007私家车增长率表和2007.12008.1私家车增长率直方图 （见附录三）通过图表观察发现，从19962007，私家车增长率开始保持上升趋势到了05年后又开始下降，但私家车的增长数在遂年增加；而2007.12007.4，私家车增长率持续下降,且私家车的增长数在遂年减少。2.结果分析： 自2007年以来，政府采取了5次升息，9次上调存款准备金率来稳定宏观经济，对此，我们分
20、析得出从紧的货币政策，如：加息、提高人民币存款准备金等等。 对该地区私人汽车保有量有抑制作用。从经济学得角度来说是合理的。一方面，加息和提高人民币存款准备金使得投资和消费得机会成本增加，即他们要为此付出更多得利息，因此会减少人们对汽车得需求量。另一方面，加息和提高人民币存款准备金会增加人们的储蓄。相对于其他投资方式来说，储蓄几乎是无风险的。而汽车是贬值品，此消彼长这样老百姓的购车欲望就会下降。因此在利息率和存款准备金率相对较高得情况下，人们会选择将资金储蓄起来以赚取利息收入，从而直接减少了投资和消费。无论哪一方面都会减少私有汽车的保有量。通过分析，当采取从紧的货币政策即加息或者提高人民币存款准
21、备金时，居民的消费和投资均会减少，私家车作为家庭重要的消费品与资产，也会相应地受到影响，从经济学的角度分析，该地区的私家车保有量会相应减少。 第三问：1. 模型选择：我们分析题意认为根据该地区的汽车废气排放量情况来调控公共汽车和 私人汽车保有辆，可以转化为在该地区汽车废气排放量达到欧III标准的条件下，通过调控在该地区内公共汽车和私人汽车之间的比例，使每年运行的总公里数最大的优化问题。2 建立目标函数：在该地区车辆达到欧III标准的情况下，使得公共汽车和私人小汽车的数量达到最大量,即目标函数如下示：Max f=y+X8;3约束条件：（1）根据假设中私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五
22、分之一，单位小汽车一年内排放的污染物是公共汽车一年内排放污染物的10倍，设单位私人小汽车每辆车每公里排放的CO,HC+NOX,PM量分别为m,n,p，则相对应与单位公共汽车每辆车每公里排放的CO,HC+NOX,PM量分别为0.1m,0.1n,0.1p（2）根据要求单位汽车CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克，可知：m=2.3;n=0.56;p=0.05;（3）我们根据单位汽车排放废气类型和数量的标准，可以转换为汽车平均排放废气类型和数量的标准，即平均单位汽车CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.5
23、6克，PM排放量每公里不超过0.05克，可知：(m*y*s(1)+0.1m*X(8)*s(2)/(s(1)+s(2)(y+X(8)=2.3;(n*y*s(1)+0.1n*X(8)*s(2)/(s(1)+s(2)(y+X(8)=0.56;(p*y*s(1)+0.1p*X(8)*s(2)/(s(1)+s(2)(y+X(8)=0.05;根据题目中的已知条件： s(2)=5s(1)整理化简得：m*(y+X(8)/2)/6(y+X(8)=2.3;n*(y+X(8)/2)/6(y+X(8)=0.56;p*(y+X(8)/2)/6(y+X(8)=0.05;综合上述分析的目标函数和约束条件，可建立线性规划模型
24、：存在得 max f; 利用lingo软件对所建立的模型进行求解（见附件四）4模型结果分析：该地区在汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）要求得条件下, 根据该地区的汽车废气的排放情况，通过调控公交车和私人汽车保有量的比例，使得该地区的公交车和私人汽车保有量的数量和最大化。5模型分析从环保角度来说，该地区的目标是控制汽车尾气的排放总量，而不是控制小汽车的发展。现实中举例示：一辆一汽大众的汽车尾气排放量相当于5辆欧的排放量，相当于7辆欧，14辆欧的尾气排放量。因此，从控制汽车尾气排放总
25、量的层面来说，执行的汽车尾气排放标准越严格，可承受的汽车数量将会越多；一方面是不断上涨的油价，另一方面是停车费上涨。毫无疑问，今后私家车的使用成本将逐年增加，这也不得不让那些打算买车或已经买车的市民们好好思量一番。那么该地区应该制定地区中心区停车规划，利用停车费调节私车的使用。这样，该地区未来对私家车发展的抑制，着力点不是限制拥有，而是调控使用；五、模型评价与推广 模型的优点： （1）把影响私家车的保有量的各个因素，结合表中的数据以图形的形式 展现出来，看起来更直观、明了。 （2） 表中所给数据均符合事实，增加了结果的准确性和可信度。 （3） 所用模型简单易行，便于大众掌握和接受。 （4） 多
26、层次、多方面进行比较，使读者一目了然。 模型的缺点： （1） 我们所用的数据不全，对于做图和分析问题会有一定的影响。 （2） 可能假设中的一部分与事实不太相符。 本模型的建立，解决了较大数量的数据分析，使题目中的问题通过图表 反映出来，更加直观、方便。此外，该模型可用于人口估计、地震预测、气象监测等。（3）结合当前实际情况，私有汽车保有量不仅仅只受题目所列因素的影响，还有各种其他主观因素等的影响，所以在模型一和模型二的建立中，我们可以考虑引入其他相关因素，综合分析影响因素，从而全面完善的得出私有汽车和公交汽车的比例，达到资源的最有配置。参考文献 1 王琴 屈晓菲 刘锐君，私家车保有量增长及调控
27、问题的模型分析，2 王炜 陈学武，交通规划，人民交通出版社3 王庚 王敏生，现代数学建模方法，科学出版社附录(一)X1=2.7000,3.0619,3.3282,3.3689,4.1020,4.3344,4.6030,5.3887,5.9271,6.4507,7.0597,7.9221; X2=2.9735,3.2500,4.2300,4.6757,5.3817,8.3204,9.4194,10.9513,12.5064,14.3767,16.7129,19.0500; X3=3.2753,3.9051,4.7463,5.6955,6.1625,6.8637,7.8815,9.691,10.9
28、26,11.761,12.737,13.46; X4=16.316,18.600,19.886,20.249,21.626,23.544,24.941,25.936,26.596,28.494,29.628,30.063; X5=5.8389,7.0767,8.6188,9.4199,10.826,13.734,17.565,21.995,26.254,32.294,37.447,37.926; X6=19.6,22.8,23.2,23.8,27.3,28.9,28.2,30.8,35.6,39.8,49.8,50.95; X7=7.37,7.89,8.94,10.15,11.98,13.61
29、,17.1,21,23.14,25,26.14,28.97; y=3.1,3.6,4.2,4.8,6.7,9.1,13,18.9,29,51.1,78.2,113; x=ones(1,12),X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7A,B,C,D,E=regress(y,x,0.05)A =61.2817 41.5090 8.1174 -0.9529 -7.5797 2.3288 -0.8493 -8.3306B =-125.5512 248.1146 -43.0051 126.0231 -6.9724 23.2072 -33.1552 31.2493 -17.5225 2.3632 -6.6646 11.3222 -11.1705 9.4719 -32.9865 16.3252C =-3.1566 2.1561 -0.2082 7.4644 -0.9715 -8.7012 6.2448 0.7430 -5.9636 -0.6019 -2.2298 5.2246D =-12.7606 6.4474 -16.3365 20.6486 -17.8557 17.4393 1.7827 13.1460 -13.1191 11.1761 -16.4517 -0.9506 -4.907
