1、极限的求法极限的求法极限的求法科技信息高校讲坛SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2008年第36期极限的求法王竹英(忻州师范学院专科部数学系山西忻州034000)摘要极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。因此，熟练掌握极限的求法是学好数学分析的关键，在本文中，我总结一下学习中遇到的常用极限的求法，并用具体实例加以说明。关键词极限；等价无穷小；定积分；求法函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢？对于这一问题只能针对不同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总
2、结和发现。一、利用初等函数的连续性求极限由初等函数在其定义域内都是连续的可知：若x0是初等函数f(x)定义域内一点，由x0点的连续性limf(x)=f(x0)，则limf(x)=f(limx)。xx0xx0xx0例1求极限limln(sin2x)xn+五、利用两个重要极限求极限（1）当极限形式中含有三角函数时，一般可通过三角公式恒等变性，然后利用重要极限limsinx=1来求解。n0例5求lim1-cosxn0n+解：limsinx=limsinx=0分析：由于函数ln(sin2x)在连续，所以，该极限可根据函数连续性求解。解：limln(sin2x)=ln(limsin2x)=lnsian=
3、ln.xx2sinx1-cosxlim解：lim=limx0x0xsinxx0xsinx222222222sinx2222222222x1=111=sinx221（2）极限呈1形式时的计算方法。函数中含有幂指函数时，往往出现这种情形，这时可通过变换化二、利用等价无穷小代换求极限在求乘除表达式的极限时，巧妙运用等价无穷小代换，可以简化计算且求出极限值不变。当x0时，常用的等价无穷小代换：sinxx,ntanxx,arctanxx,1-cosxx,ln(1+x)x,ex-1x,姨-1x。21成1+1xxx1或(1+x)的形式，然后利用重要极限lim1+x+x1=e或limxxx0x1+x-1例2求
4、lim2x0(x+x)tan2解：x0时，tanxx,故lim-1=limx0x0(x+x)tan2x=02(1+x)=e求解。2例6求lim1+xxxx-1222x1+x1+x-1=lim2x3=lim2x0x0x(x+x)x(x+x)(姨1+x-1)2解：lim1+xx1+2xx=e1=ex=x1+2xlimxx(x+1)(姨1+x+1)六、利用洛必达法则求极限在不定式极限中，0型与型是基本的不定式形式，可以直接使用洛必达法则。对于其它类型：1,0,00,0,-可以设法转化为这两种类型来计算。例7求limsin(3x)x0注意：等价无穷小代换只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换，否则
5、会导致错误。三、利用夹逼准则求极限考虑将极限表达式适当放大或缩小，易于求二者极限。若二者极限值相等，则原极限等于此值。例3求lim(n1姨n+11姨n+21姨n)+n解：此极限为无限多个无穷小的和的形式，关于有限个和的极限法则在此不能使用，可利用夹逼准则。因为：n姨nn1姨n+n+1n1姨n+21姨nn姨n+11而limn姨n=limn=1故由夹逼准则知lim(n姨n+1=1，limn姨n=lim+1n姨n+)+1姨n+2四、利用无穷小量的性质求极限姨n+1+1姨n+n解：limsin(3x)=lim3cos3x=lim3（1+x）cos3x=311=3x0ln(1+x)x0x01x-1例8求
6、limx-1lnxx1x-1解：lim=limxlnx-x+1=limlnx+1-1=limx1x1x1x1lnx+1lnx=lim=lim1=1x1x1lnx+1-+1+x七、利用导数的定义求极限f(x0+x)-f(x0)，即函数值改变量与自变量改变量之比f(x0)=limx0+x+x+的极限。无穷小量与有界量之积为无穷小量。例4求limsinxx+解：limf(a+x)-f(a-x)=limf(a+x)-f(a)+f（a）-f(a-x)=limx0x0x0xxf(a+x)-f(a)+f(a-x)-f(a)f(a+x)-f(a)-xf(a-x)-f(a)x（下转第232页）=limx0xx0
7、例9设f(x)在a可导，求极限limf(a+x)-f(a-x)x科技信息高校讲坛SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2008年第36期国资源总量的20%。特殊的气候条件，使青海省的沙棘资源有效成分含量普遍高出其他省份2-3倍。此外还有很多名贵的药材和食用的野生植物，如党参、黄茂、当归、贝母、丹参、大黄、羌活、甘草、虫草、麻黄、柴胡等都是青海省特有的纯天然绿色名贵药材；食用的野生植物如柳花菜、鹿角菜、苦苦菜等；纤维植物有罗布麻、鬼箭锦鸡儿、金露梅、藏忍冬、芦苇、狼毒等；油料植物有香需、文冠果、薄荷、宿根亚麻等；淀粉类植物有蕨麻、锁阳、黄精、玉竹等。（上接第250页）=f(a
8、)+f(a)=2f(a)八、利用泰勒公式求极限例10求limcosx-ex0-x2x解：由于cosx,e2-x42在x=0的泰勒展式为：5三、青海绿色食品品牌发展情况：青海是一个资源大省，其绿色产品品牌建设具有一定的基础。据青海省绿色产品办公室统计，青海省已认证无公害农产品60个，认定产地71处；有效使用绿色食品标志的生产企业24家，产品67个；有机食品生产企业7家，产品34个。青海天露乳业有限责任公司的天露牌纯鲜牛奶等31家企业的44个产品，在2003年青海省名牌产品测评中浮出水面，荣获青海省名牌产品称号4。据青海省绿色产品办公室统计，至2007年，青海省共有51家企业的88种产品进行了绿色
9、产品商标注册，到2008年，天露牌、晶珠牌、互助牌、一片绿等34种绿色食品进入青海省名牌产品行列。cosx=1-x+x+o(x)于是cosxe5(x)=-1x2ex2251xxo(x)44255=1-x+x+o(x)-1xxo(x)=-x+o姨224姨姨4姨45-x+o(x)因而，limcosx-e=lim=-1x0x0xx九、利用左右极限讨论分段函数在分段点处的极限利用定理：limf(x)=A圳limf(x)=limf(x)=A-xxx0xx0-1-cosx,x-x0+x0-x0十、利用定积分定义求极限求数列极限是数学分析的基本技能，在一些情况下，数列极限运算可转化为计算定积分，这是计算数列
10、极限的一个简便有效的方法。从青海绿色产品品牌发展情况图中可以看出，从2004年起，青海的绿色产品品牌注册呈上升趋势，2004年至2007年四年间，进行绿色产品商标注册的企业数以每年50%、57.14%、54.54%的速度增加，产品数以每年47.82%、52.94%、69.23%的速度增加，以这种趋势发展下去，青海绿色产品品牌化进程将越来越可观，绿色产品对青海经济发展所做出的贡献也将越来越明显。在市场经济条件下，品牌就是资本、价值和市场。发展绿色食品既有利于优化农业产品结构，又有利于实现生态环境的改善和良性循环，从而实现生态效益、社会效益和经济效益的统一。因此，青海利用丰富的自然资源进行绿色食品
11、品牌化发展具有明显的优势效应，市场开发潜力巨大。绿色食品品牌建设必将成为培育青海特色经济和转变农牧业经济增长方式的一条有效途径，也必将为青海实现生态立省的战略发挥积极的作用。科参考文献1绿色食品统计年报M.中国绿色食品发展中心,2006年.2青海省统计局.青海统计年鉴2007M.中国统计出版社3青海省发展改革委员会.以人为本，促进人与自然和谐发展研究J.2006年4祁生援,魏克家,刁治民.绿色青海M.西宁:青海省农牧厅,2004年.作者简介：蔡守琴，女，青海大学财经学院副教授。例12计算数列极限limx姨解：将数列通项变形为：+n姨n姨n姨姨n=k=1+=1姨n姨n姨n姨+1姨+1姨令f(x)
12、=姨,0x1它是n等分区间0,1，k取区间1k-1,k的右端点构成的积分和。已知函数f(x)=姨在0,1可积，于是，由定积分定义有：limxk=1n姨1=2乙姨dx=01以上是我总结的极限的十种常用求法，在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式，选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。科参考文献1同济大学数学系，高等数学（上册）M北京：高等教育出版社，2001.2刘玉琏，数学分析（第二版）北京：高等教育出版社，1994.10.3华东师大数学系,数学分析（第二版）北京：高教出版社，1991.3.4B.吉米多维奇,数学分析习题集,济南:
13、科学技术出版社,2005.3.责任编辑：张艳芳作者简介:王竹英,女,（1980.06）现在忻州师范学院专科部数学系任教。责任编辑：张新雷极限的各种求法专题三 关于和式极限的求法 极限是数学分析中非常重要的概念，极限思想始终对于解决分析中的许多问题起着非常关键的作用，而且和式极限是极限论中的重难点问题.因此，掌握极限论的基础理论，包含各种求和式极限的方法对学好数学分析具有重要意义。问题1：和式极限具有什么形式？ 答：这里考虑的是形如 ukk 0n的极限。问题2：和式极限的常用求法有哪些？答：常用求法有：部分和公式法、分组拆项法、两边夹准则法、定积分定义法、恒等变形法、函数项级数法、数项级数的收敛
14、性法。问题3：举例说明部分和公式法是如何应用的？ 答：部分和公式法即利用数列中的一些已知的部分和公式来求和式极限 .例1 计算lim1 2 nn2222nn 3 limn k 1kn23 解：因为1 2 n 2216n(n 1)(2n 1)，1所以，lim1 2 nn3222n limn n(n 1)(2n 1)n3 13. 例2 求 n 02 2 3nn的和.n 2 1 1 1 2 1 n 3 3 lim lim n n 1 2 1 1 3 3 n 2 3 解：原式 3n 02n n 0 2 3nn n1 1 1 1 2 1 n 3 lim limn n 2533 3 53 185.问题4：
15、举例说明分组拆项法是如何应用的？ 答：分组拆项法即将某些和式利用已知的公式组拆项后再求和式极限.n 352n 1 2k 1例 3 计算lim 22 22 2 lim k2(k 1)2 2 n 1 2n 2 3n (n 1)k 1 n解：limn k 12k 1k(k 1)n22 352n 1 lim 22 22 22 n 1 22 3n (n 1) lim 1 11 lim1 k2(k 1)2 n (n 1)2 1. n k 1 问题5：举例说明两边夹是如何应用的？答： 两边夹准则法是将待求的和式适当放大和适当缩小后再利用极限的存在性准则来求极限. 例4计算lim n n n lim n k
16、1 n解：因为 k 1n 1.， k 1 n k 1 limnn limnn 1，所以limn k 1 a,b 问题6：举例说明定积分定义法是如何应用的？答：定积分定义法是将某些和式极限化为定积分定义中的积分和，再利用定积分求和式极限.首先回顾定积分的定义：定义1、如果函数f(x)在a,b上黎曼可积，以下插入点a x0 x1 x2 xn 1 xn b是对区间a,b的任意划分， i为区间xi 1,xi上的任意一点 ，记 xi xi x i1， max x1, x2, , xn则 f(x)dx lim f( i) xi.abn 0i 1定义2、如果函数f(x)在a,b上黎曼可积，将区间a,bn等分
17、， i为区间b ai i 1 上的任意一点 ，记 xi ，则 (a b)a( b) n nn ba f(x)dx limb annn i 1f( i).n11 1 1例5 计算lim lim n n 1n n 2n n k 1n kn解：因为 limn k 11n kn limn k 1n1n kn lim1nn n11 kn,设 f(x) 11 x, x 0,1,k 1此函数显然是黎曼可积的. 所以原式= ba11 xdx ln2.n1 2 n 1k 例6 计算lim sin sin sin limsin n n n nnn n k 1n解：设f(x) sinx，x 0, ，显然是黎曼可积的
18、.n所以limn nk 11sink n lim1nn k 1 nsink n 1 0sinxdx 2 .问题7：举例说明恒等变形法是如何应用的？答：恒等变形法是根据将待求的和式进行适当的变换后，再进行一定的数学运算，然后再求极限.n32n 1 2k 1 1例7 计算lim 2 limn n 2kn 222 k 1解：设Sn 可得12Sn 12122 322 2n 1n32322n 12n 1（1） （2）由（1）-（2），得1 1 1 2n 112n 1112222n 132n 32 2 Sn 2 3 n n 1 n 1 2 n 1122222222221 2于是，Sn 3 2n 32n 1
19、，所以，原式 lim3 n 1 3. n 2 2n 3 问题8：举例说明函数项级数法是如何应用的？ 答：函数项级数法包含幂级数展开式法与傅立叶级数展开式法（一）、幂级数展开式法是在函数的幂级数（特别是麦克劳林级数）展开式中，选取适当的x值，即可能转化为通过讨论数项级数的收敛性来求和式的极限.n 1 2nk例8 计算 lim lim n n (n 1)! k 1(k 1)! 2!3!解： 因为e 1 x 所以 etdt x 0xx12!x 213!x 31n!x ，n12!x 213!x 31n!x n1(n 1)!1xn 1 e 1x在上两式中令x 1，得：e 1 1 12! 1n! n 1
20、! 1 k 01k! （1）e 1 1 12!1 13! 1n!(n 1)! (k 1)! （2）k 01 由（1）-（2），得1 k!k 01 n k 0(k 1)! limn (k 1)!.k 1kn所以lim n k 1k(k 1)! 1 2 1.例9 求 lim n 13 22 15 23 . n 2n 1 2 1 分析： 将上式改写为 2n 1 n 11 2n 1 2n n 1 2n 1 12n 1，若能求出 n 1x 2n 1 的和函数S x ，且x 是收敛域内的点，则 S ，于是问题的 关键变成求S x . 解：设S x n 1x2n 12n 1易得收敛半径R 1在( 1,1)内
21、逐项求导得 S x n 0x2n 11 x2由于S 0 0，故因S x x0dt1 t2 12ln1 x1 x， 1,1 ，所以 11 1 .（二）傅立叶级数展开式法是在函数的傅立叶级数（特别是正弦级数）展开式中，在其收敛域内选取适当的X值，即可转化为通过对数项级数收敛性的讨论来求和式的极限.n例10 计算limn k 1( 1)k2k 1 解：将f(x) 2x2在 , 上展开成余弦级数： a0 2 2 02xdx 02243 ，n2an 2xcosnxdx ( 1)8n2(n 1,2, )且余弦级数在 , 上满足狄利克莱充分条件.因此23 f(x) ( 1)n 12n8n2cosnx x ,
22、 令x 0，则 0 23 2 1 n 1n8n2 ，所以 limn n 1 1 n2n 1 212 n故 limnn k 1 1 k2k 1 212.k 1注：对满足 lim开得到.n k 11k2 2n6以及limn k 1( 1)2k 1 4等均可通过适当函数进行付氏展问题9：举例说明数项级数的收敛性法是如何应用的？ 答：数项级数的收敛性法 定理1 级数 uk收敛的充分必要条件是对于任何 0，存在自然数N，使得对于一k 1n p切n N与一切p 1恒有 k n 1uk un 1 un 2 un p 成立.例11 求极限lim n p1n 1 1pn 2 1 . 2n p 解：显然级数 k
23、11pn k，对任何 0，存在自然数N，(p 1)是收敛的. 根据Cauchy准则，q使得对于一切n N与一切q 1恒有 0取q n N，有 k 11pn k 1pn 1 1pn 2 1pn q 成立.n k 11pn 1p1 n1p2 n n .由 的任意性可知 1lim n 1 n p1p n 21 2 np . 0思考题：一、 你能再说出一些特殊类型的和式求极限的方法吗？二、 对于更一般的形式有否一般的方法处理？ 参考文献1 陈传璋.数学分析M.北京：高等教育出版社 ，19842 孙涛.数学分析经典习题解析M.北京：高等教育出版社，2003 3 刘玉琏、傅沛仁.数学分析讲义M.北京：高等
24、教育出版社，1981 4 钱吉林.数学分析题解精粹M.崇文书局，2003 5 欧阳光中.数学分析M.上海：上海科技出版社，19816 华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，1981 7 裴礼文.数学分析中的典型例题与方法M.北京：高等教育出版社，1993 8 张筑生.数学分析新讲M.北京：北京大学出版社，19889 徐利治、王兴华.数学分析的方法及例题选讲M.北京：高等教育出版社，1986 10 林源渠、方企勤.数学分析习题集M.北京：高等教育出版社，1986.极限的求法 论文材料-5 密级： JINING UNIVERSITY 学 士 学 位 论 文THESIS OF BAC
25、HELOR 题 目 极限的求法 系 别：专业年级： 数学与应用数学(师范)2010级 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 起讫日期： 目 录摘要1 关键词1 Abstract1 Keywords1 引言 （绪论）1 1 极限的定义1 11 数列极限的定义1 12 函数极限的定义2 2 极限的求法2 3 总结9 参考文献9 致谢9 极限的求法数学与应用数学专业 陈万景指导教师 张风云研究方向：高等数学、应用数学。（作者单位 天津工程职业技术学院） 求极限的几种方法一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:limx2 3x 2 2 1 x 2x证: 由x2 3x 2x2 4x
26、 2 x 4x 2 x 2 2x 2 x 2 0取 则当0 x 2 时,就有 x2 3x 2x 2 由函数极限 定义有:limx2 3x 2x 2x 2 1 2、利用极限的四则运算性质 若xlim xf(x) A lim0x xg(x) B (I)xlim x f(x) g(x) lim0x xf(x) limg(x) A B0x x0(II)xlim x f(x) g(x) lim0x xf(x) limg(x) A B x x0(III)若 B0 则：limf(x)limf(x)x x x x0 A 0g(x)limx xg(x)B IV）xlim xc f(x) c limx xf(x)
27、 cA （c为常数） 上述性质对于x ,x ,x 时也同样成立 （例：求 limx2 3x 5x 4 x 2解: limx2 3x 5=22 3 2 52x 42 4 52x 3、约去零因式（此法适用于x x时,000型x3例: 求lim x2 16x 20x2 16x 12 x 2x3 73解:原式= 3x2 10x (2x2 6x 20)xlim 2xx3 5x2 6x (2x2 10x 12) lim(x 2)(x2 3x 10)(x 2)(x2 5x 6)x 2=lim(x2 3x 10)=(x 5)( 2(x2 5x 6)xlimx 2) x 2(x 2)(x 3)=5xlimx 2
28、x 3 74、通分法（适用于 型） 例: 求 limx 2(44 x2 12 x)解: 原式=lim4 (2 x)2 x) (2 x) x 2(=lim(2 x)(2 x)(2 x) x 2=lim1x 22 x 14 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足： = （I）xlim xf(x) 0 (II)g(x) M(M为正整数)则：xlim xg(x)f(x) 0 例: 求 lim1x 0x sinx解: 由 lim0 而 sin1x 0x x 1 故 原式 =limx 0x sin1x 06、利用无穷小量与无穷大量的关系。
29、（I）若：limf(x) 则 lim1f(x) 0(II) 若: limf(x) 0 且 f(x)0 则 lim1f(x) 例: 求下列极限 lim1 5 lim1 x xx 1x 1解: 由 lim(x 5) 故 lim1x x x 5 0由 limx 1(x 1) 0 故 lim1= x 1x 1 7、等价无穷小代换法 设 , , , 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： , ，lim 存在，则 lim 也存在，且有lim = lim 1 cosx2例:求极限limx 0x2sinx222 (x2)2解: sinxx, 1 cosx22 1 cosx2 lim2x 0xsinx2=(x2)2 12x2x2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的阶数 8、利用两个重要的极限。(A)limsinx1 1 (B)lim(1 )x ex 0x xx但我们经常使用的是它们的变形：sin (x) 1,( (x) 0) (x) 1(B)li
