1、教学内容用函数观点看方程组与不等式学科：数学教学内容：用函数观点看方程（组）与不等式新课指南1知识与技能：能通过函数图象获取信息，发展形象思维2过程与方法：经历猜想、发现、比较、归纳的过程，探究出解决问题的方法，用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组、不等式，发展学生的数学应用能力3情感态度与价值观：通过体会方程（组）、不等式与函数的关系，建立良好的知识联系，充分体会函数知识与方程（组）、不等式和相关几何知识的联系，培养学生用恰当的数学思想方法来解决问题，要理解数学知识来源于实际生活，又反过来服务于生活4重点与难点：重点是利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系
2、、函数与不等式的关系，建立良好的知识联系难点是利用函数图象解决实际问题教材解读数学与生活一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的设从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如图1137所示（1）求0x4时,y随x变化的函数关系式；（2）求4x12时，y随x变化的函数关系式；（3）每分进水、出水各多少升？思考讨论 从图象上可以看到，4分水量从0增加到20升，则每分进水：204=5（升），则y随x变化的函数关系式是y=5x(0x4)，也可以设为0x4，y随x变化的函数关系式是y=kx（k0），当x=4时，y=20，代
3、入关系式即可求出k，进而求出函数关系式由此我们发现，有些问题可以用方程来解答，也可以从函数的观点来解决，如问题（1）.那么另外的两个问题你也会用上述方法解决吗？知识详解知识点1 两条直线的交点两个一次函数图象的交点表示点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同例如：求直线yx与y=3x-4的交点，就可以把两个二元一次方程组成方程组解得两条直线的交点坐标为（2，2）.那么，我们也可以在坐标系内画出这两条直线的图象，如图1138所示，观察两条直线的交点，正是（2，2）知识点2 利用一次函数解决实际问题一次函数是刻画现实世界物质之间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是，十分广泛如天平、弹簧秤、杆秤
4、，以及测量气压、血压、温度等有关仪器，它们都是应用一次函数的实例，这也是用函数的观点看待方程（组）与不等式等知识的实例探究交流？ 如图1139所示，l甲，l乙分另表示甲、乙两弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系为（ ）Ak甲k乙 Bk甲=k乙Ck甲k乙 D不能确定点拨 从图象上观察到，l甲与横轴所夹锐角比l乙与横轴所夹锐角大，故k甲k乙，故选A项知识点3 近似函数关系式我们通常采用待定系数法来确定函数关系式，但实际生活中存在的数量关系错综复杂，在实践中
5、得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们之间是什么函数关系因此需要根据经验分析，并进行近似计算，建立比较接近的函数关系进行研究例如：某区2000年统计了该区男学生各年龄组的身高，相关数据如下表所示，求平均身高h（厘米）随年龄组n（岁）变化的近似函数关系式，年龄组n/岁7891011121314151617男生平均身高h/厘米1115.2118.5123.4128.6133.1138.2143.7148.9154.2162.4167.8分析 把这些数据所对应的点在坐标系中描出，如图1140所示，我们发现，这些点大致在一条直线上，因此说h与n的关系接近于一次函数，可以用一条直线去尽可能地接近
6、这些点，求出近似函数关系式，我们选择与直线比较近的点（8，1185）和（15，1542）解：设近似函数关系式为hkn+b，将(8，1185)和(5，1542)代入得近似函数关系式为h=51n+777【说明】 此题也可选择其他两点来确定近似函数关系式.典例剖析基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）通过函数图象获取信息；（2）利用函数图象解决实际问题例1 如图1141所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A25米 B2米 C15米 Dl米分析 由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8
7、，64）和原点O（0，0），BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12）求出函数表达式，就能判断两者的速度大小该直线OA的表达式为s=v1t直线BA的表达式为s12+v2t将点（8，64）分别代入，得64=8v1，64=8v2+12v1=8，v2=65v1-v28-6515（米秒）故正确答案为C项小结 一次函数在表示路程和时间的关系时，图象与横轴（时间）所夹的锐角越大，表明速度越大，反之，所夹锐角越小，表明速度越小，因此，也可由图象判断速度的快慢.例2 A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往张村和李庄，从A城运往张村、李庄的运费分别是20元吨与25元/吨，从B城运往张
8、村、李庄的运费分别为15元，吨和22元吨，现已知张村需要220吨，李庄需要280吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？分析 先求出总费用与选择的自变量之间的函数关系式，再求最小值解：两城现有的化肥数量恰好等于两地所需的化肥数量设A城化肥运往张村x吨，则运往李庄（200-x）吨，B城化肥运往张村（220-x）吨，运往李庄280-（200-x）=80+x（吨）,总运费为y元，根据题意，得y=20x+25（2O0-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060.其中0x200，当x=0时，y最小值=10060此时200-x=200（吨），220-x=2
9、20（吨），80+x=80+0=80（吨）答：最少运费的调运方案是从A城运往李庄200吨，从B城运往张村220吨，运往李庄80吨，此时最少运费为10060元综合应用题本节知识的综合应用包括：（l）与方程知识的综合应用；（2）与代数知识的综合应用例3 某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束后，甲、乙两生产线的总产量相同；（2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的
10、图象，观察图象分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高分析 此题涉及求解析式及函数与方程的关系，并利用一次函数的图象解决实际问题解：（1）由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+100乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x令20x+200=30x，解得x=20当第20天结束时，两条生产线的总产量相同（2）由（1）可知，甲生产线所对应的函数图象一定经过两点A（0，200），B（0，600），乙生产线所对应的函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600），画出两个函数图象如图1142所示由图象可知，第15天结束时，甲生产线的总产量高；第25天结束时，乙生产线
11、的总产量高学生做一做 随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂，某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x（万个）与单价y1（万元）之间的函数关系如图1143所示，需求量x（万个）与单价y2（万元）之间的函数关系也如图1143所示，如果你是这个电子工厂厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？老师评一评 本题涉及求一次函数解析式及方程的有关知识由题意设供应线y1=k1x+b1，需求线y2=k2x+b2,由图象可知,y1的图象过点（0，80），（20，60）两点，y1=-x+80.由图象可知，y2的图象过点（0，60），（30，70）两点，当供需平衡时，y1
12、=y2.，x=15.当x=15时，y1=y2=65.生产这种计算器15万个，每1万个售价65万元（即每个售价65元）时，能使市场达到供需平衡探索与创新题本题主要考查利用函数的观点来看待方程（组），利用函数图象解决实际问题例4 （2003黄冈）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间的关系近似地满足如图11-44所示的折线（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据临床观察，每毫升血
13、液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，问怎样安排此人从6：00到20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？分析 （1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式；（2）从图中发现，当y=4时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间，而正比例函数中的对应时间就是控制病情有效时间的开始；（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间解：（1）当0t1时，设y=k1t，则6k
14、11，h1=6，y=6t.当1t10时，设y=k2t+b，y=-.y与x之间的函数关系式是y=（2）当0t1时，令y=4，即6t=4，t=；当1t10时，令y=4，即-t+=4, t=4.注射药液小时后开始有效，有效时间长为4-（时）.（3）设第二次注射药液的时间是t1小时后，则-t+=4,t1=4（时）.第二次注射药液的时间是10：00.设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和,-t2+ (t2-4)+ =4, t2=9（时）.第三次注射药液的时间是15：00.设第四次注射药液的时间是在第一次注射药液t3小时后，
15、此时体内不再含有第一次注射的药液（t10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和，-（t3-4）+（t3-9）+=4,t3=13 (时) .第四次注射药液的时间是19：30安排此人注射药液的时间分别是6：00，10：00，15：00，19：30这样安排才能使病人的治疗效果最好中考展望中考命题总结与展望本节是一次函数的实际应用，在近几年中考中占有很大比重，许多省市的中考题都有这部分内容，尤其是用函数的观点看待方程（组）、不等式和几何知识等，利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力中考试题预测例1
16、（中考预测题）如图1145所示，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧挂9km物体时的长度为 cm分析 设ykx+b，把点（5，45），（20，22）代入解析式可得y=x-.当x=9时，y=9-= (cm).当弹簧挂9kg物体时，弹簧总长为cm.答案： 例2 （2004南通）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0009千瓦）的节能灯，售价49元盏，另一种是40瓦（即004千瓦）的白炽灯，售价18元盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦时05元（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示
17、用一盏节能灯和一盏白炽灯的费用y（元）；（注：费用=灯的售价+电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏；当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？分别画出两个函数的图象，利用函数图象判断：a.照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；b照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低（3）小刚想在这两种灯中选购两盏假定照明时间是3000小时，使用寿命就是2800小时，请你帮助他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由分析 本题关键求出照明时间x（时）与费用y（元）之间的函数关系.解：（1）选用一种节能灯，费用y（元）与照明时间x（时）之间的函数关系式是y=49+0009O5x0.0045x+49（0x280
18、0）；选用一种白炽灯，费用y（元）与时间x（时）之间的函数关系式是y=18+004O5xO02x+18（0x2800）（2）由题意可知，00045x+49=002x+18，x2000照明时间在2000小时时，两种灯任选其一即可画出这两个一次函数的图象如图1146所示由图象可知，a.当照明范围是0x2000时，使用白炽灯费用低b当照明范围是2000x2800时，使用节能灯费用低（3）分下列三种情况讨论：如果选用两盏节能灯，则总费用是492+000453000=1115（元）.如果选用两盏白炽灯，则总费用是182十OO23000=96（元）如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大
19、于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低，总费用是49+18+OO045280O+002（3000-280O）=836（元）综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时，费用最低【说明】 （3）问中也可设节能灯用t1小时，则白炽灯用（3000-t1）小时，总费用为y=49+0.0045t1+18+0.02（3000-t1）=127-0.0155t1（0t12800）.-0.01550，y随t1的增大而减小.当t1=2800时，y最小值=127-0.01552800=83.6（元）.此时，节能灯用2800小时，白炽灯用200小
20、时，所以，应采用，两盏灯各买1盏，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，此时费用最低.例3 （2004四川）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？分析 本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y与x之间的函数关系式解：（1）此车间每天
21、所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是y=6x150+5（20-x）260=26000-400x（0x20）（2）当y24000时，有26000-400x24000，x5，20-x15要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。例4 （2004河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区
22、x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议分析 先求出总租金y（元）与x（台）之间的函数关系式解：租赁公司收割机总数等于A，B两地区所需收割机总和（1）派往A地区x台乙型联合收割机，则派往A地区（30-x）台甲型联合收割机，派往B地区（30-x）台乙型联合收割机，派往B地区20-（30-x）=x-10（台）甲型
23、联合收割机y=1600x+120O（30-x）+180O（30-x）+1600(x-10)20Ox+74000自变量x的取值范围是10x30（x是正整数），（2）由题意得20Ox+740007960O，x28x28，29，30有3种不同分配方案当x=28时，即派往A地区甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，派往B地区甲型联合收割机18台，乙型联合收割机2台当x=29时，即派往A地区甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，派往B地区甲型联合收割机19台，乙型联合收割机1台当x=30时，即30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区（3）由于一次函数y=200x+7
24、4000的y值是随着x的增大而增大的，所以，当x=30时，y取最大值，如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30时，y6000+74000=80000（元）建议农机公司将30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高例5 （2004福州）已知正比例函数y=kx（k0）的图象经过第二、四象限，则（ ）Ay随x的增大而减小By随x的增大而增大C当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小D不论x如何变化，y不变分析 本题主要考查正比例函数的性质，图象经过第二、四象限，k0，y随x增大而减小，因此，正确答案为A项
25、例4 （2004昆明）我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务甲厂的优惠条件是：按每份定价15元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价15元的价格不变，而制版费900元六折优惠且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选择哪个厂？需要多少费用？解：（1）y甲=1580x+900=12x+900（x500）；y乙=15x+90060=15x+540（x500）（2）
26、当y甲y乙时，两个印刷厂费用相等，有12x+90O=15x+54O，x=1200当印刷数量x=1200份时，两个印刷厂费用一样，二者任选其一.当y甲y乙时，选择甲印刷厂费用少，比较合算，有12x+90015x+540，x1200当印刷数量x1200份时，选择甲印刷厂费用少，合算当y甲y乙时，选择乙印刷厂费用少，比较合算，有12x+90015x+540，500x1200当节刷数量500份x1200份时，选择乙印刷厂费用少，比较合算.由可知，当印制2000份时，选择甲印刷厂比较合算所需费用y甲=122000+900=3300（元）如果要印制2000份录取通知书，应选择甲印刷厂，需要3300元例7
27、（2004福州）如图1147所示，l1，l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样（1）根据图象分别求出l1，l2的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明用2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接写出答案，不必写出解答过程）分析 首先求出l1，l2的函数关系式解：（1）设直线l1的解析式为y1=k1x+2，由图象可得17=500k1+2，k1= 003y1=0.03x+2(0x2000).设直线l2的解析
28、式为y2=k2x+20，由图象可得26=500k2+20，k2=0.012.y2=0.012x+20（0x2000）(2)当y1=y2时，两种灯的费用相等，即003x+2O012x+2O，x1000当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等（3）最省钱的设计方案是节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时，设计理由如下：设白炽灯使用x1小时，则节能灯使用（250O-x1）小时，则费用y=003x1+2+0012(2500-x1)+20=0018x1+52（500x1200O）00180，y随x1的增大而增大当x1=500时，y最小值=0018500+5261（元）因此，最省钱的设计方案是：
29、白炽灯使用500小时，节能灯使用2000小时例4 （2004南宁）如图1148所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司已经赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）A小于3吨 B大于3吨C小于4吨 D大于4吨分析 由图象可知，l1的关系式为y1=1000x；l2的关系式为y2=500x+2000当公司赢利时，有y1y2，1000x500x+2000，x4当销售量大于4吨时，该公司赢利，故正确答案为D项例9 （2004山东）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表海拨高度/米0100200300400平均气温/24234228222216（1）若海拔高度用x（米）表示，平均气温用y（）表示，试写出y与x之间的函数关系式；（2）若某种植物适宜生长在1821（包括18，也包括21）的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？分析 关键是找到y与x之间的函数关系式由图表可以发现：海拔每升高100米，平均气温下降0
