1、解直角三角形的应用导学案4.4解直角三角形的应用课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、正确理解解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形要理清这个概念的涵义：（1）隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件.（2）已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形.因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形大小，更无法求其边长了，即不能解三角形. 2、掌握解直角三角形的依据在RtABC中，C = 90，a、b、c分别是A、B、C的对边（1）三边之间的关系（即勾股定理）：a2
2、+b2=c2；（2）两锐角之间的关系：AB = 90；（3）边角之间的关系：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=.（4）面积关系：SABC=ab=ch（ h是斜边上的高）=absinC=acsinB=bcsinA（同学们自己可以证明）3、解直角三角形的解法分类及方法：（1）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（2）已知两边解直角三角形.4、掌握与解直角三角形相关的几个概念：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角（如图）. （2）方向角：如图所示，在平面上过观测点O，画一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为
3、北向），则从点O出发的视线与铅垂线（南北方向线）的夹角，叫做点O的方向角（或称为象限角），例如，图中点A的方向角为北偏东30，点B的方向角为南偏西45（或称为西南方向）.注意：方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏（东、西）；观测点不同，所得的方向角不同（如图所示，从点O出发观测点A的方向角为北偏东30，而从点A观测点O的方向角为南偏西30），但各个观测点的南北方向线是互相平行的.（3）坡度问题的相关概念：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示，即.坡度一般写成1的形式，如13；坡面与水平面之间的夹角记作（叫做坡角），那么.名师导学互动（切磋琢磨，方
4、法是制胜的法宝）典例精析类型一：航海问题例1、如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东6545的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险? 【解题思路】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题【解】在RtABD中，（海里），BAD=906545=2415.cos2415=，(海里).AC=AB+BC=30.71+1
5、2=42.71(海里).在RtACE中，sin2415=，CE=ACsin2415=42.710.4107=17.54(海里).17.5418.6，有触礁危险. 【方法归纳】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险.对应练习：如图，一轮船原在A处，它的北偏东方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：如图，在中，过点A作
6、BP的垂线AC，垂足为C，则，.，在中，CP=AC=，.所以轮船到达B点时，与灯塔P的距离为n mile.类型二：坡度问题例2、某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了_米【解题思路】坡度即坡角的正切值为，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿着山路前进200米，则升高200=10（米）.【解】填10.【方法归纳】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误.突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果. 对应练习：水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固。原大坝的横断面是梯形A
7、BCD，如图所示，已知迎水面AB的长为10米，B60，背水面DC的长度为10米，加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE的长为5米.（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度.（计算结果保留根号）解：（1）分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示.在RtABF中，AB10米，B60。所以sinB，DG5，所以S，需要填方：100（立方米）（2）在直角三角形DGC中 ，DC10，所以GC，所以GEGCCE20，所以坡度i.类型三：仰角、俯角问题 例3、如图所示：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60，沿山坡向上走到P
8、处再测得点C的仰角为45，已知OA=100米，山坡坡度为，（即tanPAB=）且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留）【解题思路】很显然，电视塔OC的高在RtOAC中即可求得.要求点P的铅直高度，即求PE的长，由坡度i=1:2，可设PE=x,则AE2x.此时只要列出关于x的的方程即可.求点P的铅直高度要借助于45所在的Rt来解决，过点P作PFOC，垂足为F.在RtPCF中，由PFCF，得100+2x=100x,即可求得PE的长.【解】过点P作PFOC，垂足为F.在RtOAC中,由OAC60，OA100，得OCOA tanOAC
9、=100米.过点P作PEAB，垂足为E.由i=1:2,设PE=x,则AE2x.PFOE100+2x，CF100x.在RtPCF中,由CPF45，PFCF,即100+2x=100x, x,即PE=.答：电视塔OC高为100米.点P的铅直高度为米. 【方法归纳】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与解直角三角形之间的联系 对应练习：在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图所示）：在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角；量出测点A到旗
10、杆底部N的水平距离AN=m；量出测倾器的高AC=h。根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN. 如果测量工具不变，那么请你依照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图）的方案.（1）在图中，画出你测量小山的高度MN的示意图（标上适当字母）；（2）写出你的设计方案.解：（1）画出示意图如图.（2）在测点A处安放测倾器，测得山顶M的仰角；在A与小山之间的B处安放测倾器（A、B、N在同一直线上），测得此时山顶M的仰角；量出测倾器的高AC=BD=h，设两测点间的距离，根据上述数据即可求出高MN.类型四：测高问题例4、某数学兴趣小组，利用树影测量树高已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成
11、30夹角（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度（计算结果精确到0.1米，参考数据：1.414， 1.732） 【解题思路】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用【解】（1）在RtA BC中，BAC90，C30，tanC ABACtanC95.2（米）（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DEAD交AC于E点，（如图）在RtADE中，ADE90，E30，AE2AD25.210.4（米）. 【方法归纳】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2
12、）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难.突破方法：以A为圆心，AB为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长. 对应练习：图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF16cm，求塔吊的高CH的长解：根据题意，得DE=56，AB=EF=16.ACB=CBGCAB=15，ACB=CAB，CB=AB=16.CG=8.CH=CG+HG=CG+DE=AD=8+56+5=69.所以塔吊的高CH为69米. 类型五：学科间综合题例5、如图所示，秋千链子的长度为3m，静
13、止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：0.8,0.6) 【解题思路】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题【解】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BCAD于点C在Rt中， AC=1.8（m） （m） （m） 【方法归纳】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，
14、从而可求得CD的长. 对应练习：如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为30. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.24，2.45)解：（1）如图，作ADBC于点D ， RtABD中，AD=ABsin45=4 ，在RtACD中，ACD=30，AC=2AD=5.6，即新传送带AC的长度约为5.6米 （2）结论：货物MNQP应挪走在RtAB
15、D中，BD=ABcos45=4；在RtACD中，CD=AC cos30=，CB=CDBD=，PC=PBCB 42.1=1.92 ，货物MNQP应挪走 类型六：构造多个直角三角形测河宽例6、九年级（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60o方向，C点在B点北偏东45o方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长（，结果精确到0.01米） 【解题思路】本题考查解直角三角形在实际生活当中的综合运用要求学生能根据问题实际快速确定正确解决问题的方法【解】过点B作BED，BFD，垂足分别为E，F，如图，由题意知，ADCD，四边形BFDE为矩形，BF=ED ，在RtABE中，AE=ABcosEAB，在RtBCF中，BF=BCcosFB
