1、解三角形单元测试题及答案解三角形单元测试题及答案第一章解三角形正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即亠二旦二亠=2RsiA siB siC （其中R是三角形外接圆的半径）a +b +c a b c2.变形：1) sin sin 三 sin C sin sin m sin C2）化边为角:a : b : c = sin A: sin B : sin C ；a sin Ab sin Ba si nAb sin B c sin C c sin C 3）化边为角：a = 2Rsin A,b =2Rsin B,c = 2Rsi n Csin A
2、 as i B bs i A a4）化角为边：sin B b s i C cs i C c “ abc5）化角为边：sin A ,2Rsin B ,2Rsin C - -2R二.三角形面积1 1 1S abc absinC bcsin A acsin B1. 2 2 2三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他 两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的2倍，即2 , 2 2a b c -2bccosAb2 二 a2 c22accos Bc2 二 a2 b22ab cosCcosC 二a2 b22ab利用余弦定理判断三角形形状: 设a、b、c是心C的角一三、C的对边，则：若，
3、八八广七y 所以为锐 角2若c2 b2亠 A为直角金_1_ c2 +b2 903所以为钝若 -角，则是钝角三角形 三角形中常见的结论三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180 (A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：-;-； 两边之差小于第三边：“一厂，一、； 在同一个三角形中大边对大角：A B 二 a b= sin A sin B4）三角形内的诱导公式:siA( B = ) CcioA( B =) 一 (Ctoa A ( B =) - Ca解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分， 共60分）1 在 ABC 中，a= 2, b= 3, c= 1,则 最小角为( )3
4、.在 ABC 中，已知 |ab |= 4, |AC|= 1, SaABC =U3,则 abac 等于（ ）A 2 B. 2 C .D. i24. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 c= 2,b= 6,B= 120贝9 a 等于（ ）A. 6 B. 2 C. 3 D/ 25.在厶 ABC 中，A= 120 AB= 5, BC= 7, 则sinC的值为（）2,4, X,则x的取值范围是( )A . 1xv 5C. 1x2 5 D.则cosB等于（8下列判断中正确的是（ ）A. ABC 中，a= 7, b= 14, A= 30 有 两解3B. 2D.y 或 tn10.在厶ABC 中，
5、BC= 2, B = 3,若厶ABC的面积为2，则tan C为( )厂 V3 V3A. 3 B. 1 C.亍 D.211.在厶 ABC 中，如果 sin Asin B+ sin Acos B + cos Asin B+ cos Acos B= 2,则厶 ABC 是()A.等边三角形 B.钝角三角形C.等 腰直角三角形 D .直角三角形12. ABC 中，若 a4+ b4+ c4= 2c2(a2 + b2),则角C的度数是( )A . 60 B . 45。或135 C. 120 D. 30 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分)sin A cosB 斤13 .在 ABC 中，若 =
6、 ，贝V B=a b14.在厶 ABC 中，A= 60 AB= 5, BC= 7,则厶ABC的面积为 15.船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处, 下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N处，则 这只船的航行速度为 里/小时.16.在 ABC中，角A、B、C所对的边分 别为 a、b、c.若( 3b c)cosA= acosC,贝V cosA 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在厶 ABC 中，角 A、B、C 的对边是 a、b、c,已知 3acosA = ccoSB + bcosC 求cosA的值；（2）若a= 1 , coSB + cosC=，求边
7、c的值.318. （12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a、b、c, a= 2bsin A.求B的大小.（2）若 a= 3 3, c= 5,求 b119.已知 ABC的角 A,B,C所对的边分别为 a, b, c,且acosC + c = b.2(1)求角A的大小；(2)若a= 1 ,求厶ABC的周长I的取值范围.20 在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c,已知 2acosA=ccosB - bcosC.(1 )求cosA的值；(2 )若 a =1,cosB cosC ，求边 c 的值. 221. (12分)在厶ABC中，内角 A、B、C对 边的边长分别
8、是a、b、c.已知c= 2, C=n(1)若厶ABC的面积等于3,求a, b.(2)若sinB = 2sin人，求厶ABC的面积.5 322 .如图，在二ABC 中，点 D 在 BC 边上，AD = 33, sin BAD , cos/ADC =-.13 5(1)求 sin /ABD 的值；(2 )求BD的长._22 -18.解 (1).a= 2bsin A,sin A= 2sin B sin A, 1 nsin B= 20B2, ：B= 30(2)7= 3 3, c= 5, B= 30由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B= (3 3)2+ 5 2 X 3 3 X 5 X c
9、os 30 = 7.2a cos A二ccosB bcosC及正弦定理得2sin Acos A = sin CcosB sin BcosC,即 2sin AcosA = sin B C .又 B C 二二 - A,所以有 2 sin AcosA = sin 加一A ,即 2 sin AcosA = sin A.1 而 sin A = 0，所以 cos A21兀 2兀(2 )由 cosA 及 0vAv 二，得 A=.因此 B C -二-A = 23 3丄 V3 V3由 cosB COSCG，得cosB cosE-B1罷. 3 . 一-cos B cos B + sin B =，即得 sin B
10、+ i22 2 I T : : : 2 : B ,或 B -6 3 6 3丄 5 :由A ,知B , .于是36 16 6 丿所以B ，或B .6 2r r. 31 JI若B ,则C .在直角 ABC中,6 2r r 若B =-,在直角 ABC中,221.解(1)由余弦定理及已知条件得a2+ b2 ab= 4.又因为ABC的面积等于3,所以absin C=3 由此得ab= 4.a2 + b2 ab= 4,联立方程组 解得l ab= 4,a= 2,b= 2.(2)由正弦定理及已知条件得b= 2a.a2 + b2 ab= 4,联立方程组 解得l b= 2a,a=b=1所以MBC的面积S= 2absinC =22. 【答案】（1）因为cosADC =-,5所以 sin . ADC 二:1 cos. ADC 二 4 .55 12因为 sin. BAD ，所以 cos BAD 二 1 -sin2. BAD =13 13因为 ABD 二 ADC BAD ,所以 sin ABD 二sin： WADC-/BAD4 12 3533=X X5 13 51365(2 )在厶ABD中，由正弦定理，得BDsin BAD二 sin _ ADC cos BAD - cos _ ADC sin _ BADADsin. ABD33 =253365
