1、完整word版高三数学空间向量专题复习附答案、利用向量处理平行与垂直问题例 1、 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB 900 , BAC 300, BC 1,A1A 6,M练习：棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在点 P使B1D 面 PAC？例 2 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M ,N 分别在对11角线 BD, AE上，且 BM BD,AN AE ,求证： MN /平面CDE33练习 1、在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1, ,CD中点，求证： D1F 平面ADE2 、 如 图 ， 在
2、 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 PABCD 中 , ABC 60 ， PA AC a,PB PD 2a,点 E在PD上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC上是否存在一点 F, 使 BF平面 AEC? 证明你的结论 .例 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中, F 分别是 BC的中点，点 E在 D1C1上,且11 D1C1,试求直线 E1F 与平面 D1AC所成角的大小4例 4 已知 E,F分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BC和 CD 的中点，求：1）A1D与 EF所成角的大小；2）A1F 与平面 B1EB所成角的大小；3）二面角 C D1B1 B 的大小。三、利用空
3、间向量求空间的距离的问题例 1 直三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱 AA1= 3，底面 ABC中，C=90，AC=BC=1， 求点 B1到平面 A1BC 的距离。例 2 如图，四面体 ABCD 中，O、E分别是 BD、BC 的中点，CA CB CDAD 2（I）求证： AO 平面 BCD ；II ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE EB，CBF为 CE上的点，且 BF平面 ACE （）求证： AE平面 BCE； （）求二面角 B-AC-E 的大小
4、； （）求点 D 到平面 ACE 的距离。空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题） 例 1、 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB 900 , BAC11角线BD, AE上，且 BM BD,AN AE ,求证： MN /平面CDE33证明：建立如图所示空间坐标系，设 AB,AD,AF长分别为 3a,3b,3cNM NA AB BM (2a,0, c) 又平面 CDE的一个法向量 AD (0,3b,0) 由 NM AD 0 得到 NM AD因为 MN不在平面 CDE内所以 NM/平面 CDE练习 1、在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F
5、分别是 BB1, ,CD中点，求证： D1F 平面ADE2 、 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 PABCD 中 , ABC 60 ，PA AC a,PB PD 2a,点 E在PD上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC上是否存在一点F, 使 BF平面 AEC? 证明你的结论 .解答：根据题设条件，结合图形容易得到：3a a 2a aB( , ,0), D(0,a,a), E(0, , )2 2 3 33a aC( , ,0), P(0,0,a)223a a, ,a)2F( 3 a(2CP ( 2假设存在点CF CPBF BCCFa2 , a)。3a32a ,(1 2)a,
6、又 AE (023a,a3)3a aAC ( 23a ,2a,0)则必存在实数2 使得 BF 1 AC2 AE ，把以上向量得坐标形式代入得3a2(1 )a22a a33 1a21a 2 2a23121232即有 BF12AC3 AE2所以，在棱 PC 存在点F，即 PC 中点，能够使 BF平面 AEC。、利用空间向量求空间的角的问题1例 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E1，F1分别在 A1B1,C1D1上，且 E1B1= A1B1，41D1F1=1D1C1，求 BE1与DF1所成的角的大小。4解：设正方体棱长为 4，以 DA,DC,DD1 为正交基底，建立如图所示空间坐标系解
7、：设正方体棱长为 1，以DA,DC,DD1 为单位正交基底，建立如图所示坐标系解：设正方体棱长为 1，以DA,DC,DD1 为单位正交基底，建立如图所示坐标系二面角 C D1B1 B 的正弦值为 61 1 3 三、利用空间向量求空间的距离的问题 例 1 直三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱 AA1= 3，底面 ABC中，C=90，AC=BC=1， 求点 B1到平面 A1BC 的距离。解 1 ：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0, 3 ），B1（0,1, 3 ），C1（ 0,0, 3 ）（I）求证： AO 平面
8、 BCD ；II ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。 解：（I）略（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), D( 1,0,0),1 3 uuurC(0, 3,0), A(0,0,1),E(12, 23,0), BAuuur1,0,1),CD ( 1, 3,0).uuur uuur cos BA,CDuuur uuurBA.CD 2 uuur uuur BA CD异面直线 ABIII )解：设平面 ACD 的法向量为 n r uuurn.ADr uuurn.ACyz 0,z 0.与 CD 所成角的大小为(x,
9、y,z).( 1,0, 1) 0, (x,y,z).(0, 3, 1) 0,令 y 1, 得 n ( 3,1, 3) 是平面 ACD的一个法向量，uuurEC323,0),点 E 到平面 ACD 的距离 huuur rEC.n3 217例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 F为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（）求证： AE平面 BCE； （）求二面角 B-AC-E 的大小； （）求点 D 到平面 ACE 的距离 解（）略（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 AB 所在直线为 y 轴， 建立空间直角坐标系AE 面 BCE，AEB中, AB在
10、Rt过 O 点平行于 AD 的直线为 Oxyz，如图.BE 面 BCE， AE BE ，2,O为AB 的中点，OE1 A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0), ACAE n 0, 则即AC n 0,2 的正方形，AE EB，CB（0,2,2）. 设平面 AEC 的一个法向量为 n （x,y,z） ，2xy y2x0, 0.解得 zy x,x,令 x 1,得 n （1, 1,1） 是平面 AEC 的一个法向量又平面 BAC 的一个法向量为 m (1,0,0) ，m,n 1 3cos(m, n) .|m| |n| 3 33二面角 BACE 的大小为 arccos 3.3(III ) AD/z 轴， AD=2 ， AD (0,0,2) ， 点 D 到平面 ACE 的距离 d |AD n| 2 2 3.|n| 3 3
