1、二次函数压轴题复习专题1线段面积最值问题 含简单答案解题思路与详细解答1.二次函数压轴题专题1：线段、面积最值问题一种用坐标表示三角形面积的重要方法：铅锤法三角形的面积=1/2*垂线上两点纵坐标之差*斜线上两点横坐标之差 （*表示相乘）例1：如图2， A是抛物线y=x22x+3与X轴的左交点，D是此抛物线的顶点。F是此抛物线上A、D之间的一动点，其横坐标为x，如何用x的代数式表示ADF的面积为S？例2：如图3， B、C分别是抛物线y=x22x+3与X轴的右交点、与Y轴的交点。F是此抛物线上对称轴左侧的一动点，其横坐标为x，如何用x的代数式表示FBC的面积为S？ 斜线：过两定点（如左图中的点A和
2、点D；右图中的点B和点C）作斜线铅垂线：过抛物线上一动点（如点F）作X轴的垂线，与斜线（或其延长线）相交（左图交于E、右图交于Q）优先考虑作斜线： 过两已知点作斜线，这样容易求出斜线的解析式AFD（或右图中BFC）的面积=1/2*铅垂线上两点纵坐标之差)*斜线上两点横坐标之差垂线上的两点：第1点就是作垂线时的起点（往往是抛物线上的一动点，如左、右图中的点F）第2点是垂线与斜线（或其延长线）的交点（如左图中的点E，右图中的点 Q）左图：SFAD=SFAE +SFDE 右图：SBFC=SFBQ -SFCQ =FE(左边的高+右边的高) =FQ(FBQ的高-FCQ的高)=FE(D的横坐标-A的横坐标
3、) =FQ(B的横坐标-C的横坐标)1周长最小，面积最大例1 如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值及点P的坐标。；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，ADF的面积为S求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由 例1（拓展）（2015深圳）如图1，关于x
4、的二次函数y=x2+bx+c经过点A（3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC=3SEBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由例3已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，顶点为点。求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；如图，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值；如图，当取何值时，以、三点为顶点
5、的三角形与相似？例4 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P，求出P的坐标，并判断P是否在该抛物线上例2如图，对称轴为直线x=2的
6、抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由 2周长最大值如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DEy轴于点E（1）求
7、抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作PNAD于点N，设PMN的周长为l，P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值 3距离之差最大值如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC在x轴下方的抛物线上求一点M，使AMC与ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|ANCN|探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不
8、存在，请简单说明理由 （备用图）补充：轴对称作图题专练1、如图1和图2两种情况，分别在如下直线上确定M的位置，使M到A和B的距离之差的绝对值最大2、如图1，在一条河的同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置（牛喝水模型）；如图2若A与B在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M的位置？4、距离之和的最小值例1 如图1，P（m，n）是抛物线y=1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H（1）【探究】填空：当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=；（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，
9、并证明你的猜想（3）【应用】如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值例2已知：直线l：y=2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，1），（2，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ONOM（ii）已知：如图，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得
10、FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由5面积取值范围例 如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（1）b= ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这
11、样的PBC共有 个 2016年广东省中考压轴题二次函数压轴题复习专题1：线段、面积最值问题答案1周长最小，面积最大例1 （1）解析式为：y=x22x+3；（2）PBC周长的最小值为3+点P（-1,2）（3）S =（m24m3）2=m24m3； S最大值为1， 此时点E的坐标为（2，2）例1（拓展）（2015深圳）（1）y=x22x+3，（2）存在，P为（1，1）或（1，1）；（3）F（，）例2（1）y=x2+4x+5（2） 当a=1时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）（3）a=时，四边形PMEF周长最小例3解析式为，当时，有最大值当时，以、三点为顶点的三角形与例4解析式为y
12、=x22x+3 定点D（1，4）(2) 求得AD解析式：y=2x+6， SAPE=1/2PEyP=1/2（x）（2x+6）=x23x（3x1），当x=3/2时，S取最大值9/4（3）P（，） 点P不在该抛物线上2周长最大值（1）抛物线的解析式是y=x2x+， 直线的解析式是 y=x，（2）存在两点符合题意的P（2，3）和（4，），使四边形PMEC是平行四边形，（3）l=x2x+=（x+3）2+15，8x2，当x=3时，l的最大值是153距离之差最大值（1）a=， 顶点坐标（，）；（2）M（9，4）；（3）N（，3）， d的最大值为BC=4、距离之和的最小值例1（1）解：OP=1，PH=1； O
13、P=5，PH=5 （2）猜想：OP=PH （3）A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6例2 （1）抛物线的解析式为：y=（2）方法同例1之（2）（3）证略F（1， ）5面积取值范围（1）b=+c， B的横坐标为2c；（2）抛物线的解析式为y=x2x2；（3）0S5；11个；2016年广东省中考压轴题答案25. 解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）证明AOBOPQ， 再利用等角加等角转化到90度，即垂直 （3）情况一：当Q点在BC之间时， 当x=1时，面积最大值为 情况二，当P点在BC之间时， 当x=2时,面积最大值为2综上所述，当P点与C点重合时，OPB面积有最大值，且最大值为2.二
14、次函数压轴题复习专题1：线段、面积最值问题解题思路1周长最小，面积最大例1 （1）解析式为：y=x22x+3；（2）牛喝水（将军饮马）模式 BC是定值， 当PB+PC最小时，PBC的周长最小，点A、点B关于对称轴I对称，连接AC交l于点P，即点P为所求的点。PBC的周长最小是： AC+BC 由勾股定理求得AC=3，BC=；故PBC周长的最小值为3+求得直线AC的方程为y=x+3，抛物线对称轴为直线x=-1，当x=-1，y=2，点P（-1,2）（3）先求得顶点D的坐标（1，4），再求直线AD的解析式为y=2x+6 点E在直线AD上，且横坐标为m，E（m，2m+6）， F（m，m22m+3）SADF=E、F的纵坐标之差乘以A、D的横坐标之差的1/2S =（m24m3）2=m24m3； S=m24m3当m=2时，S最大，最大值为1， 此时点E的坐标为（2，2）例1（拓展）（2015深圳）（1）y=x22x+3，（2）存在，当P在DAB的平
