1、绝密启用前荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟届高三2月联考理科数学试题命题学校：宜昌一中本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合M = x x 1，N = y y = x , x 1，则2A M = N 2在复平面内，复数A第一象限3设q R, 则“q-B M NC MN =D N M1 （其中i是虚数单位）对应的点位于2+iB第二象限C第三象限D第四象限p12p12”是“ sin q1 ”的2A充分不必要条件C充要条件4已知a （B必要不充分条件D既不充分
2、也不必要条件pp, ），a = （cos a ）cosa，b = （sin a ）cosa，4 2c = （cos a ）sina，则A a b c C b a c B a c b D c a 0)的最大值为4，则a = x + y - 2 0, A2 B3 2C3D47已知数列 an ,bn , n N * 都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1 , b1，且a1 + b1 = 5，a1 , b1 N * 设cn = abn （n N * ）, 则数列cn 的前10项和等于A55 B70 C85 D1008若圆O1 : x 2 + y 2 = 5与圆O2 : （ x + m） 2 + y
3、2 = 20相交于A, B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是A3 B4 C 2 3 D89若函数y = f （ x - 2） 的图象与函数y = log3 A 32 x - 2 B 32 x -1x + 2的图象关于直线y = x对称，则f （ x） =D 32 x + 2C 32 x10已知函数f (x)= sin wx - 3 coswx(w 0)，若方程f (x )=-1在(0，p)上有且只有四个实数根，则实数w的取值范围为A （13 7 , 6 2B （ ,7 25 2 6C （25 11 , 6 2D （11 37 , 2 611某中心接到其正东、正西、正北方向三
4、个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s已知各观测点到该中心的距离都是1020m则该巨响发生在接报中心的 （ 340m/s，相关各点均在同一平面上） A西偏北45方向，距离680 10m）处（假定当时声音传播的速度为B东偏南45方向，距离680 10mC西偏北45方向，距离680 5mD东偏南45方向，距离680 5m12对n N *，设xn是关于x的方程nx3 + 2 x - n = 0的实数根，an = （n + 1） xn , （n = 2,3,） （符号 x 表示不超过x的最大整数）则A1010 B1012a2 + a3 + a2
5、018 = 2017C2018 D20201 - 2 x , x 0 13已知函数f （ x） = 1，则f （ f （-1） = 2 x , x 01 2 3 2 n n-1 14设n N *，则Cn + Cn 7 + Cn 7 + Cn 7 =15已知平面向量a, b的夹角为120，且a = 1, b = 2 若平面向量m满足m a = m b = 1，则m =16某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题
6、，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）如图，已知AD是DABC中BAC的角平分线，交BC边于点D . （1）用正弦定理证明：AB BD =；AC DC（2）若BAC = 120 , AB = 2, AC = 1，求AD的长18（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且DAB = 60 , EA = ED = AB = 2EF, EF / AB，M为BC中点（1）求证：FM / 平面BDE ；（2）求二面角D - BF - C的平面角的正弦值19（12分）我们国家正处于老龄化社会
7、中，老有所依也是政府的民生工程某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：80岁及以
8、上长者每人每月发放生活补贴200元；80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算（单位：亿元，结果保留两位小数）20（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆E ：（ x + 1） + y = 8及点P（1,0），折叠此纸片，2 2使P与圆周上某点P 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP 的交点为M，令点M的轨迹为C .（1）求轨迹C的方程；（2）若直线l : y = kx + m与轨迹C交于两个不同的点A, B ,且直线l与以EP为直径的圆相切，若OA OB , ，求DABO的面积的取值范围2 3
9、 3 421（12分）已知a为正的常数，函数f （ x） =| ax - x 2 | + ln x . （1）若a = 2，求函数f （ x） 的单调递增区间；（2）设g （ x） =底数）f （ x），求g （ x） 在区间1, e 上的最小值（ e 2.71828为自然对数的x（二）选考题：共10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 x = 2 + 2 cosj （ j为参数），以原点O为极 y = 2 sin j点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程
10、为r= 4 sin q . （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为q=a , （0 ap , r R）, 点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A, B均异于原点O，且AB = 4 2，求实数a的值23 选修45：不等式选讲 （10分）已知函数f ( x )= x - a +1 (a 0). 2a（1）若不等式f (x )- f (x + m) 1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a AC,ADC DAC, AD CD AD = 4312分法二：2 2 2 2 2 2故cos B = AB + BC - AC = 2 +（ 7） -
11、 1 = 5 2 AB BC 2 2 7 2 710分在ABD中，由余弦定理得AD =AB +BD -2ABBDcosABD2 7 2 7 5 =4+ - 2 2 3 3 2 7 2222=4 912分所以AD = 2 318. （1）证明：取CD中点N，连结MN、FN因为N，M分别为CD，BC中点，所以MNBD又BD平面BDE，且MN平面BDE，所以MN平面BDE，因为EFAB，AB=2EF，所以EFCD，EF=DN所以四边形EFND为平行四边形所以FNED又ED平面BDE且FN平面BDE，2分所以FN平面BDE，又FNMN=N，所以平面MFN平面BDE又FM平面MFN，所以FM平面BDE4
12、分（2）解：取AD中点O，连结EO，BO因为EA=ED，所以EOAD因为平面ADE平面ABCD，所以EO平面ABCD，EOBO因为AD=AB，DAB=60，所以ADB为等边三角形因为O为AD中点，所以ADBO因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz 6分由题意得，A（2，0，0），B0 2 , （3 0 , ），C（-4, 2 3,0），D（2，0，0），E0 2 , （3 ），F （-1, 3, 2 3） DB = （2,2 3,0）, DF = （1, 3,2 3）,CF = （3,- 3,2 3）,CB = （4
13、,0,0）设平面BDF的法向量为n = （ x, y, z） 则n DB = 0 n DF = 0，即， 3 x + 3 y = 0令x =1 则y =- ,z =0所以3 x + 3 y + 2 3z = 0n = （1,-3 ,0） 8分3设平面BCF的法向量为m = （ x, y, z）m CB = 0 则，即，3x - 3 y + 2 3 z = 0令z = 1 则y = 2, x = 0所以m = （0, 2,1） 10 m CF = 0 x = 0 分 cos（m, n） =mn mn=5 二面角D - BF - C平面角的正弦值为52 5 512分19.解：（1）数据整理如下表：
14、健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上80岁以下20 20045 22520 5015 25从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8 2分（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：66 80岁及以上长者占户籍人口的百分比为15 25 =3人，80岁以下应抽取：8 =5人 15 + 25 15 + 25 15 + 20 + 45 + 20 1 = 600 61 =11万，611 100% = 2.75% 4分400（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补
15、助为X元，P （ X = 0） =4 1 475 95 1 85 17 = , P（ X = 200） =，P（ X = 120） =，5 5 600 600 5 600 6008分1 25 5 1 15 3，P（ X = 220） = , P（ X = 300） = 5 600 600 5 600 600则随机变量X的分布列为：X PEX =01202002203004 595 60017 6005 6003 6000 + 120 95 + 200 17 + 220 5 + 300 3 = 28 6004 810分全市老人的总预算为28126610 =2.217610元政府执行此计划的年度预
16、算约为 2.22亿元12分20.（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|=|MP|，由题意知圆E的半径为2 2，|ME|+|MP|=|ME|+|MP|= 2 2 |EP|，E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a =2 2 2 b = a - c = 1，M的轨迹C的方程为2分2, c = 1，x2 + y 2 = 14分2（2） l与以EP为直径的圆x +y =1相切，则O到l即直线AB的距离：2 2|m| k +12= 1，即m2 = k 2 + 1，5分 x2 + y2 = 1 2 2 2由 2，消去y，得（1+2k ）x +4kmx+2m 2=0，6分 y = kx + m 直线l与椭圆交
17、于两个不同点，=16k m 8（1+2k ）（m 1）=8k 0，k 0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 + x2 =-2 2 2 2 2 24km 2m 2 - 2 , x x =，1 2 1 + 2k 2 1 + 2k 22y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k x1x2+km（x1+x2）+m =21- k 2，7分1 + 2k 2又OA OB = x1 x2 + y1 y2 =1+ k 2 2 1+ k 2 3 1 ， k 2 1， 2 2 2 1 + 2k 3 1 + 2k 41 1 4km 2 2m 2 - 2 2（k 4 + k 2 ） SDAOB = | AB
18、 | 1 = 1 + k 2 （） - 4 = 2 2 1+2k 2 1 + 2k 2 4（k 4 + k 2 ） + 1设 =k +k，则10分SAOB关于在 , 2 单调递增，4 23 2m 1 1 3 m 2， SDAOB =- , m , 2， 4 4m+ 1 2 2（4m +1） 43 46 2 6 2 AOB的面积的取值范围是 SDAOB ，, 4 3 4 312分21.解：（1） a = 2时, f （ x） = x | x - 2 | + ln x =2 x - x 2 + ln x,0 x 22 x - 2 x + ln x, x 2,- 2x2 + 2x +1 ,0 x a
19、 ln x x （2） g （ x） =| x - a | + , = ln x x a - x + ,0 x a x 当ae时,则g （ x） = a - x +ln x x,g / （ x） =-1 -ln x 1 +0 x2 x2,得g （ x） min = g （e） = a - e +1 ；6分eln x单调递增, g （ x） min = g （1） = 1 - a ；x ln a当1 a e时, g （ x） 在 1, a 上减, a, e 上增, g （ x） min = g （a ） = a当a 1时, g （ x） = x - a +综上所述：1 a - e + e , a
20、 e = 1 - a, a 1 ln a ,1 a e a8分10分g （ x） min12分22.解：（1）由曲线C1的参数方程为 x = 2 + 2cos j （j为参数） y = 2sin j2 2消去参数得曲线C1的普通方程为 （ x - 2） + y = 4 曲线C2的极坐标方程为r= 4sin q，r= 4r sin q，22分 C2的直角坐标方程为x2 + y 2 = 4 y，整理，得x2 + （ y - 2）2 = 4 4分（2）曲线C1 ：（ x - 2） + y = 4化为极坐标方程为r= 4cos q，6分2 2设A（ r1 , a1 ）, B（ r2 , a 2 ），曲
21、线C3的极坐标方程为q=a , 0 ap , r R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A, B均异于原点O，且 | AB |= 4 2，| AB |=| r1 -r 2 |=| 4sin a- 4 cos a |= 4 2 | sin（a- ） |= 4 2，8分4 ppp 3ppp 3p sin（a- ） =1, 0 ap ,-a- ,a-=，解得a= 4 4 4 4 4 2 410分23.解：（1） f ( x )= x - a +p1 1， f ( x + m)= x + m - a +，2a 2a，f ( x )- f ( x + m)= x - a - x + m - a m3分5分m 1，-1 m 1，实数m的最大值为1；1 -3x + a + 2a + 1, x a, 1 1 1 1 （2）当a 2 , g ( x )min1 -2a 2 + a + 1 1 1 = g=-a += 0，2a 2a 2 28分1 1 a 0, 0 a , 1 2 或- a 0，实数a的取值范围是 - ,0） 10分2 2 2 -2a 2 + a + 1 0 -2a + a + 1 0
