1、4位移变分方程最小势能原理11.4 位移变分方程-最小势能原理学习要点: 本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。 最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。 最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题， 可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。 推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。
2、进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。学习思路： 1. 总势能； 2. 总势能的变分； 3. 最小势能原理； 4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件； 5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。 设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为 上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则 上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为 注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，
3、所以外力势能的一阶变分可以写作 回代可得 其中Et 称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。 公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。 将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能将上式减去真实应变分量的总势能，可得将 按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有 回代可得由于总势能的一阶变分为零，因此总势能的二阶变分为 由于 由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时
4、其才可能为零，否则总是大于零的,因此 所以 以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称为最小势能原理。数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。 必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。 通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。 虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，还需要
5、满足应变能密度函数表达的本构关系，因此仅限于线性和非线性弹性体。 最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。例2： 图示直梁，分布载荷q(x)作用在轴线所在的铅垂平面内。用最小势能原理推导问题的平衡微分方程和面力边界条件。解: 该梁为超静定结构。在梁的端面，施加适当的约束使梁不能产生刚体位移，施加适当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。 设w(x)表示梁的挠度，表示梁轴线变形后的曲率半径，
6、则梁的应变能为 由于 ,并且注意到对于小变形问题， 所以上式可以写作 本问题的面力边界为梁的上下表面，作用分布载荷q(x)，则外力功为 梁的总势能为对上式作一阶变分并且令其为零，有整理可得因此 上述关系式的第1式即问题的平衡方程，第2，3和4式为梁边界条件。 以上根据最小势能原理推导出梁的弯曲问题对应的平衡微分方程和面力边界条件。例3：应用最小势能原理推导柱体扭转问题的基本方程和边界条件。解：对于柱体扭转的位移解法，位移分量用扭转翘曲函数表示为与上述位移分量对应的应力分量为由于其他的应力分量全部为零，所以柱体的应变能为令 则 。 由于柱体的侧表面不受外力的作用，不存在外力功的问题。在端面上，作
7、用有扭矩T，产生扭矩的是x和y方向的面力Fsx和Fsy,而z方向的面力Fsz为零。根据柱体扭转的位移表达式，本问题的虚位移为 u=0, v=0, w= 因此，柱体所有表面的外力虚功均为零。根据最小势能原理， 所以 即 利用高斯积分公式,上式简化为由于 是任意的，所以上式成立的条件为， 显然，这和第九章中导出的扭转函数所要满足的平衡微分方程和面力边界条件是相同的。11.5 最小势能原理的应用学习要点:最小势能原理是弹性力学问题近似解法的基础。这一原理要应用于实际问题，必须有对应的求解方法。 首先建立以级数形式表达的位移试函数，选择的位移试函数必须满足位移边界条件，它是几何可能的。根据位移试函数可
8、以确定应变分量以及总势能Et的表达式。注意到总势能Et原为位移的泛函，写作成为待定系数Am,Bm和Cm的二次函数。这样就把求解泛函的驻值问题，转化成为求解函数的极值问题。 根据上述原则推导的近似解法称为瑞利-里茨法。 如果选择的位移试函数不仅满足位移边界条件，而且满足面力边界条件，则求解公式将进一步简化。称为伽辽金法 最后举例说明瑞利-里茨法和伽辽金法的应用。学习思路： 1. 位移试函数； 2. 瑞利-里茨法； 3. 伽辽金法； 4. 简支梁弯曲问题； 5. 矩形板； 6. 扭转问题。最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程和面力边界条件，它是弹性力学问题近似解法的基础。如果要使得某个原理要
9、应用于实际问题，必须有对应的求解方法。本节介绍基于最小势能原理的两种近似解法: 瑞利-里茨（Rayleigh-Ritz）法和伽辽金（）法。 根据最小势能原理，如果能够列出所有的几何可能位移，那么使总势能1取最小值的那一组位移就是真实位移。问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的，甚至是不可能的。 因此，对于实际问题的计算，只能凭借经验和直觉缩小寻找范围，在这个范围内的一族几何可能的位移中，找到一组位移使得总势能Et 最小。 虽然这一组位移一般的说并不是真实的，但是可以肯定，它是在这个缩小的给定范围内部，与真实位移最为接近的一组位移，由此解答可以作为近似解。 从上述思想出发，在一般情况下，可以将
10、位移分量选择为如下的形式 其中，Am，Bm和Cm均为任意的常数；u0,v0和w0 以及um,vm和wm 都是坐标的已知函数，并且在位移边界Su上，有 这样构造的位移试函数，不论系数Am, Bm和Cm取何值，总是满足位移边界条件的。而且对于连续函数，必然满足几何方程。因此满足几何可能位移的条件。现在的问题是将要如何选择待定系数Am, Bm和Cm，使得总势能1在位移表达式表示的这一族位移中取最小值。 为此，将位移表达式代入几何方程求得应变分量，然后代入总势能1的表达式，注意到应变能密度函数是应变分量的齐二次函数，因此总势能1表达式的第一个积分成为待定系数Am, Bm和Cm的齐二次函数，而第二和第三
11、个积分为Am,Bm和Cm的一次函数。于是，总势能 Et 原本是自变函数的泛函，现在成为待定系数Am, Bm和Cm的二次函数。 这样就把求解泛函的极值问题，转化成为求解函数的极值问题。总势能 Et取极值的条件为 总势能 Et 取极值的条件又可以写作 上述公式是一组以Am, Bm和Cm（m=1，2，3）为未知数的线性非齐次代数方程组，求解方程可得待定系数，回代就可以得到近似位移解答。这一方法称为瑞利里茨法。下面讨论伽辽金（）法。注意到应变能的一阶变分可以写作 将上式回代最小势能原理，整理可得 如果选择的位移试函数不仅在位移边界上满足位移边界条件，而且在面力边界上满足面力边界条件，即位移试函数满足全
12、部的边界条件，则上式可以进一步简化为上式展开可以写作 将位移函数表达式代入几何方程求得应变分量，再根据物理方程求出应力分量代入上式，并且注意到 将上述结果代入虚功方程，可得 由于Am, Bm和Cm 彼此独立而且是完全任意的，所以上式成立的条件为 由于应力分量为Am,Bm和Cm的线性函数，所以上述公式为Am,Bm和Cm的线性非齐次代数方程组。 解出待定系数代入公式就得到位移函数的近似解答，这种方法称为伽辽金法。例4： 两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w（x）。解：首先使用瑞利里茨法求解。 为了满足梁的位移边界条件，即简支梁两端的约束条件: 在x=0和l 处，w=0
13、，取位移试函数，即挠曲线方程为 问题的总势能为 即 根据 , 所以 所以 回代到位移公式，可得 挠曲线表达式是无穷级数，它给出了本问题的精确解答。 这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。最大挠度在梁的中点，即处，因此如果取一项，有 。这一结果与精确值十分接近。 由于上述位移试函数表示的挠曲线方程在求二阶导数后仍为正弦函数，所以二阶导数在x=0 和x=l处仍旧为零。 本问题的静力边界条件是梁的绞支处弯矩为0，所以该表达式也满足面力边界条件，因此这一试函数也可以应用于伽辽金法求解。注意到 将位移试函数公式代入上式并且积分，可以得到与瑞利里茨法相同的结果。例5: 图示矩形薄板，四边固
14、定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用瑞利里茨法求解。 解：设位移试函数为 上式中m和n为正整数，在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。 由于问题属于平面应力问题，所以因此 将位移试函数代入上述公式求导数后再积分，并且注意到方程则 由此可见，只要体力的分布是已知的，通过积分即可以求得待定系数Amn和Bmn，从而位移分量可以求解，根据几何方程可以得到应变分量，再由物理方程求出应力分量。例6: 图示矩形薄板，三边固定，而另外一条边的位移给定为 受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用伽辽金法求解。解：设位移试函数为 位移试函数满足位移边界条
15、件。由于问题没有面力边界条件，因此我们可以认为位移试函数满足面力边界条件，即可以采用伽辽金方法求解。由于问题属于平面应力问题，有将位移试函数代入上式，积分后可得积分后，求解关于Amn和Bmn的线性方程组则问题可解。如果 =0，则问题与例5完全相同。 本问题当然可以采用瑞利里茨法求解。但是，一般的讲，使用伽辽金法求解相对的工作量要小一些。例7：应用瑞利里茨法求解椭圆截面柱体和矩形截面柱体的扭转函数（x，y）。 解：柱体的扭转问题归结为求解变分方程，其中I0由公式确定。对于椭圆截面柱体，根据其扭转时横截面的翘曲情况，设扭转函数为（x，y）=Axy。其中A为任意常数。将上式代入公式，积分后可得。I0本来是泛函，它取极值的必要条件是一阶变分为零，但现在I0是A的函数，其取极值的必要条件为所以 。因此 。对于矩形截面杆，同样根据横截面的翘曲，设扭转函数为 。 将上式代入公式，积分后可得 所以 求解可得 将上述待定系数代入公式，可得扭矩为。 最大切应力发生在长边的中点，即 上述结果与精确解很接近。对于矩形截面杆，同样根据横截面的翘曲，设扭转函数为 将上式代入公式，积分后可得所以 。 求解可得 将上述待定系数代入公式，可得扭矩为。 最大切应力发生在长边的中点，即 上述结果与精确解很接近。
