1、三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、 习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间接说明老师给出证法不够合理）二、 例1.2.1三、 例2.1.4四、 例2.2.2五、 习题2.6六、 习题3.3引理1.3.1 解法纠正许瓦兹不等式证明：例1.4.2 解法详解已知随机过程的均值为零，相关函数为为常数。求其积分过程的均值函数和相关函数。解：不妨设同理当时（此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解普松过程公式推导：例2.1.2 解法详解设为零均值正交增量过程且，令，试证明为平稳过程。同理可解出其他情况，整理得
2、：例2.1.3 印刷有误例2.2.2 解法详解设为平稳正态过程，且为已知，求作用于平方滤波器时，输出过程的统计性质。例2.2.3 解法详解 例2.3.1解法纠正此处老师解释为常值函数默认为例2.3.1，例2.3.2 解法详解，为狄拉克函数，为而产生 定理2.5.1 印刷有误，解法详解定理2.5.2 解法详解为平稳随机过程，以下步骤同定理2.5.1定理2.5.3 印刷有误多处连续错误，可直接覆盖充分性：将（2.5.18）式展开，有定理2.5.4 解法详解即证剩余步骤同定理2.5.3充分性证明。定理2.5.5 解法详解记为平稳随机序列，中心相关函数为，记进一步假设为平稳随机序列，记则成立的充要条件
3、是必要性：“”：印刷出错（3.2.4）（3.2.5）（3.2.21）（3.4.39）例3.2.3 解法详解书后习题概率论（第0章）：1. 设随机变量的联合密度函数为试证两两独立，但不相互独立。两两独立；不相互独立。2. 设服从普松分布，参数为，试求（）（）的分布。（）；（）。3. 设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试求的分布密度函数。为相互独立服从柯西分布。4. 设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试证与相互独立。设，解得，5. 设随机变量X分布函数为试求特征函数试求特征函数。 6. 如果随机变量的密度函数为，试求特征函数。7. 设有如下特征函数：试求分布密度函数。1） 2）3）8.
4、 设随机变量均服从柯西分布，其密度函数为，且，试证对特征函数有，但并不独立。对，并不独立。9. 设是上的连续、单调上升函数，且，试证的充要条件是，其中为随机变量序列。设对使，由于，对于该，必，当时有，对，必，当时有10. 设为独立随机变量序列，密度函数为试问是否服从强大数定理。服从强大数定理；服从强大数定理。11. 设为独立随机变量序列且，试证服从大数定律但不服从强大数定律。大数定律：对，必，使，必使，于是当时，服从大数定律；强大数定律：不服从强大数定律。12. 设为随机变量序列且方差有界，即，如果相关系数满足，试证明服从大数定理。对第二项，当项数不超过，由于，对第三项，当项数不超过，由于，服
5、从大数定理。13. 设为正态分布函数列，并且收敛于分布函数，试证是正态分布函数。即证和存在连续且，必使，所以存在且；取积分线路为，且在积分路径上有，故，所以存在且。14. 取，为中所有波雷尔点集所构成的代数，为勒贝格测度，则为一概率空间，令一般地，把分成个等长区间，令现定义则为随机变量序列，试证依概率收敛于零但不几乎处处收敛于零。当有，；对，必使，即，不几乎处处收敛于零。15. 对于14题中所叙述的随机变量序列试证虽然不成立但却有。当有，不成立。第一章：1. 设为普松过程，试求有限维分布函数族。设，因为普松过程是马尔科夫过程，2. 设为随机过程，其中为随机变量且分布函数为已知，求有限维分布函数
6、族。3. 设为二阶矩过程，试证自相关函数在任意处连续等价于在任意处连续。充分性显然；在连续，必要性得证。4. 设二阶矩过程的均值函数为零，相关函数为为常数，试分析均方意义下的连续性，可积性和可微性。均方连续；为二阶矩过程，均方可积；均方可微。5. 设为正态随机过程且，试证对任意，有备注：（1）参见O211.6-42/L80，P7（2）参见O211.6-44/Z85-2，P100详细步骤参见：O211.6-42/L80，P17O211.6-44/Z85-2，P1146. 随机过程的切比雪夫不等式。设为实值均方可微随机过程，记，。试证：（）（）（）于是，随机过程的切比雪夫不等式为：同理：（）由（）
7、得：（）由（）得：（）由（）、（）得：7. 试证明普松过程均方连续，均方可积，但不均方可微。对的分析就等同于对的分析。均方可积；不均方可微。8. 设为一阶滑动合序列，其中是相互独立服从正态分布的随机变量序列为常数，试问该过程是否为正态过程，平稳过程，马尔科夫过程及独立增量过程？，为的线性组合；为正态过程；，为常数；且，只与时间差有关；为平稳过程；，只与最近时刻有关；为马尔科夫过程；不为独立增量过程。9. 设为随机过程的自相关函数，试证也是自相关函数，其中为任意实数。为的自相关函数。10. 设为正态随机变量序列，它均方收敛于随机变量，试证是正态随机变量。，；是正态随机变量。11. 设为正态随机过
8、程，且及存在，试证及也是随机过程。正态过程的线性组合为正态过程为的线性组合是随机过程；是随机过程。12. 设为平稳随机过程，且自相关函数及二维密度函数均为已知。（）试证（）求出（）证明：由切比雪夫不等式则，（）解：13. 设为随机过程，对任意其一维分布密度函数为正态分布，现规定，试求函数使得在上具有均匀分布。参见O211.6-44/Z85-2，P6814. 设是具有密度的随机变量，现构成如下微分方程：，试求其解过程的均值函数，相关函数及的一维密度函数。15. 设是独立同分布随机变量序列且，又设为实数列，且，试证明必均方收敛。，即均方收敛。第二章：1. 判断下列函数能否成为平稳随机过程的自相关函
9、数，若是的话，进一步判断所对应的平稳过程是否均方连续？均方可积？均方可微？平稳随机过程的自相关函数性质：图见下页，结果自理。2. 设为均方连续平稳过程，相关函数与功率谱密度函数均为已知，取实常数，定义，试证明为均方连续平稳过程，并求，。均值为常数；相关函数只与有关；为均方连续平稳过程。3. 设和是平稳且平稳相依的随机过程，均为已知。试求一阶预报中的值，及二阶预报中的及值，以使用目标函数为最小，其中为常数。4. 设为正态过程，且，则它是平稳马尔科夫过程的充要条件是：，其中是标准中心自相关函数。平稳马尔科夫过程性质：老师未给出出处，知道就好。“”该过程必平稳；该过程是平稳马尔科夫过程。5. 设为正
10、态过程，且，则它是均方连续的平稳马尔科夫过程的充要条件是自相关函数满足。连续，6. 设为零均值次均方可微的平稳过程，试证对任意，阶导数过程仍为平均过程。的阶导数过程仍为平均过程。7. 设为实平稳过程，其功率谱密度函数为连续函数，试证对任意正整数及任意，矩阵是正定的。矩阵是正定的。8. 设为实平稳过程，其功率谱密度函数为已知且假定导数过程存在，试证明：均为平稳过程，并求功率谱密度函数，其中为单位阶跃函数。卷积公式：9. 设为零均值白噪声过程，记（）解：（）证明：（）证明：10. 设为平稳随机过程，试证明在任意处可作台劳展开：的充要条件是其自相关函数在处可作台劳展开：11. 设平稳过程的功率谱密度函数为试证必为解析过程，即对任意有第三章1. 设单输入、单输出线性系统的传递函数为，单位脉冲响应函数为即，系统输入量为零均值实平稳过程且自相关函数为已知，试证明：3. 系统如图所示其中，设系统输入是零均值白噪声且，试求系统输出的均方误差。4. 设为零均值实平稳过程，其功率谱密度函数为，为其希尔伯特变换，令，试求平稳过程的自相关函数及功率谱密度函数。由公式（3.4.13）得由
