1、图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：正交变换必须是可逆的；正变换和反变换的算法不能太复杂；正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,在此讨论常用的傅立叶变换。,频域世界与频域变换,任意波形可分解为正弦波的加权和,傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f（t）在-T/2,T/2上满足狄利克雷（Dirichlet）条件，则在-T/2,T/2可以展成傅立叶级数 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从
2、而有利于对信号进行分析与处理。,连续函数的傅立叶变换 1.一维连续函数的傅立叶变换 令f（x）为实变量x的连续函数，f（x）的傅立叶变换用F（u）表示，则定义式为 若已知F（u），则傅立叶反变换为,这里f（x）是实函数，它的傅立叶变换F（u）通常是复函数。F（u）的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。,2.二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f（x，y）是连续和可积的，且F（u，v）是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为,|F（u，v）=R2（u，v）+I2（u，v）1/2（u，v）
3、=tan-1 I（u，v）R（u，v）E（u，v）=R2（u，v）+I2（u，v）,离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔x单位的抽样方法将一个连续函数f（x）离散化为一个序列f（x0），f（x0+x），fx0+（N-1）x，如图所示。,将序列表示成 f（x）=f（x0+xx）即用序列f（0），f（1），f（2），f（N-1）代替f（x0），f（x0+x），fx0+（N-1）x。,被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F（u）=式中u=0，1，2，N1。反变换为 f（x）=式中x=0，1，2，N-1。,例如：对一维信号f（x）=1 0 1 0进行傅立叶变换。由得 u=0时，
4、u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F（u）=Af（x）,x,y,1,-1,j,-j,2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F（u，v）=式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f（x，y）=式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另
5、一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,原图,离散傅立叶变换后的频域图,例如 数字图像的傅立叶变换,二维离散傅立叶变换的性质,1）线性,设 F1（u,v）和 F2（u,v）分别为二维离散函数 f1（x,y）和f2（x,y）的DFT，则,式中a，b是常数,2）可分离性,将式,分成两部分乘积,设式后面的求和项为：,此式表示对每一个 x 值，f（x,y）先沿每一行进行一次一维傅立叶变换,再将F（x,v）沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换 F（u,v），即,上述过程用图表示为,显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。即,二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所
6、不同的只是指数项为正。,若f（x,y）F（u,v），则,2）平移性,（1）,（2）,（3）频移/空移时，幅度不变。,（4）当u0=v0=N/2时,即，如果需要将图像频谱的原点从起始点（0,0）移到图像的中心点（N/2,N/2），只要 f（x,y）乘上（-1）（x+y）因子,再进行傅立叶变换即可,（a）原始图像（b）中心化前的频谱图（c）中心化后的频谱图 图像频谱的移动实例,4）周期性和共轭对称性,周期性,共轭对称性,5）旋转不变性,引入极坐标,有：,此式表明，如果 f（x,y）在空间域中旋转 0角度后，相应的傅立叶变换 F（u,v）在频域中也旋转 同一0角。反之亦然。,傅立叶变换的旋转性,傅立叶变换的旋转性,8）微分性质,定义f（x,y）的拉普拉斯算子为,按二维傅立叶变换的定义，可得：,拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘,6）分配性和比例性,分配性,比例性,对于两个标量a和b，有,7）平均值,二维离散函数的平均值定义如下：,将u=v=0带入F（u,v）公式，得,所以：,9）卷积定理,连续函数卷积定理,两个二维连续函数 f（x,y）和 g（x,y）的卷积定义为,设f（x,y）F（x,y），g（x,y）G（x,y），则,设,离散函数卷积定理,其二维离散卷积形式为,此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x，y，u，v 都是离散量,二维离散卷积定理可用下式表示,
