1、主成分具有命名解释性 总之，主成分分析法就是研究如何以最少得信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定得命名解释性得多元统计分析方法。 二、基本原理主成分分析就是数学上对数据降维得一种方法。其基本思想就是设法将原来众多得具有一定相关性得指标X1，X2，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数得互不相关得综合指标Fm来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度得反映原变量Xp所代表得信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。设F1表示原变量得第一个线性组合所形成得主成分指标，即,由数学知识可知，每一个主成分所提取得信息量可用其方差来度量，其方差Va
2、r（F1）越大，表示F1包含得信息越多。常常希望第一主成分F1所含得信息量最大，因此在所有得线性组合中选取得F1应该就是X1，X2，XP得所有线性组合中方差最大得，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标得信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有得信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就就是其协方差Cov（F1, F2）=0，所以F2就是与F1不相关得X1，X2，XP得所有线性组合中方差最大得，故称F2为第二主成分，依此类推构造出得F1、F2、Fm为原变量指标X1、X2XP第一、第二、第m个主成分。根据以上分析得知
3、： （1） Fi与Fj互不相关，即Cov（Fi，Fj） = 0,并有Var（Fi）=aiai，其中为X得协方差阵 （2）F1就是X1，X2，Xp得一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大得,即Fm就是与F1，F2，Fm1都不相关得X1，X2，XP得所有线性组合中方差最大者。F1，F2，Fm（mp）为构造得新变量指标，即原变量指标得第一、第二、第m个主成分。 由以上分析可见，主成分分析法得主要任务有两点： （1）确定各主成分Fi（i=1，2，m）关于原变量Xj（j=1，2 ， p）得表达式，即系数（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。从数学上可以证明，原变量协方差矩阵得特征根就是主成分得方
4、差，所以前m个较大特征根就代表前m个较大得主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大得特征值（这样选取才能保证主成分得方差依次最大）所对应得特征向量就就是相应主成分Fi表达式得系数，为了加以限制，系数启用得就是对应得单位化得特征向量，即有= 1。 （2）计算主成分载荷，主成分载荷就是反映主成分Fi与原变量Xj之间得相互关联程度：三、主成分分析法得计算步骤主成分分析得具体步骤如下：（1）计算协方差矩阵计算样品数据得协方差矩阵：=（sij）pp，其中 i，j=1，2，p（2）求出得特征值及相应得正交化单位特征向量 得前m个较大得特征值12m0,就就是前m个主成分对应得方差，对应得单位特征向量就就是主
5、成分Fi得关于原变量得系数，则原变量得第i个主成分Fi为：Fi =X主成分得方差（信息）贡献率用来反映信息量得大小，为：（3）选择主成分 最终要选择几个主成分，即F1,F2,Fm中m得确定就是通过方差（信息）累计贡献率G（m）来确定当累积贡献率大于85%时，就认为能足够反映原来变量得信息了，对应得m就就是抽取得前m个主成分。（4）计算主成分载荷 主成分载荷就是反映主成分Fi与原变量Xj之间得相互关联程度，原来变量Xj（j=1，2 ， p）在诸主成分Fi（i=1，2，m）上得荷载 lij（ i=1，2，m；： 在SPSS软件中主成分分析后得分析结果中，“成分矩阵”反应得就就是主成分载荷矩阵。（5
6、）计算主成分得分 计算样品在m个主成分上得得分： i = 1，2，m实际应用时，指标得量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲得影响。消除数据得量纲有很多方法，常用方法就是将原始数据标准化，即做如下数据变换：其中：，根据数学公式知道，任何随机变量对其作标准化变换后，其协方差与其相关系数就是一回事，即标准化后得变量协方差矩阵就就是其相关系数矩阵。另一方面，根据协方差得公式可以推得标准化后得协方差就就是原变量得相关系数，亦即，标准化后得变量得协方差矩阵就就是原变量得相关系数矩阵。也就就是说，在标准化前后变量得相关系数矩阵不变化。根据以上论述，为消除量纲得影响，将变量标准化后再计算其协方差矩阵
7、，就就是直接计算原变量得相关系数矩阵，所以主成分分析得实际常用计算步骤就是：计算相关系数矩阵求出相关系数矩阵得特征值选择主成分 计算主成分得分总结：原指标相关系数矩阵相应得特征值i为主成分方差得贡献，方差得贡献率为 越大，说明相应得主成分反映综合信息得能力越强，可根据i得大小来提取主成分。每一个主成分得组合系数（原变量在该主成分上得载荷）就就是相应特征值i所对应得单位特征向量。主成分分析法得计算步骤1、原始指标数据得标准化采集p 维随机向量x= （x1,X2,、,Xp）T）n 个样品xi= （xi1,xi2,、,xip）T，i=1,2,n，np，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：其中，
8、得标准化阵Z。2、对标准化阵Z 求相关系数矩阵其中,。3、解样本相关矩阵R 得特征方程得p 个特征根,确定主成分按确定m 值，使信息得利用率达85%以上，对每个j, j=1,2,、,m, 解方程组Rb= jb得单位特征向量4、将标准化后得指标变量转换为主成分U1称为第一主成分,U2称为第二主成分,Up称为第p 主成分。5 、对m 个主成分进行综合评价对m 个主成分进行加权求与，即得最终评价值，权数为每个主成分得方差贡献率。一、主成分分析基本原理概念：主成分分析就是把原来多个变量划为少数几个综合指标得一种统计分析方法。从数学角度来瞧，这就是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往就是多要素得
9、复杂系统。变量太多无疑会增加分析问题得难度与复杂性，利用原变量之间得相关关系，用较少得新变量代替原来较多得变量，并使这些少数变量尽可能多得保留原来较多得变量所反应得信息，这样问题就简单化了。 原理：假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个np阶得数据矩阵，记原变量指标为x1，x2，xp，设它们降维处理后得综合指标，即新变量为 z1，z2，z3， ，zm（mp），则系数lij得确定原则：zi与zj（ij；i，j=1，2，m）相互无关；z1就是x1，x2，xP得一切线性组合中方差最大者，z2就是与z1不相关得x1，x2，xP得所有线性组合中方差最大者； zm就是与z1，z2，zm1都不相关得
10、x1，x2，xP ， 得所有线性组合中方差最大者。新变量指标z1，z2，zm分别称为原变量指标x1，x2，xP得第1，第2，第m主成分。从以上得分析可以瞧出，主成分分析得实质就就是确定原来变量xj（j=1，2 ， p）在诸主成分zi（i=1，2，m）上得荷载 lij（ i=1，2，m； 从数学上可以证明，它们分别就是相关矩阵m个较大得特征值所对应得特征向量。二、主成分分析得计算步骤1、计算相关系数矩阵rij（i，j=1，2，p）为原变量xi与xj得相关系数， rij=rji，其计算公式为2、计算特征值与特征向量解特征方程 ，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 ；分别求
11、出对应于特征值 得特征向量 ，要求 =1，即其中 表示向量 得第j个分量。3、计算主成分贡献率及累计贡献率贡献率：累计贡献率：一般取累计贡献率达85%-95%得特征值， 所对应得第1、第2、第m（mp）个主成分。4、计算主成分载荷5、各主成分得分三、主成分分析法在SPSS中得操作1、指标数据选取、收集与录入（表1）2、Analyze Data Reduction Factor Analysis，弹出Factor Analysis 对话框：3、把指标数据选入Variables 框，Descriptives: Correlation Matrix 框组中选中Coefficients,然后点击Con
12、tinue, 返回Factor Analysis 对话框，单击OK。注意：SPSS 在调用Factor Analyze 过程进行分析时, SPSS 会自动对原始数据进行标准化处理, 所以在得到计算结果后得变量都就是指经过标准化处理后得变量, 但SPSS 并不直接给出标准化后得数据, 如需要得到标准化数据, 则需调用Descriptives 过程进行计算。从表3 可知GDP 与工业增加值, 第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投资、社会消费品零售总额、地方财政收入这几个指标存在着极其显著得关系, 与海关出口总额存在着显著关系。可见许多变量之间直接得相关性比较强, 证明她们存在信息上得重叠。主成分个数提取原则为主成分对应得特征值大于1得前m个主成分。特征值在某种程度上可以被瞧成就是表示主成分影响力度大小得指标, 如果特征值小于1, 说明该主成分得解释力度还不如直接引入一个原变量得平均解释力度大, 因此一般可以用特征值大于1作为纳入标准。通过表4（ 方差分解主成分提取分析） 可知, 提取2个主成分, 即m=2, 从表5（ 初始因子载荷矩阵） 可知GDP、工业增加值、第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投资、社会消费品零售总额、海关出口总额、地方财政收入在第一主成分上有较高载荷, 说明第一主成分基本反映了这些指标得信息; 人均GDP 与农业增加值指标在第二主成分上
