1、O（0,0）对称轴y0x0焦点F离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P（x0，y0）|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y24x上的一个动点（1）求点P到点A（1,1）的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；（2）若B（3,2），求|PB|PF|的最小值自主解答（1）如图，易知抛物线的焦点为F（1,0），准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（1,1）的距离与点P到F（1,0）的距离之和最小显然，
2、连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为.（2）如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.变式练习1（1）若点P到直线y1的距离比它到点（0,3）的距离小2，则点P的轨迹方程是_（2）过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于_解析：（1）由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点（0,3）的距离，故点P的轨迹是以点（0,3）为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.（2）抛物线的准线方程为x1，则AB中点
3、到准线的距离为3（1）4.由抛物线的定义得|AB|8.答案：（1）x212y（2）8 例2（1）抛物线y224ax（a0）上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）Ay28x By212xCy216x Dy220x（2）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，点A（0,2）若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_自主解答（1）由题意知，36a5，a，则抛物线方程为y28x.（2）抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为答案（1）A（2）变式练习2已知直线l过抛物线C的
4、焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A18 B24C36 D48选C设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，得p6.点P在准线上，到AB的距离为p6，所以PAB的面积为61236. 例3已知过抛物线y22px（p0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x10）与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，求k的值解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2（4k28）x4k20，所以x1x24，x1x2
5、4.又由抛物线的定义可知|FA|x12，|FB|x22，所以x122（x22），即x12（x21），代入x1x24得2（x21）x24，解得x21（x22舍去），将x21，x14代入x1x14得k2，由已知k0，所以k三、归纳总结 方法在握归纳4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px（p0），过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有以下结论：（1）|AB|x1x2p或|AB|（为AB所在直线的倾斜角）；（2）x1x2；（3）y1y2p2；（4）过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3个注意点抛物线问题的三个注
6、意点（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点. 1随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现2解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题四、拓展延伸 能力
7、升华例1（2012陕西高考）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py（p0），由题意知抛物线过点（2，2），代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得x，所以此时水面宽为2米答案2变式练习1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图所示现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yx2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
8、救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.（1）当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（1）t0.5时，P的横坐标xP7t，代入抛物线方程yx2，得P的纵坐标yP3.由|AP|，得救援船速度的大小为海里/时（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t,12t2）由vt整理得v2144337.因为t22，当且仅当t1时等号成立所以v21442337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船五、课后作业 巩固提高一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，
9、共30分）1抛物线x2（2a1）y的准线方程是y1，则实数a（）A. B.C D选D把抛物线方程化为x22y，则pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a2已知抛物线y24x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则OAB的面积是（）A1 B2C4 D6选B焦点坐标是（1,0），A（1,2），B（1，2），|AB|4，故OAB的面积S|AB|OF|412.3直线yx1截抛物线y22px所得弦长为2，此抛物线方程为（）Ay22x By26xCy22x或y26x D以上都不对选C由得x2（22p）x10.x1x22p2，x1x21.则2 解得p1或p3，故抛物线方程为
10、y22x或y26x.4已知点M（1,0），直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（）A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|.又PBl，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线5（2013湛江模拟）以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是（）Ay3x2或y3x2 By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x选D圆的标准方程为（x1）2（y3）21，故圆心坐标为（1，3），设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，则（3）2
11、2p1或16p2，得2p19或2p2，故抛物线方程为y29x或x2y，则y29x或y3x2.6（2013衡水模拟）设斜率为2的直线l过抛物线y2ax（a0）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）Ay24x By28xCy24x Dy28x选B由题可知抛物线焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2，令x0，可得A点坐标为，所以SOAF4.得a8故抛物线方程为y8x.二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7以抛物线x24y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2y24.x2y248（20
