1、“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题类型2“K”字型相似基本图形22 条件：如图Z23，B，D，C三点共线，BEDFC.图Z23结论：BDECFD.（1）“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？（2）如何证明ECDF?1如图Z24，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CBOA，OCBA，OA7，BC1，AB5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z24（1）直接写出点B的坐标：_；（2）当点P在线段OA上运动时，使得CPDOAB，且BDAD32，求点P的坐标（1）
2、过点B作BQx轴于点Q，依题意可得OQ4，AQ3，已知AB5，根据勾股定理求出QB即可解答（2）根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？2如图Z25，已知直线ykx与抛物线yx2交于点A（3，6）图Z25（1）求直线ykx的函数表达式和线段OA的长度（2）若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O，A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAEBEDAOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？（1）利用待定系数法求出直线ykx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度（2）延长AB交x轴于点F，由BAEAOD可求出点F的坐标
3、为_，进而再求得点B的坐标为_，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为_；由已知条件BAEBEDAOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到_，设OEa，则由对应边的比例关系可以得到_从而得到关于a的一元二次方程为_，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题专 题 训 练12017常州 如图Z26，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD2OA6，ADAB31，则点C的坐标是（）A（2，7） B（3，7） C（3，8） D（
4、4，8）图Z262如图Z27，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD10，AB8，则EF_图Z2732017攀枝花 如图Z28，D是等边ABC边AB上的点，AD2，BD4.现将ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则_图Z284如图Z29，在直角梯形ABCF中，CB14，CF4，AB6，CFAB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE_图Z295如图Z210，在直角梯形ABCD中，A90，B120，AD，AB6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得DEF120（1）
5、当点E是AB的中点时，线段DF的长度是_；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是_图Z21062017绵阳将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z211所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA，CB于M，N两点若CA5，AB6，ADAB13，则MD的最小值为_图Z2117如图Z212，在四边形ABCD中，已知ADBC，B90，AB7，AD9，BC12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EFDE，交直线AB于点F.（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AFCE，求CE的长图Z2128如图Z213，在ABC中，ABAC，点P，D
6、分别是BC，AC边上的点，且APDB.（1）求证：ACCDCPBP；（2）若AB10，BC12，当PDAB时，求BP的长图Z21392017天水 ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.（1）如图Z214，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE.（2）如图Z214，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9时BC的长图Z21410在ABC中，ABAC，BAC120，P为BC的中点，小明拿着含有30角
7、的透明直角三角板，使30角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转（1）如图Z215，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明BPECFP.（2）操作：将三角板绕点P旋转到图的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.探究1：BPE与CFP相似吗？请说明理由；探究2：BPE与PFE相似吗？请说明理由图Z215参考答案例1【例题分层分析】（1）证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等（2）根据余角的性质还可以得到ADCE，ACBD，从而可证得AB
8、CCED.证明过程略应用【例题分层分析】（1）根据“K”字型相似，可得到AOPPCB，所以（2）设P（x，0），因为AOOC4，BC1，所以OPx，PC4x，所以，解得x2，从而得到点P的坐标为（2，0）答案 （2，0）解析 PAPB，APOBPC90.AOx轴，APOPAO90，PAOBPC.又BCx轴，AOx轴，BCPPOA90，BCPPOA，点A（0，4），B（4，1），AO4，BC1，OC4.设P（x，0），则OPx，PC4x，解得x2，点P的坐标为（2，0）例2【例题分层分析】（1）两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个
9、图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形（2）BEDFC，由外角性质可知EDCBEE.又EDCEDFFDCCDF，ECDF.BEDFC，又EDCEDFFDCFDC，EFDC.又BC，BDECFD.应用1（1）过点B作BQx轴于点Q，易求得BQ4，故得到点B的坐标为（4，4）（2）由“K”字型相似可得到POCDAP，所以设OPx，OCAB5，ADAB2，AP7x，解得x2或x5，所以点P的坐标为（2，0）或（5，0）解：（1）过点B作BQx轴于点Q.ABOC，AQ（71）23，在RtBQA中，BA5，由勾股定理，得BQ4，点B的坐标为（4，4）（2）CPAOCPCOP，即CPD
10、DPACOPOCP，而CPDOABCOP，OCPAPD，OCPAPD，AD2.设OPx，OCAB5，AP7x，解得x2或x5，点P的坐标为（2，0）或（5，0）应用2（1）直线ykx的函数表达式为y2x，OA3（2）点F的坐标为（，0），点B的坐标为（6，2），AB5.根据“K”字型相似的基本图形2，可得到ABEOED，设OEa，则AE3a（0a3），由ABEOED得，a23 a5m0，依题意知m0，当0，即（3）220m0，m时，符合条件的点E有1个；当0，即（3）220m0，0m时，符合条件的点E有2个（1）把点A（3，6）的坐标代入ykx，得63k，k2，y2x，OA（2）如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R.AODBAE，AFOF，OCACOAAROFCO90，AORFOC，AORFOC，OF点F的坐标为设直线AF的函数表达式为yaxb（a0），把点A（3，6），F的坐标代入，解得a，b10，yx10，由解得（舍去），B（6，2），AB5.BAEBED，ABEBAEDEOBED，ABEDEO.BAEEOD
