1、=2（当且仅当x=1时等号成立）,即h（x）0,所以h（x）在1,+）上单调递增,h（x）h（1）=0,所以g（x）f（x）在1,+）上恒成立.（3）因为01.由（2）知ln,整理得,所以当0方法技巧 利用导数证明不等式有以下方法:证明f（x）g（x）,x（a,b）,可以构造函数F（x）=f（x）-g（x）,若F（x）0,则F（x）在（a,b）上是减函数,同时若F（a）0,由减函数的定义可知,当x（a,b）时,有F（x）0,即f（x）（x）0,则F（x）在（a,b）上是增函数,同时若F（a）0,由增函数的定义可知,当x（a,b）时,有F（x）0,即f（x）分类透析二不等式恒成立或有解问题例2
2、已知函数f（x）=.（1）若函数f（x）在区间上存在极值,求实数a的取值范围;（2）如果当x1时,不等式f（x）恒成立,求实数k的取值范围.分析 不等式恒成立问题,通常可以利用函数的单调性求出函数最值,然后解决.解答相应的参数不等式问题,如果易分离参数,可先分离变量,构造函数,直接转化为函数的最值问题,避免参数的讨论.解析 （1）函数的定义域为（0,+）,f（x）=-,令f（x）=0,得x=1.当x（0,1）时,f0,f（x）单调递增;当x（1,+）时,f0,f（x）单调递减.所以x=1为函数f（x）的极大值点,且是唯一极值点,所以01a+,故0,0或a1时,f（x）1,当x（1,x0）时,恒
3、有f（x）k（x-1）.分析 （1）求出函数f（x）的导数f（x）,令f0（注意在函数f（x）的定义域上）,得函数f（x）的单调递增区间;（2）构造函数,通过求导判断函数的单调性来证明不等式;（3）对k进行分类讨论,通过构造函数,利用求导来判断其单调性,从而得到参数k的取值范围.解析 （1）f（x）=-x+1=,x（0,+）.由f0得解得0x1时,F（x）（3）由（2）知,当k=1时,不存在x01,使得当x（1,x0）时,f（x）当k1时,对于x1,有f（x）x-1k（x-1）,则f（x）当k1时,令G（x）=f（x）-k（x-1）,x（0,+）,则G（x）=-x+1-k=.由G（x）=0,得
4、-x2+（1-k）x+1=0,解得x1=当x（1,x2）时,G0,故G（x）在1,x2）内单调递增.从而当x（1,x2）时,G（x）G（1）=0,即f（x）综上,k的取值范围是（-,1）.方法技巧 存在型不等式恒成立问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f（x）g（a）对于xD恒成立,应求f（x）的最小值;若存在xD,使得f（x）g（a）成立,应求f（x）的最大值.特别需要关注等号是否成立问题,以免细节出错.1.（2018年全国卷,文21改编）已知函数f（x）=xex-alnx,曲线y=f（x）在点（1,f（1）处的切线平行于x轴.（1）求f（x）的单调区间;当be时
5、,f（x）b（x2-2x+2）.解析 （1）因为f（x）=（x+1）ex-,x（1）=0,即2e-a=0,解得a=2e,（x）=（x+1）ex-.显然f（x）在（0,+）上单调递增,又f（1）=0,故当x（0,1）时,f0;0.所以f（x）的单调递减区间为（0,1）,单调递增区间为（1,+）.（2）当b0时,由（1）知,当x=1时,f（x）取得最小值,最小值为e.又b（x2-2x+2）的最大值为b,故f（x）b（x2-2x+2）.当0则h（x）=（x+2）ex+-2b.当x（0,1时,-2b0,（x+2）ex所以h当x（1,+）时,（x+2）ex-2b0,所以当x（0,+）时,h故h（x）在（
6、0,+）上单调递增.又h（1）=0,所以当x（0,1）时,g当x（1,+）时,g所以g（x）在（0,1）上单调递减,在（1,+）上单调递增.所以当x=1时,g（x）取得最小值,最小值为g（1）=e-b0,所以g（x）0,即f（x）b（x2-2x+2）.综上所述,当be时,f（x）b（x2-2x+2）.2.（2016年全国卷,文21改编）设函数f（x）=+2ln x.（1）讨论函数f（x）的单调性;（2）如果对任意的x1,都有f（x）ax,求a的取值范围.解析 （1）由题意得f（x）的定义域为（0,+）,f时,f故函数f（x）在上单调递减,在上单调递增.（2）当x1时,f（x）axa+,令h（x
7、）=+（x1）,（x）=-=.令m（x）=x-xlnx-1（x1）,则m（x）=-lnx.当x1时,m（x）0,所以m（x）在1,+）上为减函数,所以m（x）m（1）=0,因此h（x）0,所以h（x）在1,+）上为减函数,所以当x=1时,h（x）取得最大值,最大值为h（1）=1,故a1,即a的取值范围是1,+）.3.（2016年四川卷,文21改编）已知函数f（x）=1-,g（x）=x-lnx.证明:（1）g（x）1.（2）（x-lnx）f（x）1-.解析 （1）由题意得g（x）=（x0）,当01.（广东省2018届高三第一次模拟）已知函数f（x）=ex-x2-ax.（1）证明:当a2-2ln
8、2时,函数f（x）在R上是单调函数.（2）当x0时,f（x）1-x恒成立,求实数a的取值范围.解析 （1）f（x）=ex-x2-ax,f（x）=ex-2x-a.令g（x）=ex-2x-a,（x）=ex-2,则当x（-,ln 2）时,g0,g（x）单调递减;当x（ln 2,+）时,g0,g（x）单调递增.函数g（x）在x=ln 2处取得最小值,且最小值为g（ln 2）=2-2ln 2-a0,（x）0在R上恒成立,当且仅当a=2-2ln 2,x=ln 2时等号成立.f（x）在R上是单调递增函数.（2）由题意得当x0时,ex-x2-ax1-x恒成立,当x0时,a-x-+1恒成立.令h（x）=-x-+1（x令（x）=ex-x-1（x则（x）=ex-1x（0,+）时,（x）单调递增,（x）（0）=0,即ex-x-1当x（0,1）时,h0,h（x）单调递减;当x（1,+）时,h0,h（x）单调递增.当x=1时,h（x）取得最小值,且h（x）min=h（1）=e-1,ae-1.故实数a的取值范围为（-,e-1.2.（海南省2018届高三阶段性测试二模）已知函数f（x）=, g（x）=lnx+1.（1
