1、因式分解（也叫作分解因式）。因式分解没有普遍的方法，在现有的中学教材中主要介绍了提公因式法、公式法； 但为了学生更好的解题，很多的老师都会补讲拆项和添减项法、分组分解法、十字相乘 法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式法、轮换对称多项式法、余式定理法、求 根公式法、换元法、长除法、短除法、除法等，而到了大学中由于对高等代数以及数论 的学习，又有了处理多元多项式的因式分解，同时也延伸出了处理一些特殊多元多项式的导数法，n元二次多项式的求秩合同变换法等等；那么在众多的方法中它们又是如何 来体现我们的数学思想的？二什么是数学思想数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思
2、 维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基 本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学 思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展 着的。数学思想发展至今，主要有转化思想、整体思想、类比思想、数形结合思想、分类 讨论思想、方程思想、极限思想等。三 因式分解中数学思想的应用1.转化思想在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的， 简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数 学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等
3、价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。例1 把下列各式分解因式：（1）x2 8x 16 ； （2） a4 -14a2b3 49b6（3）9（2a-b）2 -6（2a -b） 1分析：我们初看，他们都不能直接用公式来因式分解，但可以看成是关于某个字母 的二次三项式；或者其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同。解（1）由于16可以看作42，于是有x2 8x 16 = x2 2 x 4 42二（x 4）2 ；（2）由幕的乘方公式，a4可以看作（a2）2，49b6可以看作（7b3）2，于是有a4 -14a2b3 49b6 二（a2）2 -2 a2 7b3 （7b
4、3）2z 2 32=（a -7b ）;（3）由积的乘方公式，9（2a-b）2可以看作3（2a-b）2，于是有9（2a-b）2 -6（2a -b） 1二3（2a-b）2 -2 3（2a-b） 1 1二3（2ab） -12= （6a-3b-1）2说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现转化思想的应用，可见转化思想是 重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用。在这里就单举以上几个例子来阐述转 化思想的转化形式。如果要把各种转化的类型都以例题拿出来，就没必要了。2.整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图
5、形看成一个整体，把握它 们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。例 2 分解因式：（a 2b - c）3 -（a b）3 -（b - c）3:本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b, b+c与a+2b+c的关系，可以将它看成一个整体，利用整体思想将它变成我们已知的简单问题。解：设 a+b=A b+c=B, a+2b+c=A+B.原式=（A B）3 -A3 -B3二A 3A2B 3AB2 B3 _A3 _B32 2=3A B 3AB=3AB（A B）=3（a b）（b c）（a 2b c）例3 分解因式x2 x 1 x2 x 2 ?12设x2 x为A原式二 A 1 A 2 -12
6、=A2 3A 2 -12二 A-2 A 5=x2 x 一 2 x2 x 5=x -1 x 2 X x 5整体思想其实在因式分解中应用是相当的广泛的，单是因式分解常见分解方 法中的分组分解法就是一个很好的范例， 所以在这里就不另外举更多的例子来说明因式 分解法中的整体思想。3.类比思想把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相 同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处； 例4 已知三角形的三边a、b、c满足等式a3 b3 c 3abc，证明这个三角形是等边三角形。要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明 a=b=c即可， 题中给出了关于a
7、、b、c的关系式a3 b3 c 3abc，利用因式分解将它变形，在利用 非负数的性质即可。解已知 a3 b3 c3 = 3abc即（a+b+c）（ a2 b2 c2 ab bc ca）=OIa+b+尸 02 2 2a b c ab bc ca=O. （ a2 -2ab b2）+（ b2 -2bc c2）+（ c2 -2ac a2）=0（a_b） =（b_c） =（c_a） =0a=b=c这个三角形是等边三角形例5 若二一的三边a、b、c满足等式一丨111 .： J-. ，试判断-的形状。因为一.，一-亠一 _ , -I _ 所以+得二- ：丁-匚即 _ .I . J 又 I 门得：- -若1
8、，贝/ 。由得_ 一一 ，由得 I q得二沖即二-1时，可推得 = - 一 J。若一，贝u 1 j 二代入得1:。将:代入一.中，二 J。 由、知二：。即当1 - j二时，可推得 。故二是等边三角形。其实类比的思想在因式分解的应用中用的并不是很多，毕竟在最开始的转化 思想中，类比转化就有包含类比思想在里边，在这里将类比思想独立为一个板块是让读 者能够更清晰的看到这种类比的意义。4.数形结合思想，利用“数形结合”可使所要研究的问 例如对几何问题用代数方法解答，“数无形，少直观，形无数，难入微” 题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合,对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用例6 在
9、厶ABC中，/ BAC=90 , AO AB, AD是高，M是BC的中点,证明 BM-DM2求证：AD2=BMf-DM2 .=（BM+DM）（BM-DM）=（CM+DM）（BM-DM）=CD- db=aD , ADBlM-DM2 .例6 如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12t2r 1片1 厂 Hb b1 1t iL i已知3种形状的长方形和正方形纸片，用它们拼成一个长为 3a 2b，宽为a b的长方形，各需多少块？并画出图形解 由上图知正方形的面积为长乘以宽恰好是 a 3b a 4b ;刚好为上图的长和宽则长为3a - 2b宽为a b，那么面积为3a 2b a b = 3a2 5ab -
10、 2b2数形结合思想在因式分解中的应用道不是很多，基本能够普遍看到的也就只 有实际教学中的平方差公式和完全平方公式和一些偶尔沾边的题，但是反过来在很 多的有关图形的计算题中，因式分解用的道很多。这里将它归为一类主要还是为了 突出这种思想的重要性。5.方程思想当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行 研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成 一个二次方程的判别式。例7 设4x y为3的倍数，求证：4x2+7xy 2y2能被9整除.要证明一个式子能够被 9整除，没法直接证明最好是能够建立一个方程；于 是有3A*3B =9C =4x2 7xy-
11、2y2,可以利用方程来证明这个题；证明 4x2 7xy-2y2=4x -y x 2y，又 x 2y =4x-y_3x 3y=4x-y -3x-y-原式=：4x _ y4x _ y _3 x _ y =（4x y $ 3（4x y y）4x _y为3的倍数.4x$7xy2y2能被9整除例8 求f x =4x4 7x3 10x2 5x 2在有理数域上的因式分解式。解 先把它转换成求f x =4x4 7x3 10x2 5x - 2的有理根。.f x的常数项和首项系数的全部因数分别为 _1，_2与-1，一2，一4,则需要检验的有1 1理数为 _1， _2， , _ -.24由于 f -1 =0，故-1
12、 是 f x 的根，且易知 f x = x 1 4x3 3x2 7x - 2 .按照同样的方法可求g x =4x3 3x2 7x- 2的有理根，易知g x的有理根为-，且丄是4 4g x的单根。f 1A O I 1 O4x +7x +10x +5x2 =（x+1 x一 （4x +4x+8）I 4丿= x 1 4x-1 x2 x 2 .方程思想在因式分解中用的不是很多，这个跟方程的实际应用有关，它主 要是解决现实生活中的一些实际应用问题，但是并不是说因式分解中就不能用到，我们 看上面的这几个例题，虽然通常的其它方法依然可以解决该题， 但是我将它特别整理后, 利用方程的思想来解决，也算是因式分解以及方程思想的联合应用吧！6.分类讨论思想分类思想就是当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果 不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。例6 求方程4x2 4xy 3y2=5的整数解。原方程看着很复杂而且含有多个未知数，而且次数不为一，所以这个 题没法直接解答，但是原方程可化为 （2x 3y）（2x + y）=5，而且x、y是整数故2x 3y和2x+ y必是整数。又5=5X 1=（ 5） X （ 1），因此原方程可化为四个方程组分类进行讨论:2x
