1、【解析】选A.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.3.（2015锦州模拟）直线l的方向向量s=（-1,1,1）,平面的法向量为n=（2,x2+x,-x）,若直线l平面,则x的值为（）A.-2 B.- C. D.【解析】选D.由已知得sn=0,故-12+1（x2+x）+1（-x）=0,解得x=.4.（2015珠海模拟）如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则（）A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解
2、析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1（1,0,1）,D（0,0,0）,A（1,0,0）,C（0,1,0）,E,F,B（1,1,0）,D1（0,0,1）,=（-1,0,-1）,=（-1,1,0）,=（-1,-1,1）,=-=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为（）A.（1,1,1） B.C. D.【解析】选C.由已知得A（
3、,0）,B（0,0）,D（,0,0）,E（0,0,1）,设M（x,x,1）.则=（x-,x-,1）,=（,-,0）,=（0,-,1）.设平面BDE的一个法向量为n=（a,b,c）.即解得,令b=1,则n=（1,1,）.又AM平面BDE,所以n=0.即2（x-）+=0,得x=,所以M二、填空题（每小题5分,共15分）6.已知平面和平面的法向量分别为a=（1,1,2）,b=（x,-2,3）,且,则x=.【解析】由,得ab.所以ab=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.（2015兰州模拟）已知平面内的三点A（0,0,1）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,平面的一个法向量n=（-1,-1,
4、-1）.则不重合的两个平面与的位置关系是.【解析】由已知得,=（0,1,-1）,=（1,0,-1）,设平面的一个法向量为m=（x,y,z）,得令z=1,得m=（1,1,1）.又n=（-1,-1,-1）,所以m=-n,即mn,所以.平行【方法技巧】平面的法向量的求法1.设出平面的一个法向量n=（x,y,z）,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是
5、棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E（x,1,1）,B1（1,1,0）,所以=（x-1,0,1）,又F（0,0,1-y）,B（1,1,1）,所以=（1,1,y）,由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需=（1,1,y）（x-1,0,1）=0x+y=1.1三、解答题（每小题10分,共20分）9.（2015四平模拟）如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.（1）求证:AG平面BEF.（2）试在
6、棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.【解析】（1）以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A（1,0,0）,B（1,1,0）,E,G因为而,所以+故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG平面BEF.（2）设M（1,1,m）,则=（1,1,m）,由所以-+m=0m=所以M为棱BB1的中点时,DM平面BEF.10.（2015泰安模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.CM平面PAD
7、.（2）求证:平面PAB平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC=30.因为PC=2.所以BC=2,PB=4.所以D（0,1,0）,B（2,0,0）,A（2,4,0）,P（0,0,2）,M=（0,-1,2）,=（2,3,0）,（1）设n=（x,y,z）为平面PAD的一个法向量,则令y=2,得n=（-,2,1）.因为n+20+1所以n又CM平面PAD,所以CM平面PAD.（2）取AP的中点E,并连接BE,则E（,2,1）,=（-因为PB=AB
8、,所以BEPA.又,2,1）（2,3,0）=0,则BEDA.因为PADA=A,所以BE平面PAD,又因为BE平面PAB,所以平面PAB平面PAD.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1- AB- C是直二面角.求证:（1）A1B1平面AA1C.（2）AB1平面A1C1C.【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB=AC,BC=AB,所以CAB=90即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A（0,
9、0,0）,B1（0,2,2）,A1（0,0,2）,C（2,0,0）,C1（1,1,2）.（1）=（0,2,0）,=（0,0,-2）,=（2,0,0）,设平面AA1C的一个法向量为n=（x,y,z）,取y=1,则n=（0,1,0）.=2n,即n.所以A1B1平面AA1C.（2）易知=（0,2,2）,=（1,1,0）,=（2,0,-2）,设平面A1C1C的一个法向量为m=（x1,y1,z1）,则令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=（1,-1,1）.m=01+2（-1）+21=0,m.又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.（20分钟40分）1.（5分）平面经过三点A（-1,0,1）
10、,B（1,1,2）,C（2,-1,0）,则下列向量中与平面的法向量不垂直的是（）A. B.（6,-2,-2）C.（4,2,2） D.（-1,1,4）【解析】选D.由已知得=（2,1,1）,=（3,-1,-1）,设平面的法向量为n=（x,y,z）,则令y=1,则n=（0,1,-1）.经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,（-1）1+（-1）4=-30,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选D.对于选项A,因为（1,-2,-2）=,所以选项A所对应的向量与平面平行,同理可知选项B,C所对应的向量均与平面平行,而对于选项D对应的向量与平面不平行,故选D
11、.2.（5分）（2015太原模拟）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.斜交 B.平行C.垂直 D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以MN又C1（0,0,0）,D1（0,a,0）,所以=（0,a,0）,=0,所以是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为B
