1、9 关于定义在上的函数，给出下列三个命题：若，则不是奇函数；若，则在上不是单调减函数；若对任意的恒成立，则是周期函数其中所有正确的命题序号是 【答案】10已知数列的前项和，且既不是等差数列，也不是等比数列，则的 取值集合是 【答案】 【解析】11如果将直线：向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线与圆： 相切，则实数的值构成的集合为 【答案】，【解析】易得直线：，即，圆： 的圆心到直线：的距离，解得或12已知正数x，y满足，则y的最大值为 【答案】【解析】由，得， 所以，从而，解得 13考察下列等式： ，其中为虚数单位，an，bn（n）均为实数由归纳可得，a2015b2015的值为 【答
2、案】0【解析】通过归纳可得， ，从而a2015b2015 014在ABC中，设，交于点，且，（,）,则的值为 【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC，设AB， 以AB，分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则A， 直线的方程为：， 由得，所以， 代入，得， 解得，故二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且（1）求角的大小； （2）求ABC面积的最大值（1）由得， 所以，（4分） 故ABC 中，（6分）（2）由正弦定理得，即，（8分） 由余弦定理得，即，（10分）
3、由得，（当且仅当时取等号）（12分） 所以.（14分）16（本题满分14分）如图，在四棱锥中，锐角三角形所在的平面与底面垂直， （1）求证：平面；（2）求证：平面 证明：（1）在平面内过点作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，（4分） 而平面，所以， 由得， 又，平面， 所以平面，（8分） （2）因为平面，故， 故在平面中，（11分） 又平面，平面， 所以平面（14分）17（本题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB x m，且（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？（2）若景
4、观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？【解】设题中半圆形半径为r（m），矩形ABCD的面积为S（m2），内圈周长为c（m）（1）由题意知：，且，即，于是（m2）当且仅当（m）时，等号成立答：当x 100（m）时，矩形ABCD的面积最大（6分）（2）由题意知：，于是， 从而（8分） 因为，所以，即， 解得，所以，（10分） 故 因为，（12分） 所以关于r的函数在上是单调减函数故当即（m）时，内圈周长c取得最小值，且最小值为（m）（14分）18（本题满分16分） 在平面直角坐标系中，设椭圆：的焦距为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上横坐标大于2的一点，过点作圆
5、的两条切线分别与 轴交于点，试确定点的坐标，使得的面积最大解：（1）由题意得，且，（2分） 又， 故， 所以椭圆的方程为；（5分） （2）设点，其中，且，又设，不妨， 则直线的方程为： 则圆心到直线的距离为， 化简得，（8分） 同理， 所以，为方程的两根， 则，（10分） 又的面积为， 所以，（12分） 令，记， 则在恒成立， 所以在上单调递增， 故，即时，最大， 此时的面积最大（16分）19（本题满分16分） 已知函数， （1）若有极值，求a的取值范围；（2）若有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由（1）易得，（2分） 若，则，从而无极值； 若a 0，则当时，；时，此时有极
6、小值 综上，a的取值范围是（4分） （2）设P（x0，y0） 是经过原点的切线与函数图象的切点， 则切线方程为，（6分） 因为切线过点（0，0），于是，即， 因为，所以， 设，则，得，（8分）x（0，1）1（1，）+ -g（x）极大值1 故当，即时，不存在切线； 当或，即或a0时，有且仅有一条切线， 当，即时，存在两条切线，（12分） 下证：对任意的，在（0，1）内一定有一解，其中 证明在（0，1） 内有一解， 证明在内有一解 令， 则h（1） m 10， 这是关于n的二次函数，所以当n充分大时，一定取得正值， 由介值定理知，在内有唯一解，即证（16分） 20（本题满分16分）已知数列的通项公
7、式，设，（其中，）成等差数列（1）若 当，为连续正整数时，求的值； 当时，求证：为定值；（2）求的最大值 解：（1）依题意，成等差数列，即， 从而， 当为奇数时，解得，不存在这样的正整数； 当为偶数时，解得，所以（3分） 依题意，成等差数列，即， 当 均为奇数时，左边为偶数，故矛盾； 当 均为偶数时，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，即（8分） （2）设，（）成等差数列，则， 即， 整理得， 若，则，因为，所以只能为2或4， 所以只能为1或2；（12分） 若，则， 故矛盾， 综上，只能，成等差数列或，成等差数列，其中为奇数， 从而的最大值为3（16
8、分）试题（附加题） 21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A（几何证明选讲）如图，已知ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E求证：ABACADAE证明：连结EC，易得BE，（2分） 由题意，BADCAE， 所以ABDAEC，（6分） 所以ABACADAE（10分）B（矩阵与变换） 求矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征多项式为，（2分） 令，解得的特征值，（4分） 将代入二元一次方程组 解得 所以矩阵的属于特征值0的一个特征向量为；（7分） 同理，将代入解得 所以矩阵的
9、属于特征值1的一个特征向量为（10分）C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知A（ 1， ），B（ 9， ），线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及ABC的面积易得线段AB的中点坐标为（5，），（2分） 设点P（，）为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP中，cos（）5， 所以，l的极坐标方程为cos（）5，（6分） 令0，得10，即C（10，0）（8分） 所以，ABC的面积为：（91）10sin20（10分）D（不等式选讲） 已知，求证：因为，且，（当且仅当时“=”成立） 所以， （4分） 又，（当且仅当时“=”成立） （8分） 由得（当且仅当时“=”成立）（10分） 【
10、必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22如图，在正四棱柱中， （1）若，求与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小为，求的值如图，以点为坐标原点，分别 为，轴，建立空间直角坐标系， （1）当时， 则， 设平面的法向量， 则由得， 不妨取，则，此时，（3分） 故， 所以与平面所成角的正弦值为；The strand 崲 Ma 囩 （2）由得，The 鐢 indigo 瓙鏁 version 嵁 strand 崲 不妨取，则，The 鐢 indigo 瓙 Cong Chuai Fei Hun 粺 此时，（7分） 又平面的法向量，The 鍙夎 splashes 故， 解得（10分） The 鍦 version 柟鍒嗘垚鐗祫23设为给定的不小于3的正整数数集，记数集的所有元子集的所有元素的和为（1）求，；（2）求（1）易得数集， 则，（2分） 数集的2元子集中，每个元素均出现次， 故，（4分） （2）易得数集的元子集中，每个元素均出现次， 故，（6分） 所以 （10分）
