1、 第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上” 字分别需用 和 枚棋子；（2）第n个“上”字需用 枚棋子。方法一：数数的方法 先统计每个图所用的棋子数，然后再对这些数进行比较，方法二：找出变化的地方 通过比较前后两个图，发现事物的相同点和不同点，找出变化的地方有几处，通常有几处在增加，就是几n，然后根据第一个图看还需要加多少，或者减多少。如 上图 相连两个图之间有四个地方在增加，那就是4n，再看第一个图是6颗棋，则需要加2 所以为 4n+2 此方法可类推到很多题！练：如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察
2、图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子。练 如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖 _ 块（用含n的代数式表示）练 下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的推测第n个图形中，正方形的个数为_，周长为_（都用含n的代数式表示）基本方法2 如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即
3、是第n位数。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。需要准备的知识：会求等差数列的和： 教会学生如何求第n项的数是多少 即第n-1位到第n位的增幅即第n-1位到第n位的增幅a（n）=a1+（n-1）d， 前n项和的公式 2 6 12 20 30 （ 42 ） A.38 B.42 C.48 D.56解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。说明 对于图形题方法也一样，先统计每个图基本单元的个数。然后对数进行比较例3：2 5 11 20 32 （ 47
4、 ） （2008年考题）A.43 B.45 C.47 D.49后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要 选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。练习1. 如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图中有1个立方体，图中有4个立方体，图中有9个立方体，按这样的规律叠放下去，第8个图中小立方体个数是 .第n个为-2. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 基本方法三、增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.此类问题
5、也是对增幅进行比较，会发现前后两数之比为同一个数 则可表示为该数的的多少次方， 如上题：第一与第二个数之间差的是1，说明得从2的n-1次方开始，在考虑第一个数为2，所以规律为 1+2的n-1次方。例4：4 5 7 1l 19 （ 35 ） A.27 B.31 C.35 D.411，2，4，8这是一个等比数列，因而要 选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。 n项为3+2的n-1次方。练习1：1， 3， 7， 15， 31， （ 63 ） （2007年考题）A.61 B.62 C.63 D.64第n项为-特殊类 增幅不相等，且增幅也不98以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概
6、没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第100个数是 100 ，第n个数是 n。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数： 序列号： 1，2，3， 4， 5，。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的
7、平方减1。因此，第n项是-1，第100项是1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ ），1，2，3，4，5。，从中可以看出n=2时，正好是22-1的平方,n=3时，正好是23-1的平方，以此类推。（三）看例题：A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂，即： n+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即： （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每
8、位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。2、5、10、17、26，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即
9、n，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第一百个数为4*100=40000 （六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。对于正负交替出现的数组：通常把数与符号分开，先用-1的N次方或者n+1次方来表示符号，再去探索数的规律。一道初中数学找规律题0，3，8，15，24， 2，5，10，17，26， 0，6，16，30，48（1）第一组有什么规律？答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？第一组是位置数平
10、方减1，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即。第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：例2、 （）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：以上系列方法是基础，是基本方法。接下来介绍些中考中的巧解妙解题。1、设计类【例1】（2005年大连市中考题）在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为 。（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。【例2】（2005年河北省中考题）观察下面的图
11、形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。解析：（1）（2）可设计如图1，图2， 图3，图4所示的方案：（1），对应的图形是（2）。2、动态类【例3】（连云港市中考题）右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，依此类推。则第10圈的长为【例4】（重庆市中考题）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式
12、为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+1079。利用每圈周长之和进行比较也很容易得出前后两数之差
13、为一个相同的数8，所以规律中含有8n，再看第一个数为7，所以规律为8n-1（3，4）3、数字类【例5】（福州市中考题）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是【例5】这列数的分子分别为3，4，5的平方数，而分母比分子分别小4，则第7个数的分子为81，分母为77，故这列数的第7个为。【例6】（2005年济南市中考题）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、，则第10个数为【例8】的一列数形成二阶等差数列，他们依次相差4，8，12，16故第10个数为1+4+8+12+16+20+24+28+32+36181。4、计算类【例10】（2005年陕西省中考题）观察下列等式： ， 则第n个等式可以表示为【例11】（200
