1、由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：（0,0） ,（0,1） ,（1,0）, （1,1），根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？
2、根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。2.9将一个矩形分成（m+1）行列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 （1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 种情况 （3）现在有列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。2.11证明：从S=1,3,5,599这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，
3、它们之间最多差4。 将S划分为1,3,5，7,9,11, 595,597,599共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.2.12证明：从1200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。设从1200中任意选取的70个数构成一组，即第一组： ；第二组：第三组：；显然，这三组数均在1209之间，且共有3*70=210个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：1） 如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有；2） 如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有；3） 如果这
4、两个数分别来自第二组和第三组，则有；得证。习题三3.8 确定多重集的11-排列数？3.9 求方程，满足的整数解的个数。3.10 架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？解：n=20，r=4，3.17 一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多少种可能的比分记录？根据题意，相当于求从点（0,0）到点（11,7）且从下方不穿过y=x的非降路径数，即为：3.21 1）会议室中有2n+1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？（1）方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不
5、同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-（n+1）=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：方法2：设第一排座位有x1个，第二排座位有x2个，第三排座位有x3个。x1+x2+x3=2n+1，且x1+x2（2n+1）/2，x1+x3（2n+1）/2，x2+x3（2n+1）/2，即x1+x2n+1，x1+x3n+1，x2+x3n+1，令y1= x1+x2-n-1，y2= x1+x3-n-1，y3= x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2（2n+1）-3（n+1）=n-1且y
6、i0，1i3。显然，x方程满足要求的解与y方程非负整数解一一对应，有种。方法3：要求每行非空如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：（2）会议室中有2n个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？（2）如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。这相当于将n
7、个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-n=n个座位任意分到3排中，这样的摆法共有种方案。需要注意的是，三排中如果任意两排都是n个座位共有3种情况，这3种情况在中被重复计算了2次，因此需要将重复减去的3次加上。所以符合题意的摆法有：x1+x2+x3=2n，且x1+x2n+1，x1+x3n+1，x2+x3n+1，令y1=x1+x2-n-1，y2=x1+x3-n-1，y3=x2+x3-n-1，可知y1+y2+y3=2（2n）-3n-3=n-3且yi0，1i3。如果没有附加限制则相当于把2n个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n个座位。这相当于
8、将n-1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n-（n-1）=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有种方案，所以符合题意的摆法有：3.24 n（n2）个不同的球分给甲、乙、丙3人，使得甲至少分得两个球，有多少种不同的分法？3.25 24个相同的球分堆，使得每堆的球不少于5，有多少种不同的分堆方法？ 每堆去掉4个球，剩余球分堆的方法数其中习题四4.3 一项对于A,B,C三个频道的收视调查表明，有20%的用户收看A，16%的用户收看B，14%的用户收看C，8%的用户收看A和B，5%的用户收看A和C，4%的用户收看B和C，2%的用户都看。求不收看A,B,C任何频道的用户百分比？
9、设性质P1是收看A频道的用户百分比；P2是收看B频道的用户百分比；P3是收看C频道的用户百分比；Ai=x|xSx具有性质Pi，i=1,2,3。S是受调查的所有用户的集合。根据定理4.1.1，有4.4 某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？设性质P1喜欢看球赛；P2喜欢看戏剧；P3喜欢看电影。S是100名大学新生的集合。由题意可得，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，所以可
10、得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有 因此只喜欢看电影的人有=52-（26+16）+12=22人设只喜欢看球赛的人数为x；设只喜欢看电影的人数为y；喜欢看球赛和电影但不喜欢看戏剧的人数为z，则解得y=22，所以22人只喜欢看电影。4.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位一起吃过6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?设n为在外面共吃过晚餐的次数，性质Pi（1i6）表示他和第i位朋友吃过晚餐，Ai（1i6
11、）表示他和第i位朋友吃过晚餐的次数。显然满足对称筛公式，其中由题可得方程：解得吃饭次数为4.13 计算棋盘多项式R（）。R（） = x*R（）+R（） =x*（1+3x+x2）+（1+x）*R（ ） = x3+3x2+x+（1+x）xR（）+R（） = x3+3x2+x+（1+x）x（1+x）+（1+4x+2x2） = 5x3+12x2+7x+14.14 A,B,C,D,E五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。要求A型车不能涂成黑色；B型车不能涂成红色和白色；C型车不能涂成白色和绿色；D型车不能涂绿色和蓝色；E型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？ABCDE红白蓝绿黑1.若未
12、规定不同车型必须涂不同颜色，则：涂装方案2.若不同车型必须涂不同颜色，则：禁区的棋盘多项式为：R（）=R（）R（）=（1+x）（xR（）+R（）=（1+x）（xR（）R（）+R（）R（）=（1+x）（x（1+2x） 2+（1+3x+x2）2）=1+8x+22x2+25x3+11x4+x5 所以： N =5!-r14!+r23!r32!+r41!- r50! =5！-8*4！+22*3！-25*2！+11*1！-1=20习题五5.1 求如下数列的生成函数。（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；5.3 已知数列的生成函数是，求.5.15 知数列的指数生成函数是，求。6.5 平面上有n条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这n条直线把平面分成个区域，求的递推关系并求解.设n-1条直线把平面分成个区域，则第n条直线与前n-1条直线都有一个交点，即在第n条直线上有n-1个交点，并将其分成n段，这n段又把其所在的区域一分为二。6.6 一个的方格图形用红、蓝两色涂色每个方格，如果每个方格只能涂一种颜色，且不允许两个红格相邻，设有种涂色方案，求的递推关系并求解.设f（n）为的方格图形的涂色方案。当n=1时，f（1）=2，即一个方格有红、蓝两种涂色方案。当n=2时，f（2）=3，即两个方格有（红、蓝），（蓝、红）、（蓝、蓝）三种涂色方案。由于不允许
