1、导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称.）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各
2、有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题如图1-3-2-1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1-3-2-1那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？x-3-2-1123f（x）=x2表1f（x）=|x|表2请给出偶函数的定义？偶函数的图象有什么特征？函数f（x）=x2,x-1,2是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？观察函数f（x）=x和f（x）=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生:观察图象的对称性.学生给出这两个函数的解析式具有什么共同
3、特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.利用函数的解析式来描述.偶函数的性质：图象关于y轴对称.函数f（x）=x2,x-1,2的图象关于y轴不对称；对定义域-1,2内x=2，f（-2）不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f（-x）=f（x）不恒成立.偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶
4、性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；（4）可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；（5）函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.讨论结果:这两个函数之间的图象都关于y轴对称.94这两个函数的解析式都满足：f（-3）=f（3）;f（-2）=f
5、（2）;f（-1）=f（1）.可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f（-x）=f（x）.一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.不是偶函数.偶函数的定义域关于原点轴对称.一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.应用示例思路1例1判断下列函数的奇偶性:（1）f（x）=x4；（2）f（x）=x5；（3）f（x）=x+；（4）f（x）=.
6、学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）.解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f（-x）=（-x）4=x4=f（x），所以函数f（x）=x4是偶函数.（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f（-x）=（-x）5=-x5=-f（x）,所以函数f（x）=x4是奇函数.（3）函数的定义域是（-,0）（0,+），对定义域内任意一个x，都有f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），所以函数f（x）=x+是奇函数.（4）函数的定义域是（-,0
7、）（0,+），对定义域内任意一个x，都有f（-x）= = =f（x），所以函数f（x）=是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（-x）与f（x）的关系；作出相应结论：若f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）=0,则f（x）是偶函数；若f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0,则f（x）是奇函数.变式训练2006辽宁高考，理2设f（x）是R上的任意函数,则下列叙述正
8、确的是（ ）A.f（x）f（-x）是奇函数 B.f（x）|f（-x）|是奇函数C.f（x）-f（-x）是偶函数 D.f（x）+f（-x）是偶函数分析:A中设F（x）=f（x）f（-x）,则F（-x）=f（-x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（-x）为偶函数；B中设F（x）=f（x）|f（-x）|，F（-x）=f（-x）|f（x）|，此时F（x）与F（-x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（-x）|的奇偶性不确定；C中设F（x）=f（x）-f（-x）,F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），即函数F（x）=f（x）-f（-x）为奇函数；D中设F（x）=f（x）+
9、f（-x），F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（-x）为偶函数.答案：D例22006上海春季高考，6已知函数f（x）是定义在（-,+）上的偶函数.当x（-,0）时，f（x）=x-x4，则当x（0,+）时，f（x）=_.学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间（0,+）上的自变量对应的函数值，转化为区间（-,0）上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f（x）=f（-x），将在区间（0,+）上的自变量对应的函数值，转化为区间（-,0）上的自变量对应的函数值.当x（0,+）时，则-x0时，f（x）=x2+，求f（x）.当x=0时，f（-0）=-f（0），
10、则f（0）=0；当x0，由于函数f（x）是奇函数，则f（x）=-f（-x）=-（-x）2+=-x2+，综上所得，f（x）= 思路2例1判断下列函数的奇偶性.（1）f（x）=x2,x-1,2;（2）f（x）=；（3）f（x）=+；学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系.在（4）中注意定义域的求法,对任意xR，有=|x|-x，则+x0.则函数的定义域是R.（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f（x）=x2,x-1,2既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称,函数f（x）=既不是奇函
11、数又不是偶函数.（3）x240且4x20，x2，即f（x）的定义域是2，2.f（2）0，f（2）0,f（2）f（2），f（2）f（2）.f（x）f（x），且f（x）f（x）.f（x）既是奇函数也是偶函数.（4）函数的定义域是R.f（-x）+f（x）= =0,f（x）f（x）.f（x）是奇函数.本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f（-x）与f（x）或-f（x）是否相等；（2）当f（-x）f（x）时，此函数是偶函数；当f（-x）-f（x）时，此函数是奇函数；（3）当f（-x）f（x）且f（-x）-f（x）时，此函数既是奇函数又是偶函数；（4）当f（-x）f（x）且f（-x）-f（x）时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f（-x）+f（x）来判断f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立.2007河南开封一模，文10函数f（x）=x22ax+a在区间（，1）上有最小值，则函数g（x）=在区间（1，+）上一定（ ）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f（x）=x22ax+a的对称轴是直线x=
