1、A B C D7记为坐标原点,已知向量,又有点,满足,则的取值范围为( )A B C D 8已知,则是直角三角形的概率是( )A BC D 9设,其中,则的最小值为( )A B CD 10点在轴上,若存在过的直线交函数的图象于两点,满足,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是 ( )A轴上仅有有限个点是“点”; B轴上所有的点都是“点”; 开 始否是(12题图)结 束C轴上所有的点都不是“点”;D轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 二、填空题:本大题共7小题,每小题7分,共49分11同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是 12如图执行右面的程序框图,那么输出的值为 13函
2、数的值域是 (其中表示不超过实数的 最大整数)14. 已知定义域为的函数对任意都满足条件 与,则对函数,下列结论中必定正确的是 (填上所有正确结论的序号) 是奇函数; 是偶函数;是周期函数; 的图象是轴对称的15若为整数,关于的方程有整数根,则 16是定义域为的函数,若函数有且仅有4个不同的零点,则这4个零点之和为 17求值: 三、解答题:本大题共3小题,共51分得分评卷人18(本题满分16分) 已知函数 求的最小正周期和的值域;若为的一个零点,求的值19(本题满分17分)设函数,对于给定的实数,在区间上有最大值和最小值,记 求的解析式;问为何值时,有最小值?并求出的最小值20. (本题满分1
3、8分)定义在正实数集上的函数满足下列条件:存在常数,使得;对任意实数, 当时,有求证:对于任意正数,;证明:在正实数集上单调递减; 若不等式恒成立,求实数的取值范围高一数学竞赛试卷 第4页(共6页)2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答A B C3 D解:求出的平均值实际平均值,选BC D解:可得,所以,选C解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得选DC D将选择支中各函数用区间逐一检验知,只有C中函数满足要求选C因为,可知函数单调递减,已知不等式即,所以,选A6函数的零点个数为( )A B C D解:,所以的零点 个数即函数与函数的交 点的个数,作图可知有个交点,选D
4、7记为坐标原点,已知向量,又有点,满足,则 的取值范围为( )A B C D ,点在以点为圆心,为半 径的圆周上可得,如图可知,当 直 线与圆周相切时,有最大值为,当三点共线时有最小值为,所以的取值范围为选AA BC D 由与构成三角形及知,可得 与垂直,则;若与垂直,则(舍去);若与垂直,或(舍去);综上知,满足要求的有个,所求概率为故选 DA B CD 解1:,由得当且仅当时,选B解2:当且仅当时,选BA轴上仅有有限个点是“点”; B轴上所有的点都是“点”;C轴上所有的点都不是“点”;D轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 设,因为,所以,得即对于轴上任意点,总有,满足题设要求,故选
5、B(动态想象):任取轴上点,将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转,与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点(由下至上)直到最后只交于一个点当交于两个点时,在由正到负的过程中必将经历零点当时,即有,所以轴上所有的点都是“点” 同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有种,其 中两个正面一个背面的情况有(正,正,背),(正,背,正)与(背,正,正)三种,故所求概率为13函数的值域是 (其中表示不超过实数的 最大整数),所以 的所有可能取值为,从而值域为14已知定义域为的函数对任意都满足条件 与,则对函数, 是偶函数; 的图象是轴对称的由知有周期,于是,知 为奇函数,填设为方程的整数根
6、,则,必有或得或,有对称轴,故4个零点和为8解1:如图,构造边长为的正五边形,使得,则依次可得,由于,所以,从而解2:原式18(本题满分16分) 已知函数 .4分所以的最小正周期;.5分由,得的值域为.7分,由题设知,.8分由,结合知,可得.10分,.12分,.14分.16分19(本题满分17分)设函数,对于给定的实数,在区间上有最大值和最小值,记 ,抛物线开口向上,其对称轴方程为,下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论:.1分当时,且,此时,3分当时,且,此时,5分当时,在区间上递增,此时,7分当时,在区间上递减,此时,9分综上所得10分当时, ;11分当时, 递减,;.13分当时, 递增,;.15分当时, .16分综上所述,当时,.17分20.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数满足下列条件:证明:均为正数,且,根据指数函数性质可知,总有实数使得,于是,.2分又, .5分任设,可令,.7分则由知,.9分即在正实数集上单调递减;.10分解:令,原不等式化为,其中且,不等式可进一步化为,.12分又由于单调递减,对于恒成立.13分而,.15分且当时.16分,又,终得.18分高一数学竞赛试题答案 第8页(共8页)