1、八上全等三角形经典培优习题汇集学而思全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定【例 1 】 如图，AC / DE , BC / EF , AC=DE .求证： AF=BD .【补充】如图所示:AB / CD , AB =CD .求证： AD / BC .【例2】 已知：如图， B、E、F、C四点在同一条直线上， AB=DC , BE=CF , . B=C .求证:OA=OD .【补充】已知：如图， AD =BC , AC =BD ,求证：.C =/D .【例3】 如图，AB , CD相交于点O , OArOB , E、F为CD上两点，AE / BF , CErDF .求证:AC /
2、BD .【补充】已知，如图， AB=AC , CE _AB , BF _ AC ,求证：BF=CE .【例4】 如图，MDCE=：90 ,CD =CE , AD _ AC , BE _ AC ,垂足分别为 A ,B ,试说明 AD A BE【例10】如图所示， 已知AB =DC , AE =DF , CE =BF ,证明：AF=DE .【补充】 E、F、G分别是正方形 ABCD的BC、CD、AB边上的点， GE _ EF , GE =EF 求证: BG CF =BC .【补充】如图所示： AF =CD , BC=EF , AB=DE , . A=ZD 求证：BC / EF .【例13】(1)如
3、图， ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方形ACFG连结EG,试判 断厶ABC与厶AEG面积之间的关系，并说明理由 .(2)园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成 .已知中间的所有正方形的面积之和是 a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b平方米，这条小路一共占地多少平方米？【例 14】如图， ABC 中，AB=BC ,乙ABC =90 , D 是 AC 上一点，且 CD=CB=AB , DE _ AC 交 AB 于E点求证：AD=DE=EB .AN、CM交于P点.试求.APM的度数，并写出你的推理证明的过程.【例16】如图，I是厶AB
4、C的内心，且 CA Al =BC .若/ BAC=：80 ,求乙ABC和.AIB的大小.【例17】已知：BD、CE是 ABC的高，点 P在BD的延长线上， BP=AC ,点Q在CE上，CQ=AB , 求证： AP=AQ ;(2) AP _AQ .【例18】 如左下图，在矩形 ABCD中，E为CB延长线上一点且 AC =CE , F为AE的中点.求证：BF _ FD . 如右下图，在 =ABC中，BE、CF分别为边 AC、AB的高，D为BC的中点，DM _ EF于M .求证：FM =EM .A118.补充：如图，已知 疋ABD MACD =60 ,且.ADB =90 BDC .求证： ABC是2
5、等腰三角形.【例19】如图，JABC为边长是1的等边三角形， BDC为顶角（MBDC）是120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB于M , AC 于N ,连接 MN ,形成一个 UAMN 求UAMN的周长.【习题1】 已知：如图， AB Il DE , AC / DF , BE =CF . 求证：AB=DE .【习题 2】 已知： DEF MNP,且 EF= NP, F= P, D= 48 E= 52 MN = 12cm ,求： P 的 度数及DE的长.【习题3】如图，矩形 ABCD中，E是AD上一点, 且CE=EF ,求AE的长.【习题4】在四边形 ABCD中，AD
6、/ BC , . A的平分线 AE交DC于E .求证：当BE是.B的角平分线 时，有 AD +BC =AB .【备选2】如图所示，在 ABC中，AD _ BC于点D , . B = 2. C .求证：AB - BD=CD 【备选3】如图， ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE DF,交AB于点E,连结EG EF(1)求证：BG= CF(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由BE的延长线与 AD的延长线相交第二讲 全等三角形与中点问题版块一倍长中线A【例1】在厶ABC 中,AB =5, AC =9 ,则BC边上的中线 AD的长的取值范围
7、是什么？/ .B D C1【补充】已知：JABC中，AD是中线.求证： AD ：? (AB - AC).【例2】 已知：如图，梯形 ABCD中，AD / BC ,点E是CD的中点,于点F .求证：厶BCE也厶FDE .【例6】 如图所示，在 ABC和 A B C中，AD、AD分别是BC、B C 上的中线，且 AB=AB，,AC=AC , AD=ADABC 也 A BC .【例7】 如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF Il AD交CA的延长线于点 F ,交EF 于点G ,若BG=CF ,求证： AD为MBC的角平分线.【例8】 已知AD为 ABC的中线，.ADB， AD
8、C的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证: BE CF EF .【例9】 在RtAABC中，A =90 ,点D为BC的中点，点E、F分别为 AB、AC上的点，且ED _ FD .以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝 角三角形？【例10】已知 ABC, B= C, D, E分别是 AB及AC延长线上的一点，且 BD=CE,连接DE交底BC于G, 求证GD=GE.【例11】如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN ,如果BM 2 CNDM 2 DN2 ,求证AD2 =1 AB2 AC2 .（勾股定理的内容，选做）4【例10】
9、在Rt ABC中，F是斜边 AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足WDFE=：90 .若AD=：3 ,BE =4 ,则线段DE的长度为 .【习题1】 如图，在等腰 “BC中，AB=AC , D是BC的中点，过A作AE _ DE , AF _ DF ,且AE=AF . 求证：.EDB =. FDC .【习题3】 如右下图，在 ,ABC中，若.B =2. C，AD_BC， E为BC边的中点.求证： AB=2DE .【备选1】如图，已知 AB=DC, AD=BC, O是BD中点，过O点的直线分别交 DA、BC的延长线于E, F. 求证： E= F【备选2】如图，JABC中，AB=AC , ZB
10、AC =90 , D是BC中点, 与 AC 交于 F .求证：BE=AF , AE=CF .第三讲 全等三角形与角平分线问题【例1】 在JABC中，D为BC边上的点，已知.BAD =/CAD , BD=CD ,求证： AB=AC .【例2】 已知ABC中，AB=AC , BE、CD分别是.ABC及.ACB平分线求证： CD=BE .【例3】 如图，在 ABC中，./B =60 , AD、CE分别平分EBAC、./BCA ,且AD与CE的交点为F .求 证：FE =FD.【例4】 如图，已知 ABC的周长是21 , OB , OC分别平分.ABC和.ACB , OD _ BC于D ,且OD =
11、3 , 求.ABC的面积.【补充】如图所示： AB=AC , AD=AE , CD、BE相交于点O .求证：OA平分DAE .【例8】 如图所示，已知,ABC中，AD平分.BAC , E、F分别在BD、AD上.DE =CD , EF=AC .求 证：EF / ABA【例10】如图，在四边形 ABCD中，AC平分三BAD ,过C作CE _ AB于E ,并且AE =A(AB - AD),则 ABC ADC等于多少？【补充】长方形 ABCD中，AB=4, BC= 7, BAD的角平分线交 BC于点E, EF丄ED交AB于F ,则 EF = .【补充】在 ABC中，AB AC , AD 是BAC的平分
12、线.P是AD上任意一点.求证：AB - AC PB - PC .【例11】如图，在 AABC中，NB=：2乙C , ZBAC的平分线 AD交BC与D .求证： AB BD =AC .【例12】如图， ABC中，AB=AC , . A =108 , BD平分.ABC交AC于D点.求证：BC=AC cD .【巩固】已知等腰 AABC , A =100 , ABC的平分线交 AC于D ,贝U BD AD =BC .A14 D/【例13】如图所示，在 ,ABC中，AD平分.BAC , AD=AB , CM _ AD于M ,求证AB AC=2AM .【例14】如图，,ABC中，AB=AC , BD、CE
13、分别为两底角的外角平分线， AD _ BD于D , AE _ CE于E 求证：AD=AE .【例15】如图，ZA =180 , BE平分 ZABC , CE平分 ZBCD ,点E在AD上.1探讨线段 AB、CD和BC之间的等量关系.2探讨线段 BE与CE之间的位置关系.【习题2】如图，在 JABC中，AB BD =AC , /BAC的平分线 AD交BC与D .求证：B=2C .【习题4】如图所示，AD 平行于 BCwDAE= WEAB , ZABEEBC , AD=4, BC=2，那么 AB=HA【习题5 ABC中，D为BC中点，DE _ BC交.BAC的平分线于点 E , EF _ AB于F
14、 EG _ AC于G .求 证：BF =CG.【备选2】如图，已知在 厶ABC中， ABC =3 C , . 1=2 , BE _ AE .求证： AC-AB=2BE .【备选3】如图所示，在四边形 ABCD中，AD / BC , . A的平分线AE交DC于E ,求证：当BE是.B 的平分线时，有 AD +BC =AB (2)求证：CD=CE(3) 求证：CF平分 MCN(4)求证：DEIl AB【例3】 如图，等边三角形 ABC与等边 DEC共顶点于C点.求证：AE =BD .【补充】如图，正方形 OGHK绕正方形ABCD中点0旋转，其交点为 E、F ,求证：AE CF = AB .【补充】如图所示，在四边形 ABCD中，ADC=/ABC =90 , AD =CD , DP _ AB于P ,若四边形 ABCD 的面积是16,求DP的长.【例7】E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且 EAF=：45，AH _ EF，H为垂足，求 证：AH =AB .交BC边于点E .求证：AF=DF +BE .设DF =x( 0 X 1) ,AADF与 ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时 X的值及S 若不存在，请说明理由.【补充】(1)如图，在四边形 ABCD中，AB = AD, / B=/ D= 90 , E、F分别
