1、基础实验 引言 硫化橡胶早在 19 世纪就被广泛应用于密封、承载、减振降噪等工业领域。然而，不同于金属材料仅需要几个参数就可描述其材料特性，橡胶的材料本构关系是非线性的。它的力学行为对温度，环境，应变历史，加载的速率都非常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。然而橡胶材料本构模型选取合理性直接影响到橡胶制品的有限元计算结果的精度。在一些高级的实验室里可以对橡胶材料进行包括拉伸、压缩，剪切及体积实验等在内的全部基础实验；而通常情况下，仅有单轴拉伸等简单的实验数据可以获取。这种情况下，恰当的选择用于有限元计算的橡胶材料的本构模型就十分重要。本文采用非线性有限元计算软件ABAQUS 对橡胶制品进
2、行计算。1 橡胶材料的本构模型及系数定义 常用的对橡胶力学性能的描述方法主要分为两类1：一类是认为橡胶为连续介质的现象学描述；另一类是基于热力学统计的方法。现象学的描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设是用单位体积（弹性）应变能密度来描述橡胶特性的。基于统计热力学方法的理论则认为：观察到橡胶中的弹性恢复力主要来自橡胶中熵的减少，熵的减少是由于橡胶的伸长使得橡胶结构由高度的无序变得有序。由对橡胶中分子链的长度，方向以及结构的统计得到橡胶的本构关系。按此标准划分的两类模型如下表所示：表 1-1 有限元分析中的两类橡胶本构模型 本构模型
3、本构模型 阶数 Arruda-Boyce 模型 2 基于热力学统计的本构模型 Van der Waals 模型 4 N 次完全多项式模型 2N N 次缩减多项式模型 N 基于现象学的本构模型：Ogden 模型 2N 1.1 多项式形式 对于各向同性材料，应变能加法分解成应变偏量能和体积应变能两部分，形式1如下：）1（）3,3（21+=JgIIfU （1-1）令=NiiiJDg12）1（1，并且进行泰勒展开，可以得到下式：=+=+=NjiNiiijiijJDIICU11221）1（1）3（）3（1-2）这种形式为多项式表示的应变能，参数 N 为我们选择的多项式阶数。Di的值决定材料是否可压：如所
4、有 Di都为 0，说明材料是完全不可压的。对于多项式模型，无论 N 值如何，初始的剪切膜量0，初始的体积膜量0k，都决定于多项式一阶（N=1）系数：10011002 ）,（2DkCC=+=（1-3）对于完全多项式，如果1=N则只有线性部分的应变能量保留下来，即 Mooney-Rivlin形式：21201110）1（1）3（）3（+=JDICICU （1-4）多项式模型的特殊形式可以由设定参数为 0 来得到。如果所有0=ijC（0j），则得到减缩的多项式模型：iNiNiiiiJDICU21010）1（1）3（+=（1-5）当3N=，则减缩多项式为 Yeoh 形式2，它是减缩多项式的特殊形式：ii
5、iiiiJDICU2313010）1（1）3（+=（1-6）1.2 Ogden 形式 Ogden 应变能以三个主伸长率1，2，3为变量。在有限元中应变能的形式3如下：iNiiNiiiJDUiii2113212）1（1）3（2=+=（1-7）其中132131=iiJ。Ogden 应变能函数的第一部分只与1I和2I有关。在Ogden 模型中，0由全部系数决定：=Nii10 （1-8）1.3 Arruda-Boyce 形式 Arruda-Boyce 形式4应变能定义如下：+=JJDICUiiiimiln211）3（251122 （1-9）其中：673750519C705019C105011C201C
6、21C54321=,Arruda-Boyce 模型也叫做 eight-chain 模型。51.CC的值由热力学统计方法得到，是具有物理意义的。系数代表初始的剪切膜量，即0。系数m表示锁死应变（locking stretch），位置大约在应力应变曲线最陡的地方。初始的体积膜量为D2K0=。因为只有两个参数，这样哪怕只有很少的材料行为已知，材料的本构关系也可以得到。Kaliske 和Rothert（1997）成功地证明这种体积应变能表达式应用于大部分工程弹性材料都足够精确。1.4 Van der Waals 形式 Van der Waals 模型定义的应变能4为：+=JJDIUmln2112332
7、）1ln（）3（2232 （1-10）其中：21）1（III+=，参数是把1I和2I混合成I用到的线性的参数，332=mI。可以看到这种应变能有 4 个独立的系数。2 橡胶材料的基础实验 描述橡胶材料的基础实验有 8 种1（如图 2-1）：单轴拉伸和压缩实验，双轴拉伸和压缩实验，平面拉伸和压缩（纯剪）实验以及测定体积变化的实验（拉或压）。长期的研究和实验，发现从单轴拉伸，双轴拉伸，平面拉伸及体积压缩实验中能够获得足够精确的实验数据。因此，目前国际上定义橡胶材料力学行为的实验为：单向拉伸、双向拉伸、平面剪切及体积压缩5。图 2-1 橡胶材料的 8 种基础实验 2.1 单轴拉伸实验 单轴拉伸实验6
8、是最常用到的一种实验，有很多种关于橡胶拉伸的实验标准。用于有限元分析的实验要求比标准的实验要高些，最为明显的是实验要达到一个纯的拉伸状态，也就是实验应该尽量减小对试样侧面的约束。图 2-2 单轴拉伸实验 图 2-3 平面剪切实验 2.2 平面拉伸实验 如图 2-3 所示的纯剪实验7与拉伸实验类似，实际是一个比较宽的拉伸实验，实验精度对试件长和宽的比例非常敏感，当试件的宽度大于其长度的 10 倍时，可以获得精确的实验数据。由于橡胶材料几乎不可压缩，因此实验时，在与拉伸方向成 45 度的地方出现了纯剪状态。试件宽度要远大于拉伸方向的长度，试件的厚度方向约束尽量减小，让试件在厚度方向可以缩小。2.3
9、 等轴拉伸实验 不同于金属材料，橡胶的拉伸和压缩的应力应变曲线差别很大8，仅有拉伸实验是不足以很好地确定橡胶本构模型。因此，有限元分析的实验数据必须包括能够反映压缩性能的实验数据。然而，在单轴压缩实验中“纯”的单向压缩状态很难实现。一方面是因为在压缩时，试件和压缩装置之间的摩擦对应力状态的影响非常大，试件的侧面在压缩时不可能是自由的膨胀。即使摩擦系数很小也会引起侧面出现显著的剪切应变，而且最大的剪应变往往可能超过其最大的压缩应变。另一方面则是由于无法确定摩擦系数，实验数据无法修正，因此利用单向压缩实验无法得到合适的实验数据。对于不可压缩材料，把静水压力（拉力）叠加在另外一种单轴压缩应力状态上，
10、得到一种新的应力状态，即等轴拉伸应力状态，但是材料的应变状态不会发生变化，如下图 2-4所示：图 2-4 应力状态的叠加 所以，等轴拉伸实验和单轴压缩实验是等价的。他们之间的应力应变关系为：1）1/（1）1（23+=+=bcbbc （2-1）其中b为等轴拉伸状态工程应变，b为等轴拉伸状态工程应力,c为压缩实验工种应变，c为压缩状态工程应力。因此，对于不可压缩或者几乎不可压缩的橡胶等轴拉伸实验等价于单轴压缩实验。尽管这种实验要比单轴压缩实验复杂得多，但是这种实验可以得到很“纯”的应力状态，实验的结果可以让我们得到精确的橡胶实验数据9。图 2-5 双轴实验装置 图 2-6 体积压缩实验 2.4 体
11、积压缩实验 橡胶材料几乎不可压缩，若计算中考虑橡胶材料的可压缩性时，需要进行体积压缩实验10。实验时把一个圆柱形试件放置在固定的刚性容器中进行压缩（如图 2-6），可以获得纯的体积压缩应变状态，从实验中可直接获得工程应力应变曲线，其初始斜率即为体积模量，一般情况下，这个值比剪切模量高 23 个数量级。3 合理的选择橡胶材料的本构模型 精确的计算结果和橡胶材料本构模型的合理性是息息相关的，这部分将着重以一个示例说明这一点。本例通过计算某种弹性支承的垂向刚度，揭示橡胶材料本构模型对结果的影响。3.1 选择不同的橡胶材料本构模型建立有限元模型 假设有种情况，第一是有充分的基础实验数据，即单轴拉伸、等
12、轴拉伸和平面拉伸 3种实验数据；第二是只有橡胶材料的单轴拉伸实验数据。第一种情况下，可以采用完全多项式或 Ogden 等高阶模型拟合实验数据得到精确的本构模型，本例采用 Ogden3 阶模型。第二情况下采用 Ogden1 阶模型；同时又采用 1 阶缩减多项式本构模型如 Neo-hookean 模型作为数据拟合的对比。图 3-1、图 3-2、图 3-3 分别是用 3 种本构模型拟合的单轴拉伸、等轴拉伸和平面拉伸的名义应力应变与橡胶材料对应的 3 种实验数据对比图。从图中可以看出，在得到 3 种材料的基础实验数据的基础上，用 3 阶的 Ogden 阶模型描述材料最为精确；当只有材料的单轴拉伸实验数
13、据时，依然用 1 阶的 Ogden 模型描述材料，结果将产生很大的误差；这时，采用 1 阶缩减多项式 Neo-hookean 模型描述材料，结果要比 1 阶的 Ogden 模型好很多。0.00.20.40.60.81.01.21.401234567应力/MPa应变 Ogden本构模型ST n=3 实验结果ST Neo-hookean本构模型ST Ogden本构模型ST n=10.00.20.40.60.81.01.21.401234567应力/MPa应变 Ogden本构模型PT n=3 实验结果PT Neo-hookean本构模型PT Ogden本构模型PT n=1 图 3-1 本构模型的单轴
14、拉伸与实验数据的比较图 图 3-2 本构模型的平面拉伸与实验数据的比较图 0.00.10.20.30.40.50.60.00.51.01.52.02.53.03.54.04.5应力/MPa应变 Ogden本构模型EB n=3 实验结果EB Neo-hookean本构模型EB Ogden本构模型EB n=1 图 3-3 本构模型的等轴拉伸与实验数据的比较图 图 3-4 轴对称的产品有限元模型 图 3-4 为弹性支承的有限元模型，为轴对称结构，仅受垂向载荷，对橡胶部分而言，主要承受剪切变形。产品以 5mm 的垂向变形为主，最大变形为 6.7mm。3.2 计算结果及分析 计算结果见图 3-6 和表
15、3-1 所示，在变形在 06mm 内，产品的垂向刚度为线性的，当变形超过 6mm，刚度陡然增加。很明显，本构模型选择的越恰当，产品的刚度计算结果就越精确。当材料的实验数据充分时，使用 3 阶 Ogden 材料模型计算的刚度和实际产品的试验结果基本一致，误差为 1.35%；但只有材料的单轴拉实验伸数据时，使用缩减多项式Neo-Hookean 模型要比使用 1 阶的 Ogden 模型计算得到的结果好得多。用 Neo-Hookean 材料模型计算刚度误差也小于 11%，而用 Ogden 模型计算刚度，误差却超过 35%。012345670510152025载荷/kN位移/mm 刚度实验结果 Ogde
16、n本构模型结果 N=3 Ogden本构模型结果 N=1 Neo-Hookean本构模型结果 图 3-5 1/2 三维产品应力云图 图 3-6 产品垂向刚度曲线 表 3-1 计算刚度与实验刚度比较 材料实验数据 位移 5mm 时的刚度（kN/mm）与实验结果相比的误差（%）实验结果 2.22 0 Ogden 模型，N=3 单轴、等轴和平面拉伸2.19-1.35 Ogden 模型，N=1 单轴拉伸 1.43-35.59 Neo-Hookean 模型 单轴拉伸 1.98-10.81 4 结论 橡胶材料本构模型的选取合理性直接关系到橡胶制品的有限元计算结果的精度，在实际计算初期，应对已有材料数据进行多种模型的拟合，针对产品结
