1、数量分析之长期的影响：（）（）,（）,（*gnskgngnsksf+=（）skgnkfskkf s+=+*）（）（2其中：ALKk=,ALYy=,（）1,）（KFkf=。）（kf满足稻田（Inada）条件：=）（lim0kfk及0）（lim=kfk XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 3（）（）（*kf sgnkfsk+=（1.6）（）（）（）（）（*kf sgnkfkfskkfsy+=（1.7）又）（）（）（*kfkfkkK=为在*kk=时的资本产出弹性，在*kk=时（）*）（kgnksf+=故（）（1）（）（）（1）（）（）（）（）（）（*kkkfkfkkfkfkkf sgnkfkf
2、kfssyysKK=+=（1.8）数量分析之收敛速度：数量分析之收敛速度：资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为）（kkk&=将其在*k处展开成一阶泰勒级数为（）*）（kkkkkkkk=&（1.9）令（）*kkkkk=&则（）（）*ktktk=&（1.10）（）（）*0kkektkt+（）（）（）（）（）（）（*kfkfkgngngnkf skkkkk+=+=&（）+=gnkK）（1*（1.11）由上二式可以估算收敛的速度。增长计量（增长计量（Growth Accounting）：）：）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tAtAtYtLtLtYtKtKtYtY&+=（1.12）（）（）（
3、）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tAtAtAtYtYtAtLtLtLtYtYtLtKtKtKtYtYtKtYtY&+=）（）（）（）（）（）（）（tRtLtLttKtKtLK+&（1.13）XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（tRtLtLtKtKttLtLtYtYK+=&3 （1.14）运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow 剩余”。2Ramsey-Cass-koopmans 模型模型 2.1 假设假设 厂商厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为 Y=F（K,AL）。生产函数的设定与
4、 Solow模型中相同。见式（2.2）（2.3）及注释 1，但资本折旧为零。家庭家庭：家庭的效用函数为 dtHtLtCueUtt）（）（0=（2.1）=1）（）（1tCtCu 4，0，（）01gn （2.2）（tC是每人的消费，）（tL是经济体中的总人口，H 是经济中的家庭数，为贴现率。2.2 厂商与家庭的行为厂商与家庭的行为 厂商：厂商：真实利息率为）（）,（）（tkfKALKFtr=（2.3）真实工资率为）（）（）（）（）,（）（tkftktkftALALKFtW=（2.4）每有效劳力（effective labor）的工资为）（）（）（）（）（）（tkftktkftAtWtw=（2.5）
5、家庭的预算约束：家庭的预算约束：=+0）（0）（）（）（）0（）（）（ttRttRdtHtLtWeHKdtHtLtCe （2.6）其中=tdrtR0）（）（在时刻 s 家庭的资本拥有量为 =+=0）（）（）（）（）（）（）0（）（ttRsRsRdtHtLtCtWeHKeHsK （2.7）则家庭的预算约束又可写为 0）（lim）（HsKesRs （2.8）家庭的效用最大化：家庭的效用最大化：3 这里的推导用到了1）（）（=+ttKL 4 这种效用函数被称为 Constant-relative-risk-aversion（或 CRRA）效用函数 XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 5 设）（
6、tc为每有效劳力的消费，则每人的消费）（）（）（tctAtC=，则 （）=1）（）0（1）（）0（1）（）（1）（1111111tceAtceAtctAtCgtgt （2.9）将上式带入效用函数（2.1）得 （）=0111011）（）0（）0（）（1）（tntgttttdttceeeHLAdtHtLtCeU =011）（ttdttce （2.10）其中HLAB）0（）0（1，（）gn1 将（2.5）式除以HLA）0（）0（可得新的预算约束为 （）（）=+=+0）（0）（）（）0（）（ttgntRttgntRdtetwekdtetce （2.11）家庭的行为：家庭的行为：家庭选择）（tc的路径以
7、最大化在（2.11）约束下的效用（2.10）。建立 Lagrangian 函数如下求解最大化问题 =011）（ttdttceBL（）（）+=+=+0）（0）（）（）（）0（ttgntRttgntRdtetcedtetwek （2.12）由一阶条件可得5 （）tgntRteetcBetcL+=）（）（0）（2.13）对上式（2.13）取对数得 （）（）tgndrtgntRtctBt+=+=0）（ln）（ln）（lnln （2.14）将上式（2.14）左右两边对 t 求导得 （）gntrtctc+=）（）（）（&（2.15）即 gtrgntrtctc=）（）（）（）（&（2.16）5 这里采用的方
8、法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上简化成了我们这里使用的方法。XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 62.3 经济体的动态经济体的动态 c 的变化：c 的变化：由于所有的家庭都是一样的，故式（2.16）实际上显示了整个经济体的消费的变化。将利息的表达式（2.3）带入（2.16）得 gtkftctc=）（）（）（&（2.17）k 的变化：k 的变化：k 的变化应为实际投资减去持平投资（n+g）k （）（）（）（）（tkgntctkftk+=&（2.18）dc/dt=0dk/dt=0Ekck（0）k*E1E2saddle pathk*1贴现率下降政府
9、购买永久增加 图 2.1 k、c 的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响 经济的动态：经济的动态：经济的动态可由图 2.1 显示。令0=c&及0=k&可分别得到图中的竖线和弧线。图中的红色箭头显示了 c 与 k 的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力），由图中可见，消费只能取 k（0）线与鞍线交点处的值，否则经济体会要么资本趋向于零，要么消费趋向于零。最终，经济体会收敛到 E 点的平衡状态上，c 与 k 再也不发生变化，达到平衡增长路径。2.4 平衡增长路径平衡增长路径 福利福利:由于 Ramsey-Cass-Koopmans 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的均衡是帕累拖
10、有效的（Pareto-efficient）。平衡增长路径的特征平衡增长路径的特征 XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 7 当 Ramsey-Cass-Koopmans 模型收敛到 E 点时，模型的表现行为与 Solow 模型一致。每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以（n+g）的速率增长；人均的资本、产出和消费以 g 的速率增长。黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital）黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital）在 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长
11、路径是不可能的。由第一章的式（1.5）可知：gngnkfGR+=+=）（6 （2.19）将0=c&带入（2.17）式可得 gkf+=）（*（2.20）（2.20）式减去（2.19）式并带入（2.2）式中的假设得（）01）（）（*=gnkfkfGR （2.21）又）（f是减函数，故 GRkk，1 （3.1）其它假设有）,（ttttLAKFY=，（）11+=ttAgA，）（ttkfr=，）（）（ttttkfkkfw=每人在其生命的第一阶段挣钱并消费，在第二阶段消费其前一阶段剩余的财富及财富所得的利息。3.2 家庭的行为家庭的行为 出生于 t 的人的第二阶段的消费为 （）（）tttttCAwrC11
12、121+=+（3.2）即 tttttwACrC=+121111 （3.3）家庭要最大化其在（3.3）约束下的效用（3.1）+=+121111211111111tttttttCrCwACCL （3.4）一阶条件为 =ttCC110L （3.5）1121211110+=+=tttrCCL （3.6）解得 1111211+=+tttrCC （3.7）将上式（3.7）带入约束（3.3）得 （）（）（）（）ttttwArC+=11111111 （3.8）则收入中被存起来的比例为（）（）（）（）+=111111）（rrs （3.9）XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 9 则 ttttwArsC）（1
13、11+=（3.10）3.3 经济体的动态经济体的动态 k 的变化：tttttwALrsK）（11+=（3.11）将上式左右同除以11+ttLA得（）（）trtwrsgnk）（11111+=（3.12）再带入1+tr与tw的表达示得 （）（）（）（）（11111tttttkfkkfkfsgnk+=+（3.13）上式（3.13）表明了1+tk是tk的隐函数。当tk达到ttkk=+1时达到平衡状态，k 再不改变。对数效用函数与 Cobb-Douglas 生产函数 对数效用函数与 Cobb-Douglas 生产函数 设+=21）（1srs 设（）kwkkf=1）（则（）（）（）ttkgnk+=+121
14、1111 （3.14）在此简化条件下，经济体动态可由图 2.2 表示。XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 10k0k1k1k2k*Oldktkt+145贴现率下降政府购买的永久上升k*New1k*New2 图 2.2 k 的变化及贴现率和政府购买的影响 3.4 贴现率与政府购买的影响贴现率与政府购买的影响 如图 2.2 所示，贴现率的下降和政府购买的永久上升分别表现为曲线的上升和下降。4研发模型研发模型 4.1 分析框架与假设分析框架与假设 需要将研发（R&D）部门及技术的进步率内生如模型中。7 （）（）=1）（1）（）（1）（tLatAtKatYLK，10B，0，0 （4.2）（）（t
15、sYtK=&（4.3）（）（tnLtL=&，0n （4.4）7 在这个模型中有两个重要的简化。第一，研发部门和生产部门均为标准化的 Cobb-Douglas 生产函数；第二，储蓄率、投入研发部门的资本比例和劳力比例均外生且恒定，分别为 s、aK和 aL。XGs“高级宏观经济学（2e）”学习笔记 114.2 知识与资本的变化知识与资本的变化 将（4.1）带入（4.3）得 （）（）=111）（）（）（11）（tLtAtKaastKLK&（4.5）将上式除以 K（t），并设（）（）111LKKaasc得 =1）（）（）（）（）（）（tKtLtActKtKtgKK&（4.6）对上式求对数并对时间求导得 （）（）（1）（）（tgntgtgtgKAK+=&（4.7）同理，（4.2）除以 A（t），并设LKAaBac 1）（）（）（）（）（）（=tAtLtKctAtAtgAA&（4.8）求对数并对时间求
