1、1 和一定的两个数，差越小，积越大；2 积一定的两个数，差越小，和越小；3 两点之间线段最短例1 用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？分析题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢？练习1、（1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2 有5袋糖，其中任意3袋的总块数都超过60这5袋糖块总共最少有多少块？分析每3袋的总块数都超
2、过60，要求5袋的总块数事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？例3 用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式分析为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9的倍数，9的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2
3、、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式例4 把1至99依次写成一排，行成一个多位数：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？分析要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数请问：例5 邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？分析如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道，则这样走的总
4、路程就是最短的那么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题，同学们回想一下，什么样的图形才能一笔画出来呢？例6 如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来分析众所周知，两点之间线段最短然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？罐头装箱问题我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题，怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1
5、这样它是一种较优排法，但不是最优的办法没有最大限度地利用空间，浪费不少，圆的面积只占总共的78.5%比上述办法好得多的办法，是将罐头摆放成图2所示的六边形不难算出，正六边形内圆所覆盖的面积超过了90实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的，这种六边形摆放法是最紧密的包装方式但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的如图3，它的放法就不比图4好当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越倾向于正六边形排法比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了如图5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明
6、为最优解我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间最后，大家思考一个问题：设1角钱硬币的直径为a厘米，那么我们在边长为10a厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是100枚吗？能否放进去更多？作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式4. 把
7、21至40依次写成一排，行成一个多位数：5. 如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？例7 答案：294详解：长方体满足：厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为立方厘米例8 答案：103任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下4袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103块由于5袋糖果分别有21、21、21、20、20块，是符合要求的，所以103
8、就是最小值例9 答案：954873621每个数都是9的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9的倍数由于1到9总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18和9各位数字之和为9的数最大只能是621其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，个位取4和3，有最大乘积954872，故所求的乘法算式是954621例10 答案：最大为9999975859609899；最小是100000123450616263649899（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9首先，最开头的12345678这8
9、个数字是要去掉的，留下了第一个9；然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9；再去掉3次的19个数，使得剩下第3、4、5个9现在已经去掉了一共8+194=84个数，剩下的数前5个数字都是9，然后是50515253545556575859一直写到9899，还能再去掉15个数但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8要去掉17个数，到下一个7要去掉15个数，于是最后结果的第6个数字最大是7，应该去掉的15个数字为505152535455565所以剩下的数最大为9999975859609899（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0首位上的1
10、取第一个数字1就行了然后去掉234567891共9个数，留下第一个0；再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0；再去掉3次的19个数，就能得到第3、4、5个0现在一共去掉了个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859一直写到9899，还能再去掉14个数下一位取不到0了，只能去掉一个5，留下1；再下一位连1都取不到，只能去掉1个5，取2；再去掉一个5，留下3；去掉一个5，留下4现在还能再去掉10个数字，而剩下的是55565758596061，接下来11个数中最小的数是5，所以取一个5然后剩下的数前11个数字为556
11、57585960，因而我们去掉10个数字5565758596，使下一位达到最小数字0所以最后剩下的数最小是100000123450616263649899例11 答案：26如图1，由于的A、B两点连出的边是3条，也就是奇数条，仅当A与B为出发点和终点时，才能一笔画我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局，他至少应该多走1千米街道，最小是26千米在图2中，我们给出了邮递员走26千米走遍所有街道的一种方法 例12 答案：最短的长度是5；4为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3蚂蚁要从A处爬到B处，途中必须经过两个相邻的面，两个相邻面的交线必是EH
12、、HF、FG、GC、CD、DE六条线段中的一条一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG、DE的情形为一类，交线是HE、GC的情形为一类，交线是FH、DC的情形为一类情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH，那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图4这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线，它恰好直角三角形ABC的斜边由于，因此情况2：如果两相邻面的交线是GC同样我们也可以沿着GC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图5此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边由于情况3：如
13、果两相邻面的交线是DC同样我们也可以沿着DC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图6此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长而AG的长度是，所以AB一定大于6其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同所以爬行路线长度最少是5，（1）和（2）的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线把展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图7）因此在长方体表面，从A到B的最短路线的长度是5，一共有4条满足要求练习1、答案：576简答： 练习2、答案：834总积分最少是，此时5人分数可以是166、167、167、167、167练习3、答案：6425316和5分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是3的倍数，可得到乘积最大的算式练习4、答案：95617181920；10111111110同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性6. 答案：10007. 答案：17必有两人的勋章数都不多于4块，余下两人勋章数之和不多于9块，因而最多只能有块8. 答案：首位要尽量大，取8和7，次位也尽量大，取6和5，然后是十位要尽量大，从4和3里取也就是前三位分别取853和764能使乘积最大但还要保证都是3的倍数，故只能是8532和7641，所求的乘法算式是9. 答案：93333334353637383940；1
