1、考研数学高数真题分类微分方程一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导教师为考生准备了【高等数学-微分方程知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间与各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。微分方程综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。这一局部在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等根本概念，可别离变量方程的求解，齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求
2、解，高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此根底上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何与物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.常考题型一：一阶方程的求解1可别离变量方程1.【2006-1 4分】微分方程的通解是2.【2008-1 4分】微分方程满足条件的解是3.【1998-2 3分】函
3、数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，如此等于4.【1994-23分】微分方程的通解为5.【2001-23分】微分方程满足=0的特解为 6.【2005-3 4分】微分方程满足初始条件的特解为 .7.【2008-2 10分】设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解. 求.【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成就得到微分方程的通解.8.【2007-3 4分】微分方程满足的特解为_.9.【1996-3 6分】求微分方程的通解.10.【1993-1 5分】求微分方程满足初始条件的特解11.【1997-2 5分】求微分方程的通解.12.【1999-27分】求初始问题的解.13【2014-1 4分】
4、微分方程满足的解为【小结】：如果一阶微分方程中的函数可以写成的形式，如此称该方程为齐次方程.对于齐次方程，我们引入新函数，如此.由一元函数微分学的知识，可知.代入原方程可得，整理得.如此原方程就被化为了可别离变量的方程，求解该方程得到未知函数，再由就可以得到未知函数的表达式.齐次方程是通过变量代换化为可别离变量方程的。对方程作变量代换将其化作更为已经求解过的类型是解微分方程的一个非常重要的思想。这一点在考试大纲上虽没有明确要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它将对微分方程作变量代换的方法。14.【2012-24分】微分方程满足初始条件的解为_。15.【2004-23分】微分方程满足的特
5、解为.16.【2005-2 4分】微分方程满足的解为_ .17.【2008-2 4分】微分方程的通解是.18.【1992-1 3分】微分方程的通解为19.【2011-1 4 分】微分方程满足条件的解_.20.【1992-2 5分】求微分方程的解21.【1993-2 5分】求微分方程满足初始条件的特解.22.【1995-28分】设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解.23.【1996-2 8分】设为连续函数,(1) 求初值问题的解,其中为正的常数；(2) 假如(为常数),证明：当时,有.24.【1999-3 6分】设有微分方程，其中试求，在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足
6、条件.25.【2012-2，3 10分】函数满足方程与.1求表达式2求曲线的拐点【小结】：方程称为一阶线性微分方程.我们常用常数变易法来求解，具体步骤如下：先令得到相应的齐次线性方程，这是一个可别离变量方程：，两边积分可得，也即将中的常数换为未知函数，得到，再将代入原微分方程.如此有： 整理得. 两端积分得.再将代回就得到2、考试在微分方程这一处对考生的要求可以分为“识别和“求解两方面：由于考试给的方程往往不是我们所熟知的标准形式，因此考生在拿到一个方程之后所需要做的第一件事就是给它归类，识别出它的类型，这要求我们对各种微分方程的具体形式与其变形比拟熟悉；锁定了方程的类型之后，就可以按照相应的
7、求解步骤求解了，求解过程中主要需要用到不定积分的计算.4.全微分方程*数一26.【1994-1 9分】设具有二阶连续导数，且为一全微分方程，求与此全微分方程的通解【小结】：全微分方程的求解与多元函数积分学中求二元函数全微分的原函数实质上是一样的，其求解方法主要有三种：特殊路径积分法：；不定积分法：由得，再对求导得，由该方程可解得。凑微分法：常考题型二：可降阶的高阶方程的求解*数一、数二27.【2000-1 3 分】微分方程的通解为.28.【2002-1 3 分】微分方程满足初始条件，的特解为.29.【2007-2 10分】求微分方程满足初始条件的特解.【小结】：可降阶的高阶微分方程主要有两种，
8、其形式和求解过程如下1型的方程作变量代换，如此有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，如此积分可以得到.2型的方程作变量代换，如此有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，如此积分可以得到.常考题型三：二阶线性微分方程30.【2010-2 4分】设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 假如常数使是该方程的解，是对应的齐次方程的解, 如此. . . . 31.【2006-3 4分】设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，如此该方程的通解是. . . 32.【2011-2 4分】微分方程的特解形式为( ) 33.【
9、2015-1 4分】设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，如此( )34.【1997-2 5分】是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.35.【2013-1 4分】，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为36.【2013-2 4分】，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为37.【2015-3 4分】设函数是微分方程的解，且在处取得极值，如此38.【2012-1 4分】假如函数满足方程与，如此=_39.【2004-24分】微分方程的特解形式可设为.40.【2006-2 4分】函数满足的一个微分方程是() 41.【1995-23分】微分方程
10、的通解为_.42.【1996-23分】微分方程的通解为_.43.【1996-1 3分】微分方程的通解为_.44.【1999-1 3分】的通解为45.【2007-1 4分】二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.46.【2009-1 4分】假如二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，如此非齐次方程满足条件的解为47.【2001-1 3分】设为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，如此该方程为.48.【1992-1 6分】求微分方程的通解49.【2010-1 10分】求微分方程的通解.50.【1992-29分】求微分方程的解51.【1993-29分】设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数
11、，并求该方程的通解52.【1994-29分】求微分方程的通解，其中常数53.【1996-25分】求微分方程的通解.54.【2000-3 6分】求微分方程满足条件的解.55.【1998-25分】利用代换将方程化简，并求出原方程的通解.56.【2003-212分】设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.(1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.57.【2010-2 10分】设函数由参数方程所确定,其中具有2阶导数,且求函数.58.【2005-212分】用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.59.【1994-1 5分】设函数满足条件，求广义积分6
12、0.【2013-3 4分】微分方程通解为_。61.【2008-12 4分】在如下微分方程中，以为任意常数为通解的是 . . .62.【2000-23分】具有特解，的3阶常系数齐次线性微分方程是63.【2010-24分】求3阶常系数线性齐次微分方程的通解.常考题型四：含有变限积分的方程64.【1995-3 6分】连续函数满足条件，求.65.【1997-1、3 6分】设函数在上连续，且满足方程，求.66.【2000-2 8分】函数在上可导，且满足等式(1)求导数；(2)证明：当时，成立不等式成立67.【2007-2 10分】设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.【小结】：1.求解
13、积分方程的一般思想是通过求导消去积分号，将微分方程化为积分方程。很多时候，在求导之前还往往需要对方程做一些变形。2.积分方程的定解条件一般是蕴含在方程中的，所以不需要额外的定解条件。常考题型五：欧拉方程的求解*数一68.【2004-1 4分】欧拉方程的通解为. _ 【小结】：形如称为欧拉方程.令如此有，.以此类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程.常考题型六：差分方程*数三69.【2001-3 3分】某公司每年的工资总额比上一年增加的根底上再追加百万。假如以表示第年的工资总额单位：百万元，如此满足的差分方程是70.【1998-3 3分】差分方程的通解为_.71.【1997-3
14、 3分】差分方程的通解为_.常考题型七：微分方程的应用72.【1997-1 7分】设函数具有二阶连续导数，而满足，求.73【2014-1、2 、3 10分】设函数具有二阶连续导数，满足假如，求的表达式74.【2006-2 12分】设函数在内具有二阶导数，且满足等式(I)验证.(II)假如求函数的表达式.75.【1995-1 7分】设曲线位于平面的第一象限内，上任一点处的切线与轴总相交，交点记为.，且过点，求的方程.76.【1996-1 7分】设对任意，曲线上点处切线在轴上的截距等于，求的一般表达式.77.【1998-2 8分】设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.78.【2000-2 7分】某湖泊的水量为，每年排入湖泊内污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为.1999年年底湖中的含量为，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至少需经过多少年，湖泊中污染物的含量可降至以内？注：设湖水中的浓度是均匀的.79.【2001-2 7分】设函数满足，且，求.80.【2001-2 9分】设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点(1) 试求曲线的方程(2) 求位于第一象限局部的一条切线，使该切线与以与
