1、专题七 二次函数综合题的解题思路一、方法简述二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何, 其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐
2、标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般
3、首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用. 随着对课程标准基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势因此 培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径二、解题策略二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思
4、想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。三、典例分析例2已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点，其中（1，0），（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上运动（点异于点）如图1，当的面积和面积相等时，求点的坐标；如图2，当时，求直线CP的解析式解：（1）抛物线的解析式为（2）(2,1), ， ， 设直线的解析式为解法1：作轴，垂足为如图2-1，由已知易得，又，设，则，将其代入抛物线解析式得或（舍去）. ，直线的解析式为.解法2：过
5、作轴，过作轴，交于.易证: ,求得 分析：以上两种方法通过构造两个直角三角形相似去求直线CP上另一点解法3：如图2-2，延长交轴于点.设，则 又 直线的解析式为，即直线的解析式为.分析：延长交轴于点，通过构造两个直角三角形相似去求直线CP上另一点解法4：如图2-3，过点作轴的垂线，交于点. 又， 点的坐标为 解法5：如图2-3，作点关于的对称点，则点在直线上，连接，则. , ，点的坐标为解法6：作轴交于，作轴交于，可得四边形是正方形，由此得到 ,可求 (3，-2 )分析：以上三种方法本质是通过点作轴的垂线交于点，从而构造两个直角三角形全等去求直线CP上另一点（3，-2）解法7：如图2-4，过点
6、作轴的垂线交于点，交于点.则 ，又 又， 解法8：过点、分别作轴、轴的平行线相交于点，交于点，如图2-5， ， , ， ，又 , 分析：以上两种方法是通过点作轴的垂线交于点，从而构造两个三角形相似去求另一点.解法9：过点作/交于点，作，垂足为,连接如图2-6.则 又， .设，则 得，分析：以上方法是通过点作/交于点，从而构造两个三角形相似去求另一点解法10：过点作/交的延长线于点，作轴，垂足为，如图2-7. 又 ，分析：以上方法是通过点作/交的延长线于点，从而构造两个三角形全等去求另一点。解法11：如图2-8，过点作/交轴于点.设，则又又， 设直线的解析式为直线过点，直线的解析式为，直线的解析
7、式为.四、强化训练1.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标是(，)，顶点为点，抛物线的对称轴与轴相交于，连接.（1）求的值；（2）求的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点、点重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由ACxy
8、BO3.如图，抛物线经过（，）、（，）两点，与轴的另一个交点为，点（，）是线段AB上的一个动点，过点的直线轴，与抛物线相交于点.（1）求、的值；（2）求线段长度的最大值；（3）当的长度取最大值时，在抛物线上是否存在、两点（点的横坐标小于点的横坐标），使得以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由。4.如图，抛物线经过(，)、(，)两点，对称轴为直线，点为顶点，抛物线与轴的另一交点为，连接交对称轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）点为直线的下方，抛物线上的一个动点（点与、不重合），过作轴的平行线交于点.若点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；x=1yxO
9、FEPDCBA在的情况下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.5.（1）如图1，是抛物线上的一个动点，、两点都在抛物线上，且、三点都在第二象限，轴，轴,是轴上的一个动点.连接、求证：与面积相等；连接，当的面积为6时，求:的最大值及此时点的坐标；（2）抛物线(1)、如图2所示，是抛物线(1)上的一个动点， 点的横坐标为(0), 、两点都在抛物线上，轴，轴,当是等腰三角形时，试用的代数式表示.6.如图1，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为 (，)；矩形的顶点与点重合，、分别在轴、轴上，且，.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形
10、以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动，设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图2所示）. 当时，判断点是否在直线上，并说明理由；图2BCOADEMyxPN图1BCO(A)DEMyx 设以、为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由7. 已知：二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段、的长（）是方程的两个根，且点坐标为（，）（1）求此二次函数的表达式；（2）若点是线段上的一个动点（与点、点不重合），过点作交于点，连接，设的
11、长为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明是否存在最大值，若存在，请求出的最大值，并求出此时点的坐标，判断此时的形状；若不存在，请说明理由8.已知抛物线的顶点是(，) (，为常数)，并经过点(，)，点（，）为一定点.(1)求含有常数的抛物线的解析式；(2)设点是抛物线任意一点，过作轴，垂足是，求证：；(3)设过原点的直线与抛物线在第一象限相交于、两点，若，且，求的值.9.如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，为轴下方，抛物线上的一个动点（点不与点、重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的
12、坐标；若不存在，请说明理由.910.如图，抛物线：与轴的交点为、，与轴的交点为，顶点为,将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线,它的顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与轴的另一个交点为，点是线段上一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接.如果点的坐标为(，)，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为，以为圆心，、两点间的距离为直径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由.11.如图，已知抛物线经过 (，)、(，)两点(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值及点的坐标；(3) 如图，若点在抛物线上，且，则在(2)的条件下，求出所有满足的点的坐标(点、分别与点、对应)12.已知二次函数的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，其顶点横坐标为，且经过（，）、（， ）两点.（1）求此二次函数的解析式；（2）若直线：与线段交于点（不与、重合），则是否存在这样的直
