1、张老师工作室 第1讲 梅涅劳斯定理 塞瓦定理知识点一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 如果一条直线与的三边、或其延长线交于、点,那么这条直线叫的梅氏线,叫梅氏三角形证明如图1-1,若一直线与的三边、或其延长线交于、点求证: 证法一:如图1-2,过作,证法二:如图1-3,过作交的延长线于,三式相乘即得: 梅涅劳斯定理的逆定理 若、分别是的三边、或其延长线的三点,如果 ,则、三点共线知识点二、塞瓦定理塞瓦定理 如果的三个顶点与一点的连线、交对边或其延长线于、,如图1-4,那么通常称点为的塞瓦点证明直线、分别是、的梅氏线, ,两式相乘即可得:塞瓦定理的逆定理 如果点、分别在的边、上或其延长线上,并且,那么
2、、相交于一点(或平行)证明 若与相交于一点时,如图1-5,作直线交于由塞瓦定理得:,又已知,与重合与重合、相交于一点 若与所在直线不相交,则,如图1-6,又已知,即,【例 1】 已知中,为中线,过点任作一直线交于,交于,如图1-7,求证:.【分析】直线FEC是的梅氏线, 而,即 【例 2】 (2003年深圳市中考题)如图1-8,直线,则是 ( )A5:2 B4:1 C2:1 D3:2 【分析】截的三边、或其延长线于、三点,即【例 3】 如图1-9,中,为中点,求证:【分析】直线是的梅氏线,直线是的梅氏线,【例 4】 如图1-10-1,中,交于求 【分析】过作交于,交于,如图1-10-2可得:,
3、且直线是的梅氏线,【例 5】如图1-11,平行四边形的对角线相交于点,在的延长线上任取一点,连接交于点 若,求的长【分析】截的三边、或其延长线于、三点在平行四边形中,即,即,【例 6】 如图1-12,、分别为的、边上的点,且,、交于,的延长线交于求的值【分析】为的塞瓦点,为的梅氏线,【例 7】 在梯形中,、交于,、的延长线交于,过作交于,交于,求证:、三线共点【分析】设直线交于,由已知可得,由为的塞瓦点可得:同理可得:,、三线共点【例 8】 已知:、为的高。求证:直线、三线共点若上述一点叫,当点在线段内上下移动时,过点的线段、也随之运动.求证:上述运动过程中与总相等【分析】 由,得,同理,三式相乘得,、三高所在直线共点 如图1-14-2,过作交、延长线于、是的塞瓦点,= 1. 如图,已知:,求证: 【分析】是的梅氏线,又 2. 如图,中,为的中点,求 【分析】是的梅氏线,为的中点,是的梅氏线, 3. 经过的重心的直线交、分别于、,交的延长线于求证: 【分析】作直线交于,同理,而 4. 如果梯形的两腰、的延长线交于,两条对角线交于求证:直线必平分两底【分析】 (由塞瓦定理得),扫一扫:关注奥利奥张老师数学 张老师微信公众号: zhangtian027 微信个人号:zhangtian9999