1、GE与HF的交点在直线AC上跟踪训练1如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点求证：O、M、A1三点共线证明OAC，AC平面ACC1A1，O平面ACC1A1.MAC1，AC1平面ACC1A1.M平面ACC1A1.又已知A1平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面AB1D上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线题型二空间中的平行问题1判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面平行的判定定理（a，
2、b，aba）；（3）利用面面平行的性质定理（，aa）；（4）利用面面平行的性质（，a，aa）2证明面面平行的方法： （1）利用面面平行的定义； （2）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； （5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，（1）GE平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H.证明（1）取B1D1中点O，连接GO
3、，OB，易证OGB1C1，BEB1C1，OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形OBGE.OB 平面BDD1B1，GE 平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.（2）由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.跟踪训练2如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点.平面DMN平面ABC. 证明M、N分别是EA与EC的中点，MNAC，又AC平面A
4、BC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，四边形BDEC为直角梯形，N为EC中点，EC2BD，NC綊BD，四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN平面DMN平面ABC.题型三空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法：（1）判定线线垂直的方法： 计算所成的角为90（包括平面角和异面直线所成的角）； 线面垂直的性质（若a，b，则ab）（2）判定线面垂直的方法： 线面垂直定义（一般不易验证任意性）； 线面垂直的判定定理（ab，ac，b，c，bcMa）； 平行线垂直平面的传递性质（ab，ba）； 面面垂直的性质（
5、，l，a，ala）； 面面平行的性质（a，a）； 面面垂直的性质（l，l）（3）面面垂直的判定方法： 根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90）； 面面垂直的判定定理（a，a）例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点（1）平面ADE平面BCC1B1； （2）直线A1F平面ADE.证明（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以
6、平面ADE平面BCC1B1.（2）因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC，等边ADB以AB为轴运动（1）当平面ADB平面ABC时，求CD；（2）当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解（1）取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是
7、等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE，由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2. （2）当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明如下：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由（1）知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.题型四空间角问题1求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）2求直线与平面所成的角常用射影转化法（
8、即作垂线、找射影）3二面角的平面角的作法常有三种： （1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法例4在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.（1）求证：BD平面AED；（2）求二面角FBDC的余弦值（1）证明:因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.（2）解:如图，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CBCD，因此CGBD.又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCB
9、D.由于FCCGC，FC，CG平面FCG，所以BD平面FCG故BDFG，所以FGC为二面角FBDC的平面角在等腰三角形BCD中，由于BCD120因此CGCB.又CBCF，所以GFCG，故cosFGC因此二面角FBDC的余弦值为跟踪训练4如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：（1）AO与AC所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数解（1）ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.AB平面BC，OC平面BC，OCAB，又OCBO，ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOACOAC30即AO与AC所成角的度数为30（2）如图，作OEBC于E，连接AE. 平面BC平面ABCD，OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AEtanOAE（3）OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为901平行问题的转化关系2直线与平面平行的主要判定方法（2）判定定理；（3）面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法（3）推论；（4）a，a.
