1、白天，成群结队地到处寻找可以猎取的鸟兽，采集能够充饥的浆果、根茎和谷粒。这种生活是毫无保障的，常常是饥一顿、饱一顿。 在他们的财物中，除了御寒的兽皮、狩猎的武器、盛水的东西，也许还有熊牙或贝壳做的项链。他们的生活这么简单，当然不需要更多的数学知识，就是那种简单的手指计数，也用得很少。 狩猎和采集的生活，更需要识别方向和区分季节的知识。有了区分季节的知识，就可以知道远处树林里的果实什么时候成熟；有了识别方向的知识，就能够确定怎么去、又怎么回来。这些知识，是在漫长的年代里，不断积累和丰富起来的。 在一个熟悉的地区漫游生活，山脉、湖泊、河流就能当作指示方向的路标。可是，原始人很难在一个地方长期定居。
2、树林里的浆果和块茎，过一段时间就被吃光了；飞禽和走兽，为了躲避人们经常的袭击，也逃到别的地方去了；特别是发生干旱的时候，人们不得不赶快离开熟悉的地方，去寻找新的水源。在完全陌生的环境里，指示方向的只有日月和星辰了。 太阳是最方便的路标。海边部落的人们发现：太阳每天早上从波涛中升起，晚上落到山岗的后面去。他们就记住：初升的红日指示着大海的方向；正在下落的夕阳指示着山岗的方向。 晚上，用星辰来确定方向很可靠。我们不妨想象一下那时候的情景：夜幕降临，人们在洞口或者土室、窝棚前点起一堆堆篝火，大家围坐在篝火旁边。他们抬头凝视那神奇的天空繁星点点，深不可测。经过了不知多少个夜晚的观察，他们发现：一些星群
3、组成的简单形状，每天晚上都能辨认出来，而且总是在天空的一定位置上，沿着一定的方向，缓慢地移动着。 在北边的天空上，有一组最引人注目的星群，这就是我们现在说的北斗七星。北斗七星属于大熊星座，把这个星座比较亮的星合起来看，有点像一只大熊。斗头上的四颗像是大熊身体的后部，斗柄的三颗像是大熊的尾巴。 离北斗七星不太远的地方，还有一颗相当亮的星，那就是有名的北极星。它年年月月，总是出现在一定的地方，几百年也很少变化，好像钉在那里不动似的。天长日久，我们的祖先就懂得了北极星是一个非常理想的路标！他们在长途跋涉中需要确定方向的时候，就等到夜幕降临，在繁星闪烁的天空，先找到北斗星，把斗顶两颗连成一条直线，再朝
4、着斗口的方向，把这条直线延长五倍的位置，在那个位置上就看到一颗比较亮的星，这就是北极星。找到了北极星，其他的方向就很容易确定了。 日月星辰不只是人类最早的路标，还是人类最早的时钟。生活在热带北部的原始狩猎者，早晨总是看到在阳光下，东西的影子长长地向西指着；中午太阳升到最高点的时候，影子就很短，甚至看不到了；当太阳向西下落的时候，影子又长了，并且不断地向东面伸长。这样，由影子的长短变化，他们就能够大体估量出白天的时间了。 夜晚，他们发现圆月在空中最高点的时候，恰好是半夜。经过长久的观察，他们还可以根据一些星群的位置变化，判断夜间的时间。 要知道比一天更长的时间，想来我们的祖先一定是依靠月亮。一夜
5、接一夜，他们看到月亮慢慢地由圆到缺，最后全看不见了。过了几个漆黑的夜晚，月牙又重新出现，并且慢侵地又变成圆月。 当圆月升起的时候，一个部落来到一片树林边。林子的枝头上挂满了果实，可是还没有成熟。部落中有经验的长者说话了：现在别搞这些果子，等下次月亮再圆的时候咱们回来，这些呆子就好吃啦！于是，大家又赶到更远的地方去寻找食物。他们必须按时回来摘取成熟的果实，这就需要计算天数了。 对原始采集者来说，数天数是一个大难题。可不是嘛！时间一去不复返，数天数不能象数死鹿那样，把它们摆成一排，扳起指头去数。开始，他们很可能是在树上或者在棍棒和石头上刻上一道痕，表示过去了一天，刻上两道痕，表示过去了两天。久而久
6、之，他们发现，两次满月之间总是相隔三十天，并且用一道大点儿的刻痕来表示一次满月。 月复一月，年复一年，他们逐渐察觉到满月的次数和气候的变化有关系。他们惊奇地发现：春、夏、秋、冬四季往复一次，恰好是十二次满月的天数三百六十天。于是第一个包括四季的月历产生了。 我们的祖先，就是这样开始有了数数和观察图形的数学知识。 一万多年前，随着经验的丰富、知识的增长和工具的改进，人类逐渐开创了崭新的生活，这就是学会了种植和饲养！ 在回到过去居住过的地方的时候，我们的祖先常常发现，上次被他们无意撒落的谷粒，现在已经发芽生长；被遗弃的小动物也长大了。慢慢地，他们学会了种植植物，饲养动物。从此，他们不再四处飘流，靠
7、采摘野菜和浆果生活，而是播种和收获自己的大麦、小麦和谷子，还有豌豆、扁豆和胡萝卜。在忠实的伙伴狗的帮助下，他们驯养着羊、猪和牛。原始的采集者和狩猎者，开始变成了农民和牧民！ 定居生活以后，人们的财物越来越多，这就需要经常记录和计算耕具、土地、篱笆、庄稼和畜群了。最早的记录方法，就是前面说到的，用一个记号表示一件东西、两个记号表示两件东西，叫做“签法”。在秘鲁，印加人用在绳子上打结来记下收获谷物的捆数。在我国，也有结绳记数的古老传说。直到今天，在欧洲、亚洲和非洲的部分地区，还有一些牧羊人用在棍子上刻痕的办法，来计算自己的羊群哩！ 从事农牧业以后，人们必须准确地预计生羔、产犊和播种、收获的时间，先
8、前的简陋月历，显然是不够用了。要是用三百六十天的月历来推算季节，头一年差五天，第二年就会差十天，年数多了，就乱套了。这样，编制精确的日历，就成为一件非常重要的事情。 记录财物和编制日历，促使人们发展书写的数字。 我们今天知道的最早的书写数字，产生在五千年前的埃及和美索不达米亚。埃及人是把数字写在一种纸草上，美索不达米亚的巴比伦人是把数字写在软粘土上，他们都是用单划表示个位数，用不同的记号表示十位数和更高位的数。三千年后，罗马人照样采用单划组成一到四的数字，并且至今还有人在用哩！ 在我国殷代的甲骨文字中，就有很多是数字。殷代人已经能用成文数字记录十万以内的自然数。在他们的数字中，头四个字，即一、
9、二、三、四，也是由单划组成的。下页图，是殷甲骨文、周秦金文、汉朝时候用的数字和现代汉语中的数字，我们从中可以看出它们之间的演变情况。 在早期的数字系统中，最引起人们兴趣的，是美洲中部马雅人的数字。马雅人与欧洲、亚洲和非洲的文化完全隔绝。他们只用三个符号点、横和椭圆，就可以写出任何自然数。用点和横可以从一写到十九；在任何数下面加上一个椭圆，就是那个数放大二十倍。但是，在计算时间的时候，他们调整了记数规则：加第二个椭圆的时候，表示乘上十八，而不是二十。马雅人所以做出这样一条规定，大概是原始狩猎者的月历是三百六十天的原故。 那时候，马雅人也使用三百六十五天的太阳历，一年被分成十八个月，每个月二十天，
10、另外加上五天作为禁忌日。他们通常在石柱上刻出人面形的独特数码记录日期。 非洲东北部有一条举世闻名的大河尼罗河。它穿过非洲北部的撒哈拉大沙漠，流入地中海，两岸狭长地带便成了肥沃的绿洲。河的下游流经的地方，孕育了最古老文明之一的埃及。 尼罗河三角洲一带盛产一种水草，名叫纸草。古埃及人把纸草的茎一层一层地撕成薄片，再一张一张地粘起来，就成了写字用的纸。有不少古埃及纸草纸一直被保留到今天，成为我们考察埃及历史文化的珍贵材料。 埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字。保存下来的最早记录数学知识的纸草纸现在珍藏在英国大英博物馆。写这份纸草纸的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年间的阿摩斯。据他说，纸
11、草纸上的内容，又是他从公元前两千二百年以前的旧卷子上转录下来的。在这份纸草纸上，记载了一些分数和算术四则运算的说明，还有关于测量的规则。 古埃及的皇帝叫做“法老”，著名的金字塔就是法老的坟墓。今天，在尼罗河三角洲南面，散布着七十多座金字塔。齐阿普斯皇帝的金字塔是其中规模最大的一座：塔高一百四十六点五米；塔基每面长约二百四十米，绕塔一周约一公里；塔内有甬道、石阶、墓室等。这座金字塔是在公元前两千八百年建成的，在一八八九年巴黎埃菲尔铁塔建成以前的四千六百多年间，它一直是世界上最高的建筑物。这确实是了不起的奇迹！古埃及人在建造这些巨大建筑物的过程中，积累了丰富的几何学知识。 我们设想，在建造金字塔之
12、前，一定得先画出一张平面图。估计这张图是画在粘土板上的，它大概就是世界上的第一张平面图了。分析起来，制图人肯定知道，图样和竣工后的建筑物，尺寸尽管可以不同，形状却是一样的。由此可以判断，当时的埃及人已经掌握了比例和相似形的知识。 画出平面图后，应该平出一大片空地，在地上放出实际尺寸，准备动工。建筑材料都是几吨重的大石块，一座金字塔要用许多这样的石块。那时候还没有发明车辆，也没有像样的道路，只能用船沿着尼罗河把石头运到尽量靠近的地方，再用滚木把它们运到工地。每块石头都得事先按一定的形状凿好、磨平。石块的每个角，都要用丁字尺或者三角板反复校正成直角。接着，铺设庞大的石头层作地基。第二层要按一定的比
13、例小一些，并且使每一层正好放在下面一层的中间。这样一层一层往上加，四面相等地缩小，最后准确地在塔尖会合在一点。 一座金字塔，要用几十万人和几百万块巨石，在几十年的时间内才能建成，能够不出差错，你看古埃及人在设计、计算、测量和施工方面该有多么高明！ 怎样准确画出直角，很可能是古埃及人要解决的最大难题。因为金字塔的地基必须严格地成为正方形，四个角就必须是严格的直角；不管是哪一个角有微小的偏差，都会使整个建筑物走形。那时候还没有发明测量仪器，要做出周长一公里那么大的正方形，实在不简单! 他们很可能是这样来解决这个问题的：先在地上打进两个木桩，然后绷紧木桩间的绳子，这样就画出一条直线，成为金字塔的一条
14、边线。然后，在两个木桩上各系上一条绳子，绳子的长度要超过两个木桩距离的一半。拉紧绳子的末端，以木桩为原点转动，画出两条相交的圆弧来。过这两条圆弧的交点，画出另一条直线，和头一条直线相交，夹角就是准确的直角。这后一条直线，就是地基的另一条边线。 那么，要检查墙壁或者巨石的一面是否直立，怎样在空中做出直角来呢？古埃及人巧妙地使用了锤准线。这个方法直到今天还在使用着。锤准线自由摆动，在空中画出圆弧，当它停下来的时候就与地面成直角。要是墙壁能和锤准线平行，它就和地面垂直。 现在，我们都知道画直角的简便方法是使用直角三角板。但是，这必须首先做出一个直角三角形来。 古埃及人使用绳子丈量土地。职业结绳者的工
15、作就是在测量用的绳子上打出等间隔的绳结。可能就是他们最先发现了某些长度一定的三条绳子所组成的三角形，其最长边所对应的那个角是直角。其中一种是由3个、4个、5个等间隔的绳结长度组成的；另一种取5个、12个、13个等间隔的绳结长度。把窄木条锯成这样的长度，首尾相接，就做成一个直角三角板。有了这种三角板，以后的测量和画图就方便了。 农民在盖自己住的小屋的时候可以说：“我这个屋子六步长，四步宽，屋顶比我脑袋高一柞”。设计大型建筑金字塔可不能这样。因为工人成千上万，每个人的步和柞都不一样。于是，他们就规定出以某一个人据说是当时国王身体的某一部分的长短，作为标准单位；再按这个标准单位，制作一定长度的木头条
16、或者金属条，作为大家通用的度量工具。这就是最早的尺子。 在埃及，主要的长度单位是腕尺，它是自肘到中指尖的长度。小一些的单位有：掌尺，它等于七分之一腕尺；指尺，它等于四分之一掌尺。因为那时候的埃及人理解分数的意义非常费劲，所以这些小单位很有用。今天，人们熟悉分数了，但是在习惯上，大家一样喜欢用小单位。比如英国人和美国人总是说七英寸，不肯说十二分之七英尺。在我国，有说半尺的，但是谁也不说十分之五尺。 每年收获季节，埃及的僧侣都要向农民征收赋税。农民主要是上交自己的农产品，这就需要标准重量单位来称量谷子、油、酒等；而捐税的多少，又是按土地的多少来定的，这又需要丈量和计算土地面积了。 求面积的方法，最
17、初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现：一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖（33）；另一块地面，三砖长、五砖宽，就需要铺十五块砖（35）。这样，计算正方形和长方形的面积，只消用长乘以宽就行了。 但是问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像那儿都是边，那儿也有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。怎样才能求出三角形的面积呢？其实，一旦掌握了长方形和正方形面积的求法，三角形面积也就不难求了。 一块正方形的麻布，可以折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积，恰好是正方形面积的一半。估计古埃及人正是从这类简单的线索中，学会了求三角形面积的方法
18、：长乘宽，再除以二。 测量土地的工作，想来是十分繁重的。因为埃及的土地主要分布在尼罗河沿岸，每年七月中旬，河水开始泛滥，淹没大量土地，一直到十一月才开始退落。洪水退去后，田野里留下一层肥沃的淤泥，帮助农民获得好收成；可是洪水把地界冲掉了，年年都得重新测量土地。因此，人们常把几何学起源于埃及的原因，归功于尼罗河水的泛滥。 在大量的测量工作中，埃及人当然会碰到“圆”这类难办的图形。他们感到难办的地方，是无法把圆分成许多块三角形，而每一块都是由三条直线组成的标准三角形。因此，古埃及人认为圆是天赐予人们的神圣图形。今天，我们都很熟悉圆，天天和圆打交道，可是要认识和掌握好圆的性质也不容易。 实践出真知。
19、早期的埃及人，一定是用绳子绕木桩的方法来画圆。他们从长绳子画出来的圆大，短绳子画出来的圆小，知道了圆面积的大小，是由圆周到圆心的距离来决定的。这就是我们常说的半径。 到了三千五百年前左右，当金字塔已成为古迹的时候，一个叫阿赫美斯的埃及文书，写出了一条这样的法则：圆的面积，非常接近于半径为边的正方形面积的三又七分之一倍。这在当时是很了不起的发现！ 阿赫美斯是怎样得到这个求圆面积的方法的，我们恐怕永远弄不清楚，只能猜想他大概还是用划三角形的方法。现在，他的纸草纸手稿装在精致的镜框里，悬挂在伦敦大英博物馆里。 分散在世界各地博物馆中的纸草纸手稿，虽然能帮助我们了解古埃及的数学，不过现有的大部分资料，
20、还是从考察尼罗河畔的古建筑得来的。 有的金字塔，四面准确地对着东西南北，可见古埃及人确定方向的本领很高明。他们可能是根据一个高大的石柱阴影，来确定东西南北的。 有一座大庙的遗址，至今屹立着一排柱子。在一年三百六十五天中，只有夏至这一天早晨的阳光，能沿着这一排柱子照射进去。数一数太阳光两次正好沿着这行柱子照进庙堂的天数，这就是一年的长短。 在测定时间方面，埃及人也是根据日月星辰的位置和物影来确定的。不过，他们比原始狩猎者和采集者进步得多。早晨，原始人看到长长的物影，顶多只能说“时间还早啦!”埃及人有日规，看看有刻度的木条上的影子，就能说出“上午第二个时辰快到了！” 从此，人们有了真正的科学。不过
21、，古埃及留下来的许多图画，画的是上帝掌管日夜时辰的忙碌情景。看来他们是背着一个十分沉重的迷信包袱，在科学的道路上艰难地摸索着。 尼罗河三角洲以东，大约一千六百公里的地方，奔流着另外两条大河，一条叫底格里斯河，一条叫幼发拉底河。这两条河发源于今天的土耳其境内，流经叙利亚，在伊拉克南部汇合成阿拉伯河，最后流入波斯湾。两河之间和沿岸一带叫做美索不达米亚，是另一个最古老的文化发源地。 “美索不达米亚”一词是希腊语，意思是“两河中间的地方”。它西接阿拉伯沙漠，东邻扎格罗斯山脉。很早以前，人类就在那里生息繁殖，曾经建立了巴比伦等古国，并且创造了辉煌的美索不达米亚文化。 历史学家把这支古老的文化分为苏马连、
22、巴比伦、亚述和迦勒底四个时期。苏马连人是美索不达米亚文化的创始者，他们在五千年以前就有了象形文字。后来的巴比伦人和亚述人继承和发展了苏马连文化，使得美索不达米亚在数学和天文学方面的一些成就超过了埃及。 在美索不达米亚和在埃及一样，文化主要把持在统治阶级僧侣手里。大约在公元前两千年，两地的僧侣分别建立了寺庙图书馆，把记载着各种知识的秘本收藏在里边。除了少数僧侣外，一般人是无法阅读这些书的。这样也就影响了这两支古老文化的传播和交流。 美索不达米亚很早就有大量的对外贸易。它自己没有建筑用的木材，没有僧侣和君王穿戴的绸缎和宝石，没有做丰盛佳肴的调料，缺少制作寺庙供器的贵重金属。为了得到这些东西，许多商
23、人赶上毛驴或者骆驼，组成商队，翻过扎格罗斯山，穿过阿拉伯沙漠，西到黎巴嫩买杉木，北到小亚细亚买金、银、铅、钢，东面可能远到印度和中国，去换回丝绸、染料、香料和宝石。 商人们在贸易中就会遇到计量的问题。起初，他们买卖商品不是论斤两，而是按驮。比如一头驴驮的粮食换一头驴驮的棉花。但是在进行昂贵商品交易的时候，就必须精打细算了。于是，随着贸易的发展，天平和标准容器在美索不达米亚普遍使用起来。商人们在称量笨重物品的时候，用泰仑为单位（约合25公斤），称量精细物品的时候，以舍克为单位（约合9克）。 以物易物，给商人们带来沉重的负担和很多的不便。比如想要用粮食换木材，但是有木材的不一定要粮食；而要粮食的又
24、不一定有木材。要是有一种东西大家都愿意要，那么商人们之间的贸易就会方便得多了。曾经有一个时期，差不多人人都愿意要大麦。那时候大麦除了做面包和酿酒外，还可以用来支付工资和换取任何别的东西。这样，商人们到外地做买卖，只要用毛驴和骆驼驮上大麦去，就很快换回自己所需要的东西了。 后来，人们发现银子能换的东西多，携带方便，久放不坏，人人都愿意要，是一种做买卖的好物品。开始，商人们按照成交的多少，每次都得称量银子。以后，就铸造成一小块一小块的银条，每块银条上都标好了重量。这就是世界上最早的金属货币。我国古代用银子买卖东西的情况也是这样。 金属货币的出现，使人们第一次有了一种可以长期储存、又不会变坏的财富。
25、它促进了贸易和生产的发展！ 随着贸易范围和数量的不断扩大，人们需要经常掌握买进和卖出的情况，于是又出现了记账和算账的问题。 古老的美索不达米亚文字和书写材料使得记账成为一项非常艰巨的工作。书写的时候，得先把粘土做成方形的板砖，然后用尖木棍在上面刻字，最后把泥板放在太阳下晒干或者在火上烤干。这么复杂的过程，写起来很慢，改写、保管和查看也很不方便。不过，一经写成就不容易损坏了。近年来，考古学家在两河流域发掘出成千块这种刻有楔形文字的泥板，虽然经历了几千年，上面刻写的图文仍然清晰可见。这是我们了解古代美索不达米亚文化的重要依据。 尽管当时美索不达米亚的对外贸易量大，有相当精密的度量衡，又有了金属货币
26、，但是它的文字记账方法实在落后。幸好，那时候一般人都不采用书面的计算法，而是在地上铺一层沙子，在沙子的沟里放小石子进行计算。这个装置和埃及人的办法差不多，我们也可以把它叫做原始的算盘。它虽然简陋，却方便好用。 在美索不达米亚商人的算盘里，当一个石子在沟与沟之间移动的时候，数值也跟着相应变化：第一行为1，第二行为101，第三行为10101，在第四行为101，如此等等。就是说，每一行沟里的石子比它前一行里的数值大十倍，比它后一行里的数值小十倍。用我们现在的话来说，这就是以十为基数。 大多数的古代数字系统都用十做基数。我们猜测，人们在开始的时候大概都是用十个手指来数数的。其实，“十”这个数并没有什么
27、奇特的地方，用别的数做基数也同样很方便。美洲中部的马雅人以二十为基数，想来他们在开始的时候，很可能是用手指和脚趾一起来计数的。 美索不达米亚人有时也以六十为基数。由巴比伦人创造的六十进位制一直沿用到现在。我们今天计算时间，就是把一小时分成六十分钟，一分钟又分成六十秒；对于地球经纬度的划分，也是把一度分成六十分，每一分又分成六十秒。六十进位制的产生，可能是和天文学的发展有关系。苏马连人和巴比伦人在天文学上曾取得了很高的成就。 除了算盘，美索不达米亚人还掌握了另外一些简便的数字计算方法。在靠近幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾发掘出大量的粘土板。有不少粘土板上刻着乘法表和加法表，还有一些刻着平
28、方表。他们用简单的平方表，就能很快算出任何两数相乘的积。现在，我们来看他们是怎样算96102的：第一步，（102+96）299；第二步，（102-96）23；第三步，查平方表，知99的平方是9801；第四步，查平方表，知3的平方是9；第五步，9801-9979296102。 美索不达米亚人的这种求积方法是正确的，我们用现在的代数方法很容易弄清楚它的原理。 利用平方表做乘法没有算盘方便，所以它不像算盘那样流传广，使用时间长。在很长的时期里，欧洲的商人和店员都喜欢使用象算盘那样的计算板。在中国、日本和前苏联，至今还有许多人使用着算盘。 中国和日本的算盘属于同一个来源。它的特点是梁下以一珠当一，梁上
29、以一珠当五。这是在以十进位的基础上，添了一个五进位的中间单位。这样不仅节省了算珠，而且增加了计算的速度。 大约在六千年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子。这是人类史上最伟大的发明之一！你想，即使是今天最现代化的机械，也几乎没有一样能够离得开轮子的。 最初的轮子简单得很。它是用木头做成一个圆盘，中间挖一个洞，穿过一根木头做轴，使圆盘能绕着轴转动。 到了巴比伦和亚述的时候，出现了打仗用的战车和进行贸易的车辆。车上的轮子已经有了辐和毂等，和今天还能见到的老式车轮差不多。美索不达米亚人还发现圆木轮的其他用途。比如陶工利用旋轮制作精细的器皿，建筑工人利用滑轮吊起重物等。 由于轮子是美索不达米亚人发明的，很容易使人想象他们在那个时候一定掌握了不少关于圆的几何学知识。实际上，他们甚至还不如埃及人。埃及人计算圆的周长时，是把圆的直径乘以3.14；而美索不达米亚人在计算时用的是3。我们知道，圆周率3.14159，是一个不循环的无限的小数，叫做无理数，用3来代替它，就是用正六边形的周长来代换圆的周长，是相当粗糙的计算方法。 美索不达米亚人对圆的认识虽然比埃及人差，可是他们实际运用几何的能力，特别是在天文方面却比埃及人先进。他们把太阳在天上一昼夜经过的轨道分成三百六十度。后来
