1、精品教案北师大版 九年级下册数学 直线与圆的位置关系 教师版基础 直线与圆的位置关系【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 (2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离3直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的
2、位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）dr直线l与O相交；（2）d=r直线l与O相切； （3）dr直线l与O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点二、切线的性质定理和判定定理1切线的
3、性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.要点三、三角形的内切圆1三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，
4、面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1在RtABC中，C=90，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CDAB于D， 在RtABC中，C=90， AC=3，BC=4，得AB=5，ABCD=ACBC，(cm)，（1）当r=2cm时，CDr，圆C与AB相离；（2）当r= 2.4cm时，CD=r，圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CDr，圆C
5、与AB相交【总结升华】欲判定C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可举一反三：【变式】已知O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质 2如图所示，在RtABC中，B90，A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作D求证：AC是D的切线 【思路点拨】作垂直，证半径【答案与解析】证明：过D作DFAC于FB90，DBAB又AD平分BAC， DFBD半径 AC与D相切【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，
6、其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可 3.（2015黄石）如图，O的直径AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中点（1）求BC的长；（2）过点D作DEAC，垂足为E，求证：直线DE是O的切线【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得ADB=90，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是O的切线只要证明EDO=90即可【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，又ABC=30，AB=4，BD=2，D是BC的中点，BC=2BD=4；（2）证明：连接ODD是BC的中点，O是AB的中点，DO是ABC的中位线，ODAC
7、，则EDO=CED又DEAC，CED=90，EDO=CED=90DE是O的切线【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30角的直角三角形的性质解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线4如图，AB为O的直径，AC为O的弦，AD平分BAC，交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E（1）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若AE8，O的半径为5，求DE的长 【思路点拨】（1）连接OD，证明ODAD即可；（2）作DFAB于F，证明EADFAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与O相切 理由如下： 连接ODAD平分BAC，EADOADOAOD，ODAOADODA
8、EAD EAOD DEEA，DEOD 又点D在O上，直线DE与O相切 （2）如上图，作DFAB，垂足为F DFADEA90EADFAD，ADAD，EADFAD AFAE8，DFDE.OAOD5，OF3在RtDOF中，DF4DEDF4 【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015盐城）如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA（1）求DOA的度数；（2）求证：直线ED与O相切【答案与解析】（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）证明：
9、连接OE在EAO与EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE与O相切举一反三：【变式2】如图所示，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O与BC相切于点B，则AC等于( )A B C D 【答案】因为以AB为直径的O与BC相切于点B，所以ABC90，在RtABC中，故选C类型三、三角形的内切圆5如图，已知O是ABC的内心，A=50，求BOC的度数.【思路点拨】O是ABC的内心，A=50，根据内切圆的性质可求OBC+OCB= ，在BOC中，根据三角形内角和求出BOC的度数.【答案与解析】解：O是ABC的内心，A=50， OBC+OCB=， BOC=180-65=11
10、5.【变式】如图，ABC中，C=90，BC=4，AC=3，O内切与ABC，则ABC去除O剩余阴影部分的面积为（ ） A.12- B. 12-2 C. 14-4 D. 6-【答案】D. 【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA，PB分别与O相切于A，B点，C为O上一点，ACB=65，则APB等于( )A65 B50 C45 D402如图，AB是O的直径，直线EC切O于B点，若DBC=，则( )AA= BA=90 CABD= D 第1题图 第2题图3设O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( )A.d=3 B. d3 C. d3 D.d34.（20
11、15内江）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（） A40 B 35 C 30 D 455如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且COCD，则PCA（） A.30 B.45 C.60 D.67.5 6已知AB是O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作O的切线，切点为C，APC的平分线交AC于点D，则CDP等于（） A.30 B.60 C.45 D.50二、填空题7如图，AB是O的直径，BC切O于点B，AC交O于点D.若AC=5，BC=3，则O的半径为_. 8如图，O的切线PC交直径AB的延长
12、线于点P，C为切点.若P=30，O的半径为1，则PB的长为_. 9（2014秋白云区期末）在ABO中，OA=OB=2cm，O的半径为1cm，当ABO= 时，直线AB与O相切10.如图所示，已知直线AB是O的切线，A为切点，OB交O于点C，点D在O上，且OBA40，则ADC_ 11如图所示，已知ABC，ACBC6，C90，O是AB的中点，O与AC、BC分别相切于点D与点E点F是O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G，则CG_ 12木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.用角尺的较短边紧靠，并使较长边与相切于点.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为，较短边.若读得长为，则用含的代数式
13、表示为 . 三、解答题13. 如图，已知O是边长为2的等边ABC的内切圆，求O的面积.14 AB是O的直径，BC切O于B，AC交O于D点，过D作O的切线DE交BC于E.求证：CE=BE. 15.（2014秋东台市月考）如图，AB是O的弦，OCOA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是O的切线【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连结OA、OB，则AOB=130，PAO=PBO=90，所以P=50. 2.【答案】A；【解析】AB是O的直径，ADB=90，A+ABD=90， 又 直线EC切O于B点，+ABD=90，A=，故选A.3.【答案】C；【解析】直线l可能和圆相交或相切. 4.
14、【答案】C；【解析】解：连接BD，DAB=180C=60，AB是直径，ADB=90，ABD=90DAB=30，PD是切线，ADP=ABD=30，故选：C5.【答案】D； 【解析】如图：PD切O于点C，OCPD，又OCCD，COD45，AOCO，ACO22.5，PCA9022.567.5故选D6.【答案】C；【解析】如图，连接OC，OC=OA，PD平分APC，CPD=DPA，A=ACO，PC为O的切线，OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，DPA+A=45，即CDP=45故选C 二、填空题7【答案】2.8【答案】1. 【解析】如图，连接OC，PC是OD的切线，OCCP，即OCP=90 又P
15、=30，O的半径为1，OP=2CO=2，PB=2-1=1. 9【答案】120【解析】如图，连接OC，O与直线AB相切于点C；OCAB；而OA=2，OC=1，A=30；而OA=OB，B=A=30，AOB=18060=120，故答案为12010【答案】25.【解析】OAAB，OBA40， BOA50， ADCBOA25.11【答案】 .【解析】如图，连DE、OD、CO，由已知条件，可知CECDAC3，DEAB DECD又ODCG， ODGG，又ODOF ODFOFDEDG EDGG， DEGE， CGCE+GE3+.12.【答案】当，；，；或，；，；【解析】（1）当，； （2），如图：连接OC，B
16、C与O相切于点C，OCBC，连接OA，过点A作ADOC于点D，则ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB在直角三角形AOD中，OA2=OD2+AD2，即：r2=（r8）2+a2，整理得：r=a2+4三、解答题13.【答案与解析】解：设O与BC的切点为D，连接OB,OD.O是边长为2的等边ABC的内切圆，O是ABC的角平分线、中线、高的共同交点，OBD=30，ODB=90，BD=DC= ,设OD=r,则OB=2r,由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，（2r）2=r2+12r= .SO= .14.【答案与解析】证法1:连结DB. AB是直径, ADB=90. BDC=90. BC、DE是切线， BE=ED. EBD=EDB. EBD+C=90，且EDB+EDC=90， EBD+C=EDB+EDC. C =EDC. ED=EC. BE=EC. 证法2：连结OD、OE. DE切O于D， ODDE. ODE=90. 同理B=90. OB=OD，且OE=OE， ODEOBE. BOE=EOD. BOE=A. OEAC. O是AB中点， E是BC中点. BE=EC.15.【答案与解析】证明：PC=BC，CPB=CBP，而APO=CPB，CBP=APO，OCOA，A+APO=90，而OA=OB，A=ABO，CBP+ABO=90，OBBC，BC是O的切线
