1、0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：% 输入函数f=input（请输入需要求解函数,s）%求解f（x）的导数df=diff（f）;%改进常数或重根数miu=2;%初始值x0x0=input（input initial value x0）;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval（subs（f,x0x）;%求解f（x0），以确定初值x0时否就是解while （abs（R）1e-8） x1=x0-miu*eval（subs（f,）/eval（subs（df, R=x1-x0; x0
2、=x1; k=k+1;if （eval（subs（f,）max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input（maybe result is error,choose a new x0,y/n? if strcmp（ss,y x0=input（ k=0;k;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1. 用二分法计算方程在1，2内的根。（,下同）计算结果为x= 1.40441513061523；f（x）= -3.797205105904311e-007；k=18；由f（x）知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2. 用二分法计算方程在1，1.5
3、内的根。x= 1.32471847534180；f（x）= 2.209494846194815e-006；k=17；由f（x）知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3. 用Newton法求解下列方程a） x0=0.5；x= 0.56714329040978；f（x）= 2.220446049250313e-016；k=4；由f（x）知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b） x0=1；c） x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时，计算结果为x= 0.49999999999983；f（x）= -8.362754932994584e-014；由f（x）知结果满足要
4、求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x= 0.50000000000000；f（x）=0；k=9；由f（x）知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x00.68时，x1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取 x0=0.55；并与3.中的c）比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为x=0.50000087704286；f（x）=4.385198907
5、621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x= 1.00000000000489；f（x）= 2.394337647718737e-023；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论： 对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初
6、值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告二 Gauss列主元消去法求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。1. 学习Gauss消去法的原理。2. 了解列主元的意义。3. 确定什么时候系数阵要选主元由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使0，
7、但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r，使得并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k=1,2,n-1,进行如下步骤。1） 选主元，记若很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2） 交换增广阵A的r，k两行的元素。 （j=k,n+1）3） 计算消元 （i=k+1,n; j=k+1,n+1）2. 回代过程对k= n, n-1,1,进行如下计算至此，完成了整个方程组的求解。 Ga
8、uss消去法源程序：a=input（输入系数阵：nb=input（输入列阵b：n=length（b）;A=a bx=zeros（n,1）;%函数主体for k=1:n-1;%是否进行主元选取if abs（A（k,k）abs（t） p=r; else p=k; %交换元素 if p=k; for q=k:n+1; s=A（k,q）; A（k,q）=A（p,q）; A（p,q）=s; end %判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重 yipusilongdisp（矩阵奇异，解可能不正确） %计算消元,得三角阵 m=A（r,k）/A（k,k）; A（r,q）=A（r,q）-A（k,q）*m; %求解x
9、x（n）=A（n,n+1）/A（n,n）; for k=n-1:-1:1; s=0; s=s+A（k,r）*x（r）; t=（A（k,n+1）-s） x（k）=（A（k,n+1）-s）/A（k,k）例：求解方程。其中为一小数，当时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。 0.99999934768391 0.99999934782651 2.00000217421972 2.00000217391163 2.999997
10、60859451 2.99999760869721Emax= 9.301857062382624e-010，0此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。时，不选主元和选主元的计算结果如下 1.00001784630877 0.99999999999348 1.99998009720807 2.00000000002174 3.00000663424731 2.99999999997609Emax= 2.036758973744668e-005，0此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。
11、1.42108547152020 1.00000000000000 1.66666666666666 2.00000000000000 3.11111111111111 300000000000000Emax= 0.70770085900503，0此时由Emax可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。NaN 1NaN 2NaN 3Emax=NaN, 0不选主元时，程序报错：Warning: Divide by zero.。这是因为机器计算的最小精度为10-15，所以此时的就认为是0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由Emax可以看出选主元时的结果应该
12、是精确解。采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。实验报告三 Rung现象产生和克服由于高次多项式插值不收敛，会产生Runge现象，本实验在给出具体的实例后，采用分段线性插值和三次样条插值的方法有效的克服了这一现象，而且还取的很好的插值效果。1. 深刻认识多项式插值的缺点。2. 明确插值的不收敛性怎样克服。3. 明确精度与节点和插值方法的关系。在给定n+1个节点和相应的函数值以后构造n次的Lagrange插值多项式，实验结
13、果表明（见后面的图）这种多项式并不是随着次数的升高对函数的逼近越来越好，这种现象就是Rung现象。解决Rung现象的方法通常有分段线性插值、三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间a, b上，给定n+1个插值节点a=x0x1xn=b和相应的函数值y0，y1，yn，求作一个插值函数，具有如下性质：1） ，j=0，1，n。2） 在每个区间xi, xj上是线性连续函数。则插值函数称为区间a, b上对应n个数据点的分段线性插值函数。三次样条插值：给定区间a, b一个分划 ：xN=b 若函数S（x）满足下列条件：1） S（x）在每个区间xi, xj上是不高于3次的多项式。2） S（x）及其2阶导数在a
14、, b上连续。则称S（x）使关于分划的三次样条函数。其中待插值的方程写成function的方式，如下y=1/（1+25*x*x）;写成如上形式即可，下面给出主程序 Lagrange插值源程序：n=input（将区间分为的等份数输入：s=-1+2/n*0:n;%给定的定点，Rf为给定的函数x=-1:0.01:f=0;for q=1: l=1;%求插值基函数 for k=1: if k=q; l=l.*（x-s（k）./（s（q）-s（k）; l=l; f=f+Rf（s（q）*l;%求插值函数plot（x,f,r）%作出插值函数曲线grid on hold on分段线性插值源程序m=0;hh=0.
15、001;for x=-1:hh: ff=0;%求插值基函数 switch k case 1 if xs（n）; l=（x-s（n）./（s（n+1）-s（n）; otherwise =s（k-1）&x=s（k）&=s（k+1）; l=（x-s（k+1）./（s（k）-s（k+1）; else ff=ff+Rf（s（k）*l;%求插值函数值 m=m+1; f（m）=ff;end %作出曲线grid onhold on 三次样条插值源程序：（采用第一边界条件）%插值区间a=-1;b=1;%画图的步长s=a+（b-a）/n*0:%第一边界条件Rf（-1）,Rf（1）v=5000*1/（1+25*a*
16、a）3-50/（1+25*a*a）4;%取出节点间距 h（k）=s（k+1）-s（k）;%求出系数向量lamuda,miu la（k）=h（k+1）/（h（k+1）+h（k）; miu（k）=1-la（k）;%赋值系数矩阵A for p=1: switch p case k A（k,p）=2; case k-1 A（k,p）=miu（p+1）; case k+1 A（k,p）=la（p-1）; otherwise A（k,p）=0;%求出d阵 d（k）=6*f2c（s（k） s（k+1） s（k+2）-miu（k）*v; case n-1 d（k）=6*f2c（s（k） s（k+1） s（k+
17、2）-la（k）*v; d（k）=6*f2c（s（k） s（k+1） s（k+2）;%求解M阵M=Ad;M=v;M;v;%for x=a:b; if x=a; p=1; p=ceil（x-s（1）/（b-a）/n）; ff1=0; ff2=0; ff3=0; ff4=0; ff1=1/h（p）*（s（p+1）-x）3*M（p）/6; ff2=1/h（p）*（x-s（p）3*M（p+1）/6; ff3=（Rf（s（p+1）-Rf（s（p）/h（p）-h（p）*（M（p+1）-M（p）/6）*（x-s（p）; ff4=Rf（s（p）-M（p）*h（p）*h（p）/6; f（m）=ff1+ff2+f
18、f3+ff4 ;%作出插值图形x=a:k本实验采用函数进行数值插值，插值区间为-1，1，给定节点为xj=-1+jh,h=0.1，j=0,，n。下面分别给出Lagrange插值，三次样条插值，线性插值的函数曲线和数据表。图中只标出Lagrange插值的十次多项式的曲线，其它曲线没有标出，从数据表中可以看出具体的误差。表中，L10（x）为Lagrange插值的10次多项式，S10（x），S40（x）分别代表n=10，40的三次样条插值函数，X10（x），X40（x）分别代表n=10，40的线性分段插值函数。x f（x） L10（x） S10（x） S40（x） X10（x） X40（x） -1.0
19、0000000000000 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 -0.95000000000000 0.04244031830239 1.92363114971920 0.04240833151040 0.04244031830239 0.04355203619910 0.04244031830239 -0.90000000000000 0.04705882352941 1.57872099034926 0.0470969758
20、5458 0.04705882352941 0.04864253393665 0.04705882352941 -0.85000000000000 0.05245901639344 0.71945912837982 0.05255839923979 0.05245901639344 0.05373303167421 0.05245901639344 -0.80000000000000 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 -0.7
21、5000000000000 0.06639004149378 -0.23146174989674 0.06603986172744 0.06639004149378 0.06911764705882 0.06639004149378 -0.70000000000000 0.07547169811321 -0.22619628906250 0.07482116198866 0.07547169811321 0.07941176470588 0.07547169811321 -0.65000000000000 0.08648648648649 -0.07260420322418 0.0858977
22、6360849 0.08648648648649 0.08970588235294 0.08648648648649 -0.60000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 -0.55000000000000 0.11678832116788 0.21559187891257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.12500000000000 0.11678832116788 -
23、0.50000000000000 0.137*276 0.25375545726103 0.14004371555730 0.137*276 0.150*000 0.137*276 -0.45000000000000 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.175*000 0.16494845360825 -0.40000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 -0.35000000000000 0.24615384615385 0.19058046675376 0.24054799403464 0.24615384615385 0.27500000000000 0.24615384615385 -0.30000000000000 0.30769230769231 0.23534659131080 0.29735691695860 0.30769230769231 0.350000000
