1、ABC中，ACB90，AC1BC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB2且AE BEDECA B【例2】四边形ABCD的对角线ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD于M、N，求证：AMNBNMABFENMCD举一反三1.四边形 ABCD中，AC BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点求证： GMN GNMDEANG MB F C2.：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N1如图旋转到BC的
2、延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，当点D求证：AMFBNE2当点D旋转到图2中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请证明F（N）【例3】如图，在五边形 ABCDE中， ABC AED 90， BAC EAD，F为CD的中点求证：BF EFABEC F D举一反三1.如下列图，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：1DEMFDN；2 PAE PBFCA D BE M NFP3.：在 ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM，
3、和CAN，P是边BC的中点求证：PM PNAMPB N C4.如下列图， ABD和 ACE都是直角三角形，且 ABD ACE 90，连接DE，设M为DE的中点1求证MBMC2设 BAD CAE，固定 Rt ABD，让Rt ACE移至图示位置，此时 MB MC是否成立？请证明你的结论A AECE CMMD DB B5.在ABC中，AB=AC，分别以 AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形， M是BC边中点中点，连接 MD和ME1如图1所示，假设AB=AC，那么MD和ME的数量关系是2如图2所示，假设ABAC其他条件不变，那么MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；3在任意A
4、BC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断MED的形状图1 图2 图3【例4】以ABC的两边AB、为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当为直角三角形时，与DE的位置关系是_；线段与DE的数量关系是_；2将图中的等腰 RtABD绕点A沿逆时针方向旋转 （0 90）后，如图所示，1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由D DN NEA EABM图图举一反三1.ABC的外角平分线，过点A作ADBD、AEC
5、E,垂足分别为D、E，如图，BD、CE分别是连接DE求证：DEBC，DEBCACAB22，BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变；33，BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变。那么在图2、图3两种情况下，DE、BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请你写出猜想，并给与证明AA A图1C图2C图32.ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F求证：EFABHFQP【例5】等腰梯形ABCD中，ABCD，BD，与BD交于点O，AOB60，P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，
6、求证：PQR是正三角形ROQP1.AD是 ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E求证：AE AC3AEFB D C【例6】如左以下列图，在梯形ABCD中，ABCD，E、F分别是AC、BD中点求证：EFAB，且EFE FA B举一反三在课外小组活动时，小慧拿来一道题原问题和小东，小明交流原问题：如图1，ABC，ACB90，ABC45，分别以AB，BC为边向外作ABD和BCE，且DADB，EBEC，ADBBEC90，连接DE交AB于点F，探究线段DF与EF的数量关系。小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是
7、，ABC30，ADBBEC60小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：1写出原问题中DF与的数量关系2如图2，假设 ABC 30，ADBBED60，原问题中的其他条件不变，你在1中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；3如图3，假设ADBBEC生变化？请写出你的猜想并加以证明。A BAE图12ABC,原问题中的其他条件不变，你在 1中得到的结论是否发图2真题演练1.：AOB中，ABOB2，COD中，CDOC3，ABODCO.连接AD、BC、，点M、N、P分别为AO、DO、BC的中点.1如图1，假设A、
8、O、C三点在同一直线上，且ABO60o，那么PMN的形状是_，此时AD（BC2如图2，假设A、O、C三点在同一直线上，且ABO2，证明PMNBAO，并计算AD的值BC用含 的式子表示；3在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.O图12.如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.1求证：DMN是等边三角形；2连接EF，Q是中点，CPEF于点P.求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决此题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学
9、想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置她考虑将.NM ECA D B3.在ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点 P，使得ABP=ACP过点P作PEAB于点E，PFAC于点F1如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；2如图2，当ABAC，其它条件不变时，1中的结论是否发生改变？请说明理由AAFE P F E PB D C B D C图1 图24.探究问题： AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，且1ABC为等边三角形，如图 1，那么AOOD=_；
10、AD、BE交于点O.2当小明做完1问后继续探究发现，假设为一般三角形如图2，中的结论仍成立，请你给予证明.3运用上述探究的结果，解决以下问题：如图3，在ABC中，点E是边AC的中点，AD平分BAC,ADBE于点F，假设AD=BE=4.求：ABC的周长.AAEO O FB D C B D C B D C图1 图2 图35.如图1，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，那么BMECNE不需证明温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HEHF，从而2，再利用平行线性质，可证得C
11、NE问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连结并延长，与BA的延长线交于点G，假设EFC60GD，判断AGD的形状并证明，连结AFCB6.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1请你用此性质解决下面的问题.：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，CAB90，直线m过点O过A
12、、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F.1当直线m与BC平行时如图1，请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；2当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明FmOD7.以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 VAOB和VCOD，其中ABODCO301点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM2如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FM=_；EM如图2，将图1中的VAOB绕点O沿顺时针方向旋转角0o60o，其他条件不变，判断FM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；3如图3，假设BO33，点N在线段OD上，且NO点P是线段AB上的一个动点，在将VAOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_
