1、 , 0CN 二 ACD - 0CA 二 30 ,在 Rt ONC 中，v cos _ OCN = - , 0C = 1,二 AB = 20C = 2 ,故选（A）.0C 24.不定方程3x2 7xy-2x-5y-17 =0的全部正整数解（x, y）的组数为（ ）（A） 1 （ B） 2 （C） 3 （D） 4【解析】由 3x2 7xy -2x_5y-17= 0 ,得 y= 3 2x 17，因 x, y 为正整7x5数，故 x _1,y _1 ,从而 7x 一5 . 0,于是 _3x2 2x 17 _ 7x - 5 , 3x2 5x - 22 乞 0 , 即（x 2）（3x 11）0，由 x_
2、1，知 3x 11 0 ，故 x 2 乞 0，xe2，故 x = 1 或 x=2当 x=1 时，y=8 ;当 x=2 时，y=1.故原不定方程的全部正整数解（x,y）有两组：（1,8），（2,1）,故选（B）.5.矩形ABCD的边长AD =3,AB = 2 , E为AB的中点，F在线段BC为 AB 的中点，知 ADE 也 BGE ,故 BG 二 AD =3, FG 二 BF BG = 1 3 = 4 ,因AM AD 3 3 3FG / AD ,故 AMD s . FMG ,故 ，故 AM FM AF ,于是FM FG 4 4 7MN =AF - AM -FN =AF -3AF -1 AF 9
3、AF = 9 .AB2 BF2 7 4 28 28设不超过n的正整数中，质数的个数为an,合数的个数为bn,当n 15时，列由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因匕仆-知=2，当n _16时，在n= 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数， 故一定有bn -an _2, 故当n_16时，n不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为1 9 11 134，故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数 x, y,z满足 x + y = 4, z + 1| = xy + 2y 9,贝Ux+2y + 3z= .
4、【答案】4【解析】由x，y=4,得x=4 y，代入z 1 = xy 2y - 9，得z +1 = （4 - y）y +2y -9 = -y2 +6y -9 = -（y -3）2 K 0，故（y -3）2 兰 0，又（y -3）2 _0,故（y -3）2 =0,故 y =3,z =1,x =1，于是 x 2y 3z = 4.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成 n3（n2）个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同， 贝U n = .【答案】8【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为 6（n- 2）2个，任何面都不是红色的小正方体的总数为 （
5、n - 2）3个，依题意有 6（n-2）2=（n - 2）3，解得n =8（ n =2舍去）.3.在：ABC 中， A=60. C =75,AB =10，D,E,F 分别在 AB,BC,CA 上,则DEF的周长最小值为_.【答案】5.6【解析】分别作点E关于AB, AC的对称的P,Q .则 DE = PD,EF = FQ . 连 接A , E , A ,P A Q D P F Q P Q则 PAQ -120,且 AP = AE = AQ ,从而.APQ =30；，-PQ _故务30，PQ,过点A作ABC 于点H，则AH = AB sin B =10 sin45： = 2，于是：DEF 的周长为
6、I= DE DF EF = PD DF FQ _ PQ 二、一3AP = ：$3AE _ J3AH = 5 飞当且仅当点E与点H重合，且P,D,F,Q四点共线时取得等号，即：DEF的 周长 Imin =5 6.4.若实数 x, y, z满足 x2+ y2+ z2（- x y y吃8 ,z=x用 A 表示x-y,y-z, z-x的最大值，贝U A的最大值为 .【解析】由已知，得（x - y）2 +（y z）2 +（z x）2 = 16，不妨设A=|x y，贝UA2 =|x y=（y _x）2 = （y _z） +（z_x）f 兰2 （y_z）2 +（z_x）2 = 2 16_（x_y）2 = 2
7、（16_A2） 解得 A兰空6.当且仅当 x - y = 出6, yz = z x = 时取等号.3 3 3故A的最大值3第二试（A）一、（本题满分 20 分）已知实数a,b,c,d满足2 2 2 2 22a 3c= 2b 3d 二 a d b 6 ,求a2 b2 c2 d2的值.解：设 m 二a2 b2,n 二c2 d2，贝U 2m 3n =（2a2 3c2） （2b2 3d2） =12.因（2m+3nf =（2m3nf+24mn 启24mn，即 1224mn，故 mn6 又因为mn =：a2 b2 c2 d2 l=a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 二 ac bd 亠 iad-bc ?
8、由,可得mn=6.即a2 b2 e2 d2 =6注：符合条件的实数a,b,e, d存在且不唯一，应满足ae+bd=O （1）由（1 ）得空，令旦d e d2a2 +2b2 =3c2 +3d2 （2）2a2 3c2 =2b2 3d2 =6 （3）（ad -be）2 =6 （4）at,bet，代入（2）得或t宁，于是 a = d,e或a=d,b=c，代入（3）或（4），得 c2+d2=2，22 2 2故符合条件的实数a,b,e,d存在且不唯一，如a = .2, b=1,c 就是33一组.又如a=,b 6,e =1,d =1也是一组，当然还有很多组.二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆0
9、上，过 点B,C作圆0的切线，交于点P，连接AC，若 =-9C ，求更2 AC的值连接OC，因为PC,PB为圆O的切线，所以POC POB因为 OA =OC ,所以 OCA - OAC ,因为 COB =/OCA OAC， 所以 2 POB =2 OAC ,所以 POB =/OAC ,所以 OP / ACAC ABOB 一 OP连接BC,因AB为圆O的直径，PB为圆O的切线，故.ACB =/OBP =90： 又 POB =/OAC，所以 BACs ：POB，所以9 2又 OP AC, AB =2r, OB 二 r （ r 为圆 O 的半径），代入，得 OP=3r,AC r.2 3在Rt POB
10、中，由勾股定理，得PB hOP2-OB2 =2、2r ,所以三、（本题满分25分）已知t是一兀二次方程x2x_1 = 0的一个根，若正整 数a,b,m使得等式 at m bt m = 31m成立，求ab的值.因为t是一元二次方程 x2，x-1=0的一个根，显然t是无理数，且 t2 =1 t .由 at m bt m j =31m，得 abt2 m a b t m2 -31m = 0 ,将 t2 = 1 -t 代入，得ab 1 -t m a b t m2 -31m = 0，即卩 |m a b -ab t ab m2 -31m = 0.丨mf a + b a b因为a,b,m是正整数，t是无理数，
11、所以 2 ，于是可得| a b m -3 1 m = 0a + b =31 mg 2ab 二31m -m因此a,b是关于x的一元二次方程x2 m-31 x 31m -m 0的两个正整数根，2 c该方程的判别式 m-31 -4 31m - m2 = 31-m 31-5m - 0.又因为a,b是正整数，所以a 5=31-m0,从而可得0：m乞.5又因为判别式厶是一个完全平方数，验证可知，只有 m = 6符合要求.把m =6代入，得ab =31m -m2 =150.第二试（B）一、（本题满分20分）已知t ,若正整数a,b,m ,使at m bt m = 17m成立，求ab的值.因为 t = 21，
12、所以 t2 =3 - 2 2.由 at m bt m = 17m，得abt2 m a b t m2 T7m = 0，将 t2 = 3 - 2 一 2 代入，得ab3-2、2 m a b .2 -1 m2 -17m =0，整理得 |m a b -2ab I 丿2 ：；|3ab-m a b i亠 m2 -17m = 0因为a,b,m是正整数，2是无理数，所以m（a b2a023ab m（a + b） + m 17m = 0口 a +b =2（17 m于是可得 2ab = 17m - m2因此a,b是关于x的一元二次方程x2 2（m - 17）x T7m - m2 =0的两个正整数 根，该方程的判别
13、式 厶=4 m-17 -4 17m-m2 =4 17-m 17-2m_0.又因为a,b,m是正整数，所以a，b=2 17-m0，从而可得0 ： m -又因为判别式厶是一个完全平方数，验证可知，只有 m = 8符合要求.把 m =8 代入，得 ab =17m -m2 =72 .二、（本题满分25分）在 ABC中，AB AC，0、I分 别是=ABC的外心和内心，且满足 AB-AC=2OI,求证：（1） OI / BC;证明：（1）过点O作OM _ BC于M ，过点I作IN _ BC 于N， 则OM / IN ,设BC二a, AC二b,AB二c，由O、I分别是- ABC的外心和内心，得CM = *a
14、,CN = （a b c），所以 MN = CM 一 CN = * （c 一 b） = OI，又MN恰好是两条平行线 OM ,IN之间的垂线段，所以 OI也是两条平行线OM ,IN之间的垂线段，所以OI / MN，所以OI / BC.（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI,CI，设OM =IN二r （即为 ABC的内切圆半径），则 Saoc - SAOB 二 S AOI S COI S AIC - S AIB - S AOI - S BOI1111二 2S.AOI S.BOI S.COI S.aic -S aib =2S aoi 2 01 r ? OI r - AC r -? AB r- 1
15、 _1 1 I= 2S.aoi r OI 石（b-c） =2S.aoi r ?（c-b） yb-c） =2S.aoi.（本题满分 25 分）若正数a,b,c满足匕2 2 2冬/ 2 2 . 2 ?b +c -ac +a -b+、血丿 2ca 丿a2 +b2 c22 o =32ab,2 2 2 2 2 , 2 2 , 2 2求代数式c a L a b d的值.2bc 2ca 2ab由于a,b, c具有轮换对称性，不妨设O：a_b_c.（1）若 c a b，则 ca . b .0, cb . a 0 ,从而，得,2 2b c -a2bc=1 c-b21,2 2.2c a -b2caa2 b2 -
16、c2a b22 亠-1,故I2 +c2 - a272 +a2 -b2a2+b2-c2这与已知条件矛盾.（2）若 c ： a b，则 0 乞 ca ： b,0 乞 c b ： a，从而，得0少 c_a2=1. C2c2 a2 -b21,0 :c a=1 _（a+b）Y -111,0十（小）2-.,2ab 2aba2 b2 -c2b2 +c2-a、2a2 +b2 _c2、综合（1）（2）可知,一定有c二a b.于是可得b2 c2 - a22 2 2b （a b） a2b（a b）同理可得=1, 3，这与已知条件矛盾.2b2 2ab ,2 1,2b 2ab2 ,2 2 a b -c1.2 2故2 2 2.2 c a ba2 b2 -c2 1
