1、（一）由古希腊毕达哥拉斯时代来看自古以来，西方的数学和音乐就是一体的，所以数学与音乐之间的关系不只是用密切来加以形容，它们是不分家的。古希腊一位天才横溢的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，540B.C，约中国孔子的年代），就曾经将数学作了以下的分类（见图一，王怀权，民70）： 图一 毕达哥拉斯对于数学的分类 以现行的数学课程标准来看（教育部，民82），学生要学习的数学内容有数与计算、量与实测、图形与空间、统计图表、数量关系、术语与符号，其中我们很难找到音乐的影子。而古希腊时代是将天文、几何、音乐与算术统整在数学之中的，这也是后来西方中世纪时代所谓四艺的教育内容。毕达哥拉斯多才多艺，在宗教
2、、天文、数学和音乐方面都很有研究，还被称为乐器之父。以下有一段关于他的故事：有一天毕氏经过一家打铁店，被其中打铁的声音所吸引住了，因为铁锤打铁的声音不但有节奏，且相当悦耳；他感到惊奇，于是走到里面去探究竟。他发现里面有四个人，分别拿了四个重量不同的铁锤，这四个铁锤重量的比恰好是12：9：8：6 。当两个铁锤的重量比分别是12：6、12：9和12：8时，一起敲打所发出来的声音听起来相当和谐。他回去之后，进一步利用当时专为审度音律之用的乐器单弦琴（monochord）做了个实验，结果有两项重要发现：（1）两个声音能够听起来和谐悦耳，跟两弦的长呈简单整数比有关；（2）两音弦长的比是4：3、3：2、2
3、：1时是和谐的，它们的音程分别是四度、五度和八度。所以，对于毕氏而言，音乐就是整数比（蔡聪明，民83）。虽然，当时毕氏还无法利用频率来实验，仅能根据弦长来验证音与音之间的比，不过，利用五度音循环法，由1出发，除了F音必须降低五度求得之外，其余连续升高五度（即连续乘以3/2）五次，再把超过八度的音降低八度（除以2），或低于八度音的升高八度（乘以2），就可以得到毕氏音阶，如表一（蔡聪明，民83）。表一 毕氏音阶 不过，在毕氏音阶里面却发现E、A、B三个音的比，并没有呈简单的整数比，因此后来有位天文学家C. Ptolemy就利用和弦的升降，将这些音修改为5/4、5/3、15/8，因而得到纯律音阶，如
4、表二（详见蔡聪明，民83）。表二 纯律音阶 但是，随着音乐的发展，虽说世界一流的小提琴家与歌唱家都按纯律来演奏或演唱，但毕氏音阶和纯律音阶在移调和转调上，以及在不同的乐器一起演奏的和谐度上，均无法符合音乐家或作曲家的需求，于是德国风琴师Werckmeister在1691年，从发表的一篇文章将键盘乐器调成平均律的数学当中，引出了十二平均律，它使得乐曲转调容易，但是声音不纯（例如中央C应该是264Hz变成了261.6Hz），且和弦并不那幺完美（蔡聪明，民83），十二平均律就是将C 到C之间等分割成十二个半音，所以，如果知道了C这个音的频率，就可以透过连续乘上一个常数122而得到12个半音。自从19
5、39年国际间订定标准音A的频率为440Hz之后，其它音的频率也大致底定（见表三）。表三 音阶和频率 单位:Hz 音高 中央C D E F G A B 高音C 纯律 264 297 330 352 396 440 495 528 十二平均律 261.6 293.7 329.6 349.3 392.1 493.9 523.2 依据作者的经验，目前现代的钢琴调音仍可以分为两种：一种是利用调音器来调的，调音师一个音一个音的敲，然后与调音器所设定的频率对照是否正确，所以是按照十二平均律来调音的。另一种是比较高明的老师传利用他敏锐的耳朵来调音的，他是一个和弦一个和弦的弹由和弦发出的声音的和谐度来判断音是否
6、准确，所以纯律至今仍然有人使用。（二）由形上学来看由于数学具逻辑推理的性质，它能够创造出优美的演绎模式，虽然我们不能用听觉感知它的节奏，可是我们可以随着理性的推理思考，用大脑去体会它的韵律，所以说数学是推理的音乐（欧阳绛，民85）。 以下我们举两个例子进一步说明数学与音乐的共通性美。图二 视谱练习 例一 图二这首乐曲虽然只是写给人们视谱练唱用的，但是从它的音符的形式来看，除了最后一小节之外，其余都是四个八分音符和两个四分音符有规律反复的音群所构成，且都是使用所谓模进的方式来编写，所以，我们只要唱前面两个小节Do,Re,Mi,Fa,Do,Fa，就可以预测接下来就是Re,Mi,Fa,Sol, Re
7、,Sol（前两行），后两行音群下行的方式也是一样的模式。这四行谱前两行和后两行则几乎是对称的关系，规律和对称都是一种美的形式，在数学的领域中，无论代数、几何或统计都经常可以看见。例二 数学王子高斯在小学时代曾经解过这样的题目：123100？当全班同学都在埋头苦算的时候，高斯却轻而易举的把答案交出来了，全班师生们同感讶异。他的算法是按照头尾相加和是101的模式，连续不断的配对（其实这就类似于音乐中的模进），到最后5051，一共可以得到五十对的101，所以将101乘以50就可以得到答案5050了（见图三）。从这个例子，我们也可以看到在运算的过程当中，数字构成的关系那幺的和谐而有规律，这种由一定数量
8、关系所构成的和谐就是一种数学美（徐炎章、吴开朗、唐煌、周金才，民87，p.35），而这种巧妙的解法本身也是一种美。图三 高斯的解题模式 音乐是透过作曲家的思维模式，运用符号把它记录下来，当它被传达到听众的耳朵时，是那幺的和谐、有秩序、有规律，所以容易给人产生一种美感，进而心灵获得启发和陶冶。数学本身不仅是艺术，也是一种思维的艺术（欧阳绛，民85），对于人们心灵的美化也具有同样的效果。古希腊毕氏学派就认为：数学和音乐都可以净化人的灵魂。十九世纪数学家J. J. Sylvester（1814-1897）指出，置身于数学领域中，不断地探索和追寻，就能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。当代数理逻
9、辑家王浩也说，数学具有纯净的美（dry beauty）。Sylvester（1814-1897）又指出：音乐不就是感觉中的数学，而数学不就是推理中的音乐吗？两者的灵魂是完全一致的。这段话更道出了数学与音乐另一种形而上的关系。因此，如果说：音乐家可以感觉到数学，而数学家可以想象到音乐。是可以让人理解的。虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智能升华到完美的境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了（欧阳绛，民85）。四、将数学应用于音乐之中数学家莱布尼兹（Leibniz, 1646-1716）说：音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目字在打交道（引自蔡聪明，民83）。而实际上，乐理的确是
10、一种可以用数学的方法来计算的具体知识（黄嘉彦、张如梅，民89）。在音乐的领域当中，运用数学来处理相关的问题的例子非常多，例如：毕达哥拉斯发现弦长的简单整数比（算术的比例论），进而推算出毕氏音阶、傅里叶（B. J. B. Joseph Fourier, 1786-1830）针对周期性的声音进行研究，发现任何声音都可以用简单的正弦函数（asinbx）各项的和来表示。以下将举几个的例子说明数学在音乐中被运用的情形：在音乐当中，我们把记录声音的符号称为音符；把记录暂停的符号称为休止符。下表是音符与休止符的种类和名称。图四 音符与休止符的种类和名称 有了音符和休止符之后，任何的旋律便可以用它们来记载。而
11、任何一段简单的旋律的构成，不外乎是音高、音的长度和演奏的速度。我们可以透过音高、音的长度和演奏的速度来了解其中的数学。（一）音高声音振动的频率快表示声音高，反之，则声音低。当声音用符号来记录之后（就是音符），将它挂在五线谱上就可以从它的位置看到它的音高。图四 简谱示例 光从音符在五线谱上的高低位置，看不出来与数学有何关联。但在五线谱底下，我们可以看到一群数字1,2,3,4,（见图四），这就是所谓的简谱，是不是就和数学扯上关系了呢？有许多学习音乐的人并不太习惯看五线谱上面的音符，而比较偏好看这群数字所构成的简谱，目前常用简谱来记录乐谱的有国乐、爵士乐等 。（二）音的长度声音的长短也可以用音符记录
12、起来。由上表一所记载的各种不同的音符就可以清楚地看出声音的长短。例如：我们先订出拍号（见图五）：图五 定出拍号 再来看表四，若以四分音符定为1拍的话，二分音符就是它的两倍，是2拍，全音符是它的四倍，是4拍；而八分音符则是它的一半，是1/2拍，十六分音分的音长是它的四分之一，是1/4拍，三十二分音符则是1/8拍，其中是不是就有简单的倍数和分数的概念了呢？而休止符除了没有音高之外，其暂停时间的长短和演奏的速度和音符是一致的。表五将归纳出音符、休止符表示长短的关系：表五 音符、休止符表示长短的关系 由表五我们也不难看出，一个全音符等于一个四分音符加一个四分音符之间的数量关系。音符或休止符之间的长短关
13、系常常是运用数学来计算的。（三）演奏速度乐曲演奏时所要表达的意境，除了和调性有关之外，也和演奏的速度有密切的关连。演奏国歌，必须是庄严而隆重的气氛，中板是较适合的，快板就不成体统了；而欢乐歌，使用缓板就欢乐不起来了。其中，所谓的快板、中板、缓板都是音乐里表示速度的术语。德国有位发明家，名叫梅智（J. N. Maelzel）。他曾经为贝多芬制作助听器，也是梅智拍节机Maelzel metronome简写成M. M.的发明者。这种机器其实也是利用简单的钟摆原理设计的，不过摆动一次即算一拍。梅智拍节机的发明嘉惠了许多初学音乐的人，在控制乐曲进行的速度方面帮助极大，而在乐谱里面，我们也常常看见这样的记
14、录形式（见图六）：图六 演奏速度示例 图六中，（1）表示在一分钟里面，必须唱奏60个四分音符，就是60拍；（2）表示在一分钟里面，必须唱奏120个二分音符，即120拍；（3）表示在一分钟里面，必须唱奏60到66个附点四分音符；（4）表示在一分钟里面，必须唱奏大约100个四分音符。这些符号的记录形式都是在告知，妳/你必须按照什幺样子的速度前进，不得太慢或超速，否则，就有可能把送葬进行曲变成军队进行曲而闹笑话了。在乐曲当中，有了这些速度概念以后，不必实际演奏，我们就可以轻易计算出一首乐从头到尾演奏一遍所需的时间。图七 小小世界（片段） 图七这首小小世界的乐曲（片段），它的速度是每分钟演奏132拍，
15、全曲总共是41664拍，所以，641320.48 0.486029（秒），演奏完毕大约是半分钟。所以我们如果利用这种方式，把许多乐曲的演奏时间事先都算出来，就可以应用于安排音乐表演节目或用于录音时，曲目的编排等。音乐是时间的艺术，时间不就是数学当中，学生必须学习的重要概念之一吗？其实音乐中的速度，也就是音乐里的节奏，对音乐学习者而言是很重要的，音乐节奏感很好的人，他/她在音乐的表现上必然不差，而同样的，他/她的速度感也会不错，速度在数学里是一种量感，也是重要的数学概念，所以，我们也相信音乐节奏感很好的人，对于学习数学有关速度这部分的概念，应该是有所助益的。五、音乐与数学理解能力1993年美国威
16、斯康辛大学心理学教授罗丝雀，对其校内的大学生进行一项实验发现，听莫扎特的钢琴协奏曲可以提高大学生的智商，同时增强其几何与空间的思考能力；英国也有科学家曾经利用白老鼠作实验，首先，将白老鼠分成两组，并且训练其走迷宫，刚开始这两组白老鼠平均花了三分钟可以走完，之后，其中一组整天听着巴哈、莫扎特、贝多芬的音乐，另一组则听重金属的音乐，过了半个月后，再让牠们走一次迷宫，结果听古典音乐那一组半分钟就走完了，而听重金属的那一组花了十分钟还没走完（施沛琳，民89）。由这两个实验研究可以证明，听音乐对于人们的数理能力（或记忆能力）是有影响的。以下介绍几位音乐家所作的音乐，是有助于人们数理能力的，如：1. 巴哈
17、：他的音乐可以说是把音符排列组合的各种关系发挥的淋漓尽致，其复音的手法等于是一种水平的双向思考，其赋格的手法，相当于演绎法的开展，透过他的作品的熏陶，可以提高人的记忆力。2. 莫扎特的交响协奏曲、韦瓦弟的小提琴协奏曲，有助于抽象逻辑能力的发展。3. 史麦塔纳的莫尔道河、柴可夫斯基的迪米黎的法兰西斯卡幻想曲皆可以训练大脑对符号的解读能力。六、如何统整数学与音乐于教学活动之中要将数学和音乐作统整或联结，比较容易的作法是，以音乐有关的情境为背景，让学生一边探索与音乐有关的问题，一边运用数学的经验来解决问题。如此，学生不仅仅学到了乐理，同时也学习到了我们希望学生学到的数学概念。底下将举出两个适合于小学
18、六年级程度的例子，教师可以在数学课当中运动，也可以和音乐老师沟通，利用上音乐课的时间，让学生从事这样的解题活动。例一（引自SMP 11-16, 1986）：当我们要演奏吉他的时候，我们必须要调音，也就是调整吉他上面弦的松紧度，使它发出来的声音符合标准音高；吉他演奏者利用他的手指头控制弦振动的长度，使声音产生变化，以演奏乐曲（见图八）。图八 图九 如果弦振动的长度减半（2），其频率会加倍（2），产生的声音会高八度，例如：一条弦振动的频率是每秒440次，产生的声音是标准音A，若弦的长度减半，其频率则会变成每秒880次，产生的音是高八度的A。所以，声音的频率与振动的弦长度呈反比例的关系。1.范例：有
19、一条弦经过调音之后，它的长度是70公分，振动频率是110Hz。如果要让它发出频率为185 Hz的声音，长度必须调整为多少？（1）首先，计算频率由110 Hz增加到 185 Hz的倍数：1851101.68（倍）（2）我们已经知道长度和频率呈反比例的关系。所以，频率增加1.68倍，长 度则减少1.68倍。701.6841.6（公分）（见图九）（3）图十的键盘表是A这个音的振动频率。图十 音的振动频率 2.问题练习：在钢琴上，低两个八度的A音，这条弦振动的频率是每秒110次（110Hz），假设这条弦长是70公分，如果要使这条弦产生如表六的音，长度各是多少？表六 问题练习 低音A 低音B 低音C 低
20、音D 低音E 低音F 低音G 频率 110 124 131 147 165 175 196 长度 70 3.在吉他上面可以看到许多的小格子，可以用来帮助演奏者按出正确的音高，而这些格子也是利用类似上面的方法计算之后画上去的（见图十一）。图十一 吉他（局部） 例二 一年一度的音乐比赛就要到了。今年子轩想要参加直笛独奏的比赛，他看到报名表上面必须填写出指定曲和自选曲演奏的时间，正在伤脑筋，因为指定曲赏月舞的乐谱（徐松荣，民88）才刚拿到（见图十二），一时找不到录音带或CD可以听范奏，又不熟悉曲子，也不太会吹，怎么办呢？我们来帮他想想好吗？图十二 赏月舞（片段） 1.首先，查查看赏月舞吹奏的速度是多
21、少？2.拍号是什么意思？3.依据拍号，这首乐曲共唱几小节？几拍？4.根据以上的资料，算算看这首曲子演奏完大约需要几分几秒？由以上这两个例子来看，当我们在做教学或教材的设计时，教师有必要同时了解音乐中的乐理以及数学当中我们要学生学习的数学概念。因此，无论是对一般级任老师或是音乐老师单方面而言，有可能会产生困难，所以，教不同科目之间的老师，利用协同教学是有其必要的。七、结论从以上的论述，我们可以清楚的看到，数学与音乐很自然地联结为一体，而这一体刚好有两个面，一个是代表理性的数学，另一则是感性音乐。在本文，作者已企图将理性与感性的结合作了批注，九年一贯课程中，十大基本能力的内涵其中统整能力即主张理性
22、与感性应该互相调和。而我们也看到了在数学之中，虽然听不见声音，但是它的规律、它的和谐与它的美，与音乐是相通的；而在音乐里头，从音符的长短到曲式的铺陈，数学的影子更是无处不在。学习数学和音乐，除了能获得有关的知识之外，也是促进思想清晰、明确、简炼的最好途径（欧阳绛，民85）。此外，培养欣赏数学的能力也是九年一贯课程数学领域里所期待的教育目标之一（教育部，民88）。因此，从本文开启数学与音乐的对话当中，我们期盼藉由阐释数学与音乐的关系，所带给读者的启示，不仅仅是数学与音乐在教学当中，可以作统整跟连结而已，更希望的是大家在日常生活中，欣赏音乐之余，也能以同样的心情和态度，来欣赏数学的美与数学的价值。
23、参考资料1. 王怀权编着（民70）。数学发展史。台北：协进图书。2. 施沛琳（民89）。IQ进步，记忆加分。载于联合报89.8.26，第42版。3. 教育部（民82）。国民小学课程标准。教育部编印。4. 教育部（民88）。国民教育九年一贯课程纲要（草案）：数学学习领域。教育部。5. 徐炎章、吴开朗、唐煌、周金才（民87）。数学美学思想史。晓园。6. 徐松荣编曲（民88）。赏月舞。载于林铠陈编选：笛声传乡情。新竹市立直笛合奏团。7. 张祖贵译（民84）。M. Kline着，西方文化中的数学。九章。8. 黄嘉彦、张如梅（民89）。科学与音乐的对话。科学月刊，第三十一卷第六期，页518-527。9. 蔡聪明（民83）。音乐与数学：从弦内之音到弦外之音。数学传播，第十八卷第一期，页78-96。10. 欧阳绛（民85）。数学的艺术（页V，272-273）。台北市：11. SMP 11-16 yellow serise. Bk Y3. （1986）. Cambridge University Press.
