1、高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2011，全国I
2、,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1:已知数列中，求.变式:（2011，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2010. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例1:已知数列中，,，求。变
3、式:（2011，全国I,理,本小题满分12分）设数列的前项的和， （）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的
4、通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.变式:（2011，陕西,理,本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2010,江西,文本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通
5、项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2011，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2010,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=
6、2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2011，江西,理,本大题满分14分）1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列满足时，求通项公
7、式。4、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。5、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例1：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例2：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式:（2011，重庆,文,本小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求类型12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2010，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD6
