1、以 a,-b,2 u 0 为方向向量的直线。sin, a cossin , a sin 上任意点的切平面和法线方程。3求球面 r = a cos解 r =a sincos， r =a cos, a cos cosxyz任意点的切平面方程为即 xcos cos+ ycos+ zsin- a = 0；法线方程为z a sin。cos sin4求椭圆柱面 x2y21 在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此a2b2曲面只有一个切平面 。解 椭圆柱面x221 的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,r a sin ,b cos ,0 , rt 0,0,1 。所以切平面
2、方程为：x a cosy b sintb cos0 ，即 x bcos + y asin a b = 01此方程与 t 无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。5证明曲面 u, v, a 3 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv数。证ru 1,0,a 3 ， rv 0,1, 。切平面方程为： xz 3u2 vuv 2v与三坐标轴的交点分别为 （3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0,3a2） 。于是，四面体的体积为：V1 3| u | 3 | v | 3a39 a3 是常数。6| uv | 曲面
3、的第一基本形式1.（u-v ） ,2uv 的第一基本形式 .求双曲抛物面 r a（ u+v）, b解ru , ,2 ,a,2 ,42 ,a b v rvb uE ruFrvb 24uv, Ga 24u 2 , I =（a 24v 2 ）du 24uv）dudv（ a 24u 2 ） dv 2 。sin v ,bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互求正螺面 r = u cos v ,u相垂直。cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b ， Eru21 ， F ru rv 0 ，Gu 2b 2 ，I =du 2（u 2b 2 ）dv 2 ，坐标曲线互相垂直。在第一基本形
4、式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u = v 的曲线的弧长。解 由条件 ds2sinh 2 udv 2 , 沿曲线 u = v有 du=dv ，将其代入 ds2 得ds 2sinh 2 udv 2 = cosh2 vdv2 ，ds = coshvdv ,在曲线 u = v 上，从 v1 到 v 2 的v2cosh vdv | | sinh v2sinh v1 | 。弧长为 |v14设曲面的第一基本形式为 I = du 2a 2 ）dv 2 ，求它上面两条曲线 u + v= 0 ,u v = 0 的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，
5、而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E1，Fv0 ，2 ，G u曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0, 交点处的第一类基本量为E1 ，0 ， G a 2 。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u v = 0的方向为 u= v ,设两曲线的夹角为，则有cos =Edu uGdv uGdv2E u 2G v 2Edu25求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x,y = y0 的交角 .=x,y,axy,坐 标曲线 x = x 0的向 量表 示为解 曲面 的向
6、 量表 示为 r= x 0 ,y,ax 0 y =x ,，其切向量 r y =0 ，1，ax 0 ；坐标曲线 y = y0 的向量表示为 ry0 ,ax y 0 ，其切向量 rx =1 ，0，a y0 ，设两曲线 x = x 0 与 y = y0的夹角为，则rx r ya 2 x0 y0有 cos =| rx | r y |1 a2 x02 1 a 2 y026.求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的方程 .解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 u: v , 则有Edu u + F（du v + dv u）+ G d v v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du
7、得 u- 曲线的正交 的微分方程 E u + F v = 0 .同理可得 v- 曲 的正交 的微分方程 Fu + G v = 0 .7.在曲面上一点 , 含 du ,dv 的二次方程 Pdu 2 + 2Q dudv + R dv 2 ，确定两个切方向（ du ：dv）和（ u ：v）， 明 两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ+ GP=0. 明 因 du,dv 不同 零，假定 dv0， 所 二次方程可写成 P（ du ）2 +dv2Qdu + R=0 , 其二根 du ,u ,duu = R ， du + u =2Q 又根据二方Pdv v向垂直的条件知 E duu + F（du + u ）+
8、 G = 0将代入 得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 明曲面的坐 曲 的二等分角 的微分方程 Edu 2 =Gdv 2 . 用分 用、 、d 表示沿 u曲 ，v曲 及其二等分角 的微分符号，即沿 u曲 u， v，沿 v曲 ，沿二等分角 方向 du:dv , 根据 条件 , 又交角公式得（Edu v Fdv u） 2（FduGdv v），即 （ EduFdv） 2（ Fdu Gdv） 2E u 2 ds2G v2 ds 2展开并化 得 E（EG-，消去得坐 曲 ） du=G（EG-F） dv, 而 EG-FEG-F的二等分角 的微分方程 Edu 2 =Gdv 2 .9 曲 面 的
9、第 一 基 本 形 式I =u=av2 ） dv 2，求曲面上三条曲 u = a v,V=1v =1 相交所成的三角形的面 。解 三曲 在平面上的 形（如 ）所示。曲o 城的三角形的面 是u=-avS=u2a 2 duu ）=2dv =2（12 （u23=a 2 ） 2a 2 ln（ ua 2 ） |0a3a= a 2 2ln（12 ） 的面积。10求球面 r = a cos解 r=asin cos, a sin a cos sin , a cos cos ,0E = r 2 = a 2 ,F= r r = 0 , G = r 2 = a 2 cos2 . 球面的面积为：S = 2da 4 c
10、os2 d2 a2 2 cos d2 a 2 sin |24 a 2 .11.,tsin, t1 证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 r =tcos（t1, 0） 之间可建立等距映射=arctgu + v , t=.分析 根据等距对应的充分条件 , 要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu+v , t= u2 1 , 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式 .证明 螺面的第一基本形式为I=2 du 2 +2 dudv+（ u 2 +1） dv 2 ,旋转曲面的第一基本形式为 I
11、= （1t 2）dt 2t 2 d, 在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v ,t =1 ,则其第一基本形式为 :1）1）（2 dudv ）2=（ u 21）du 22 du 22dudv1）dv 2 =2 du 2 +2 dudv+（ u 2 +1） dv 2 = I .1 u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = u2 1 .3 曲面的第二基本形式的第一基本形式 , 第二基本形式 .计算悬链面 r =coshucosv,coshusinv,uru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusinv,coshucosv,0ru
12、u =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,r vv =-coshucosv,-coshusinv,0,2 = cosh2 u,rv =0,2 =cosh2u.所以 I = cosh 2 u du 2 + cosh 2 u dv2 .n = cosh u cos v,cosh u sin v, sinh u sin v ,EGF 2cosh 2L=coshu1 , M=0, N=1 .sinh 2 1sinh2所以 II = -du 2 + dv22. 计算抛物面在原点的 2x35x124x1 x22 x22 第一基本形式 , 第二
13、基本形式 .解 曲面的向量表示为 r x1, x2, 5 x122x1 x2 x22 ,r x1 1,0,5x12x2 （0 ,0）1,0,0 , rx2 0,1,2x12x2 （0 ,0 ） 0,1,0 , rx1 x1 0,0,5 ,r x1 x2 0,0,2 , r x2 x2 0,0,2 , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I= dx12dx22 , II=5dx124dx1 dx22dx22 .3.cosv ,u sin v ,bv,- u,v 处处有 EN-2FM+GL=0。证明对于正螺面 r =ur ucosv, sin v
14、,0, r vu sin v, u cos v ,b， ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0,E ru21 ， Frv 0 ，b 2 ， L= 0, M =, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .4.求出抛物面 z1 （ax 2by2 ） 在 （0,0） 点沿方向 （dx:dy）的法曲率 .解 r x1,0, ax （ 0, 0）1,0,0 ,r y 0,1, by （ 0, 0） 0,1,0 , r xx 0,0, a , rxy 0,0,0r yy 0,0, b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0
15、,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率 knadx2bdy 2 .dx 2dy 25.已知平面到单位球面 （S） 的中心距离为d（0d1）, 求 与（S） 交线的曲率与法曲率 .解 设平面 与（S）的交线为 （C）,则 （C） 的半径为 1 d 2 , 即 （C） 的曲率为kd 2, 又 （C） 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于d 2 , 所以（C） 的法曲率为 kn1 .6.利用法曲率公式 knII, 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基I本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标
16、 （u,v） ，沿任意方向 du:k nLdu 22MdudvNdv 21 或 -，所以 LMN （1 ） ，即第一、第二Edu 22FdudvGdv 2R类基本量成比例。7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv ， u sin v ,u cos v, b ， ruu=0,0,0， r vv=-ucosv,-usinv,0L= （ru , rv , ruu ） =0, N=（ru , rv , rvv ）=0 . 所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线。而EG F 2族曲线是直线， v 族曲线是螺旋线。8. 求曲面 z xy 2的渐近线 .
