1、还有其它的列法吗？试说明原因.（20-x）（32-2x）=57032-2x20-x3220观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:都是整式方程;只含一个未知数;未知数的最高次数是2.x2-36x35=0 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a,b,c为常数,a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx+c=0（a,b,c为常数,a0）ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.bx 称为一次项,b称为一次项系数.c 称为常数项.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的
2、一般形式是一元二次方程的一般形式是想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a=0 时bxc=0 当 a 0，b=0时，ax2c=0 当 a 0，c=0时，ax2bx=0 当 a 0，b=c=0时，ax2=0 总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.典例精析例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？（2）x3+x2=36（3
3、）x+3y=36（5）x+1=0 （1）x2+x=36例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？（1）ax2x=2x2（2）（a1）x|a|+12x7=0.解：（1）将方程式转化为一般形式，得（a-2）x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程；（2）由a+1=2，且a-10知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值变式：方程（2a-4）x22bx+a=0,（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解（1）当
4、2a40，即a2时是一元二次方程（2）当a=2且b0时是一元一次方程一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？与联系？ax=b （a0）ax2+bx+c=0 （a0）整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2 例3：将方程3x（x-1）=5（x+2）化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程
5、的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意一元二次方程的根二u一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6=0 的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.例4：已知a是方程x2+2x2=0 的一个实数根,求2a2+4a+2018的值.解：由题意得方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整
6、体，再用整体思想代入求值当堂练习当堂练习 1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0（x+3）（2x-4）=x23y2=（3y+1）（y-2）x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-24.已知方程已知方程5x+mx-6=0的一个根为的一个根为4，则的值，则的值为为_3.关于关于x的方程的方程（k21）x2 2（k1）x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程114.（1）如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分
7、的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.整理，得根据题意有，200cm150cm（2）如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x整理，得根据题意有，5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-96.若关于x的一元二次方程（m+2）x2+5x+m2-4=0有一个
8、根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=2.m+2 0，m-2，综上所述：m=2.拓广探索已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得思考:1.若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根吗?由题意得方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根吗?x=2课堂小结课堂小结一 元 二次 方 程概 念是整式方程；含一个未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 （a
9、0）其中（a0）是一元二次方程的必要条件；根使方程左右两边相等的未知数的值.21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直接开平方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.（难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p0）的方程.（重点）1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a（a 0）,则x=.3.如果 x2=64,则x=.84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完1
10、0个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2=4（2）x2=0（3）x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.（2）当p=0 时，方程（I）有两个相等的实数根 =0；（3）当p0 时，根据平方
11、根的意义，方程（I）有两个不等的实数根 ，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:（1）x2=6；（2）x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.典例精析在解方程（I）时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3）2=5，得得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解
12、题归纳例2 解下列方程：（x1）2=2；解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.x1=，x2=（3）12（32x）23=0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.2
13、5.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5解：方程的两根为方程的两根为解：方程的两根为方程的两根为例3 解下列方程：1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 （C）4（x-1）2=9,解方程，得4（x-1）=3,x1=;x2=（D）（2x+3）2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（）（A）x2=-2,解
14、方程，得x=（B）（x-2）2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D（1）方程x2=0.25的根是 .（2）方程2x2=18的根是 .（3）方程（2x-1）2=9的根是 .3.解下列方程：（1）x2-810；（2）2x250；（3）（x1）2=4.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.2.填空填空:x19,x29；x15,x25；x11,x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.解：不对，从开始错，应改为解方程解方程:挑战自我挑战自我解：方程的两根为方程的两根为课堂小结课堂小结直接
15、开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p（p 0）或（x+n）2=p（p 0）.一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入（1）9x2=1；（2）（x-2）2=2.2 2.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:（1）x2+6x+9=5；（2）x2+6
16、x+4=0.把两题转化成（x+n）2=p（p0）的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.（1）a2+2ab+b2=（）2；（2）a2-2ab+b2=（）2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=（x+）2（2）x2-6x+=（x-）2（3）x2+8x+=（x+）2（4）x2-x+=（x-）2你发现了什么规律？222323424二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+（）2=（x+）2配方的方法用配方法解方程二合作探究怎样解方程:x2+6x+4
17、=0 （1）问题1 方程（1）怎样变成（x+n）2=p的形式呢？x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n）2=p的形式，将
18、一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解例1 解下列方程：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,（x4）2=15由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项
19、时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；降次；解一次方程解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 （x+n）2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则（x+n）2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0，当b2-4ac 0时，a 0,4a20，当b2-4ac 0时，而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的根
20、由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 （a0），当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.注意 用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0（a0）;2.b2-4ac0.视频：求根公式的趣味记忆公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=（-4）2-45（-12）=2560.典例精析例2 解
21、方程：化简为一般式：即：这里的a、b、c的值是什么？例3 解方程：（精确到0.001）.解：用计算器求得：例4 解方程：4x2-3x+2=0因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出;若b2-4ac 0 =0 0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac-1B.k-1且k0C.k1D.k0，同时要求二次项系数不为0，即，k0.解得k-1且k0，故选B.B例7:不解方程
22、，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9;（3）7y=5（y2+1）.解：（1）3x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3,b24ac=3243（3）=520.方程有两个不相等的实数根 （2）方程化为：4x212x+9=0,b24ac=（12）2449=0.方程有两个相等的实数根例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（3）7y=5（y2+1）.解：（3）方程化为：5y27y+5=0,b24ac=（7）2455=510.方程有两个相等的实数根1.解方程：x2+7x 18=0.解：这里a=1,b=7,c=-18.b2-4ac=7241（-18）=1210,即x1=-
23、9,x2=2.当堂练习当堂练习2.解方程（x-2）（1-3x）=6.解：去括号，得x 2-3x2+6x=6,化简为一般式3x2-7x+8=0,这里a=3,b=-7,c=8.b2-4ac=（-7）2438=4996=-470,即x1=x2=4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 .注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.解：5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0;（3）x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,b2-4ac=32-42（-4）=410.方程有两个不相
24、等的实数根 （2）x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.b2-4ac=（-1）2-41=0.方程有两个相等的实数根（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.b2-4ac=（-1）2-411=-3 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1 x2=6.（2）2x2-3x-2=0.解：这里a=2,b=-3,c=-2.=b2 -4ac=（-3）2 4 2（-2）=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1
25、.例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两
26、个根，则:（1）x1+x2=,（2）x1x2=,（3）,（4）（4）.411412练一练例4：设x1，x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得x1+x2=2（k-1）,x1 x2=k 2.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2 =4（k-1）2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.u总结常见的求值:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两
27、根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.1-2-33.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1）（x2+1）=4；（1）求k的值；（2）求（x1-x2）2的值.解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2
28、）+1=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以 则：5.设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.（1）（x1+1）（x2+1）;（2）解:根据根与系数的关系得：（1）（x1+1）（x2+1）=x1 x2+x1+x2+1=（2）6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2（x1x2），则x1-x2=1（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-
29、x2=1 求m的值.解：（1）方程有实数根m的取值范围为m0（2）方程有实数根x1,x2（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=1解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两个根分别是x1、x2，那么应 用21.3 实际问题与一元二次方程第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 传播问题与一元二次方程 学习目标1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并
30、建模解决问题.视频引入导入新课导入新课导入新课导入新课图片引入传染病，一传十,十传百 讲授新课讲授新课传播问题与一元二次方程一引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：合作探究第第2 2轮轮小明小明1 12 2x第第1 1轮轮第第1轮传染后人数轮传染后人数x+1小明小明第第2轮传染后人数轮传染后人数x（x+1）+x+1注意：不要忽视小明的二次传染x1=,x2=.根据示意图，列表如下：解方程解方程,得得答答:平均一个人传染了平均一个人传染了_个人个人.10-12（不合题意,舍去）10解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（1
