1、企业退休职工养老金问题的数学模型企业退休职工养老金制度的改革企业退休职工养老金问题的数学模型摘要 本文主要对山东省职工未来的工资进行预测分析，并利用预测数据来推算职工养老金替代率和未来职工的养老金缺口情况和收支平衡进行分析与计算。针对问题一提出的山东省职工的年平均工资预测问题，我们建立了阻滞增长模型和灰色预测模型。利用MATLAB软件采用最小二乘法进行曲线拟合和参数求解，计算结果表明灰色模型能较精确进行职工年平均工资的预测。 对问题二，首先计算各年龄段职工工资与企业平均工资的比值，结果为20-24岁比值为0.67；25-29岁比值为0.80；30-34岁比值为0.98；35-39岁比值为1.0
2、7；40-44岁比值为1.17；45-49岁比值1.27；50-54岁比值为1.21；55-59岁比值为1.16。针对养老金替代率的问题，我们先推出其计算公式，然后计算得到30-55岁的替代率为29.5%，30-60岁的替代率为35.9%，30-65岁的替代率为44%，40-55岁的替代率为18.9%，40-60岁的替代率为25.6%，40-65岁的替代率为34%。 针对问题三提出的缺口情况和收支平衡问题，我们推导其计算公式并求解得：55岁退休养老金缺口为2183784元，在2034年二月达到收支平衡;60岁退休养老金缺口为2369496元，在2038年一月达到收支平衡;65岁退休养老金缺口为
3、978671元，在2043年一月达到收支平衡。 针对问题四我们主要从开始工作年龄、开始退休年龄、平均预期寿命、基础养老金的敏感度分析得出推迟职工的开始工作年龄有利于减轻缺口，退休年龄提高1 岁, 则总贡献因缴费年限的延长而增加, 同时, 基础养老金因给付年限的缩短而减少，平均预期寿命提高1% , 缺口就增加8.15% , 十分敏感，基础养老金给付率的变动不影响贡献却影响给付。关键词： 养老金，数据拟合,灰色预测模型，工资预测，替代率，一、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按
4、一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展
5、的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预
6、测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又
7、要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型假设1）未来几年中国经济和城镇职工的平均工资增长平稳发展，增长率基本保持恒定，忽略其他对经济构成影响的因素（如：金融危机，战争等）：2）职工退休时间都在每年12月底，养老金领取在次年1月；3）银行计息方式以复利计，年利率设为3%；4）对附件二，假设各年龄段职工在各段月收入范围内均匀分布，各段的月收入用组中值代替；5）退休后按年领取养老金。三、符号说明1）：个人账户养老金计发月数；2）：本人指数化月平均缴费工资；3）：个人账户养老金；4) ：基础养老金；5）：养老金替代率；6) ：参保人员缴纳年后养老金基金账户总额；7）
8、：参保人员退休前第年的社会平均工资；8）：参保人员退休前第年本人缴费工资额；9）：退休前第年的缴费指数；10）：从2000年起，第年的个人工资；11）n：企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计；12）：企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限；四、模型建立与求解4.1 问题一的建模从国家统计数据库网站查得20002009年的人均国内生产总值和城镇职工平均工资的统计数据资料（见表1），我们分别计算出人均国内生产总值和城镇职工平均工资的环比发展速度，对以上两个时间数列的环比发展速度计算分析可以得出：我国进入21世纪后经济稳步发展，人均国内生产总值的平均发展速度是114%，其平均增长速度是14%；
9、城镇职工平均工资的平均发展速度是115%，其平均增长速度是15%。由以上分析我们可以做出第二部分的模型假设1：未来几年中国经济和城镇职工的平均工资平稳增长，增长率基本保持恒定，具体参考值可以采用以上的平均发展速度。对题目所给的附表1，我们计算得到逐期增长量、二级增长量和环比发展速度，建立了山东省职工历年平均工资统计表（表2）。以上三个统计指标中逐期增长量和二级增长量波动较大，故对山东省职工年平均工资预测不适合用直线趋势线方程和抛物线趋势方程进行预测，而环比发展速度相对恒定，计算得其平均发展速度约为113%，故在以下预测中我们首先建立了指数增长模型，然后对其进行改进，建立了阻滞增长模型，最后我们
10、还建立灰色预测模型进行比对分析。4.1.1 模型一（阻滞增长模型）因为山东省职工历年平均工资数列的各期环比发展速度大致相同，所以选用指数趋势线对原数列进行拟合。指数曲线的一般方程为 （1）表示第年的职工年平均工资，为待定参数，它表示第年变量等于基期水平乘上一般发展速度的次方。指数曲线方程的求解方法一般是先将指数方程两边取对数化为直线方程，即：令则： （2）采用1978年至2010年的数据进行拟合，用MATLAB软件计算可得，。用上面所得到的参数和代入（1）式，得到，将的数值代入得到20112035年山东省职工年平均工资的预测值（见表3）。通过表3中预测数据的分析，我们发现用指数增长模型所得的预
11、测值在后面几年的逐期增长量过大，不符合实际的期望值，所以我们对指数模型进行修改，建立阻滞增长模型。 由于物价水平，自然资源等社会因素对职工工资增长起着阻滞作用，并随着工资的增长阻滞作用越来越大，所谓阻滞增长模型就是考虑到这些因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对工资增长率的影响上，使得随着工资的增加而下降，我们将表示为的函数。对的一个简单的假定是，设为线性函数，即 （3）这里称固有增长率，表示经济不发达时（理论上是）的自然增长率。为了确定的意义，引人自然资源和环境条件所能达到的最高工资额，称为工资容量。当时工资的增长率趋于0，可设增长率=0，代入（3）式得，于是（3）
12、为 （4）（4）式的另一种解释是，增长率与工资容量尚未达到部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。 因为单位时间内 的增量等于乘以，考虑到时间内工资的增量，显然有。令，得到满足微分方程 ， （5） 将（4）代入方程（5）得 （6）方程（6）右边的因子体现工资的增长趋势，因子则体现了资源和物价等因素对工资增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，工资增长是两个因子共同作用的结果。 对方程（6）我们可以采用分离变量法，求解得 （7）为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，我们将方程（6）表为， （8）我们利用1978年至2010年的山东省职工历年平均工资数据，用MATLAB
13、软件拟合得，将其代入（7）式得到阻滞模型为 （9）由上式，我们可以预测出2011-2035年的山东省职工年平均工资（见表4）由于最高工资限额的阻滞作用，所以用这个模型所得的预测值相对较小。4.1.2 模型二（灰色预测模型）灰色模型是最近几年较为流行的预测模型，它对于影响因素要求不高，不必考虑多种因素对经济发展影响的情况下可以保证较高的求解精度。接下来我们建立灰色预测模型GM(1,1)对20112035年的山东省职工年平均工资进行预测，用于对阻滞模型的对比分析。记其中表示第年山东省职工年平均工资值。第一步：令为GM（1，1）建模序列，表示灰导数其中，第二步：令为的AGO序列，对作累加生成，即得到
14、新的序列，第三步：令为的均值序列，表示白化背景值 （10）则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为 （11）式中：为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。其中，经变换后得到 （12）在（12）两端同时乘以得，即将代入上式中，可得于是得出时间函数的估计值 （13）根据以上灰色模型的思想，我们编写了相应的MATLAB程序（见附表），利用山东省职工历年平均工资数据，取连续的7年平均工资数据作为初始值，并运用新陈代谢的原理，用下一年的预测值去替换最前面的一个原始数据，保持步长为7。经MATLAB程序运行后得到了2011-2035年山东省职工的年平均工资预测值（见表5）灰色模型具有较高的预测精度，故
15、我们在下面问题的解决中用灰色模型所得的预测值进行分析。4.2 问题二的求解问题2主要解决养老金替代率的计算，我们首先建立养老金替代率的计算公式。根据附件3关于养老金的计算办法，职工退休时的养老金由两部分组成： 养老金=基础养老金+个人账户养老金。个人账户养老金=个人账户储存额计发月数（数据见附件3）,用第三部分的符号表示即个人账户养老金；基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限1% 即基础养老金 ；本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。 能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资指标的计算公式为：。其中为参保人员退休前1年、2年、m年本人缴费工资额；为参保人员退休前1年、2年、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”；n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。称为退休前第i年的缴费指数，i=1,m.替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，计算公式为 （14）先对附件二2009年山东省某企业各年龄段工资分布表进行处理得如下表6，
