1、可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。例4、对没有截距项的一元回归模型Y严们X严儿称之为过原点回归（reg门ssion tluough the origin）。试证明（1）如呆通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组 工 =0则可以得到几的两个不同的估计值：A = Y/X , 6 =（工X必）/（工X：）。（2） 在基本假设（/） = 0下，A与A均为无偏估计量。（3） 拟合线Y = P,X通常不会经过均值点（X,F）,但拟合线Y = x则相反。（4） 只有A是几的OLS估计量。（1）由第一个正规方程工耳=0得工（匕施）=0或 工乙工X,求解得 B严丫丨又由第2个卞规
2、方程工X（匕一久XJ = 0得 求解得 A=（x/）/（x：）（2）对于P，=Y/X.求期望这里用到了纥的非随机性。对于求期望=E（X/ ） =（T）S EX, （A X + M ）=工（X； ） + （t）E X,Eg = A（3）要想拟合值Y = P,X通过点（x,r）, a乂必须等于卩。但6乂= gx产 工X；通常不等于Y。这就意味着点（X Y）不太可能位于直线y = AX上。相反地，由于x = y,所以直线Y = px经过点（x,y）o（4） OLS方法要求残差平方和最小Min RSS二工弓工匕Ax）关于A求偏导得矿=2 工（乙-P*）（-XJ = O工 x。Axj = oA=（yx.
3、）/（yx；可见A是OLS估计量。例5假设模型为Yt=a+px（+ o给定个观察值（x25r2）,，（x”,y“），按如下步骤建立0的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来 并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜 率；最后对这些斜率取平均值，称之为P，即0的估计值。（1） 画出散点图，给出p的几何表示并推出代数表达式。（2） 计算p的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解 释理由。（3） 证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值，并做具体解释。（1）散点图如下图所示。（Xi,Yi）首先计算每条直线的斜率
4、并求平均斜率。连接（乙必）和（X”乙）的直线斜率为（乙；）/（/XJ。由于共有一1条这样的直线，因此（2）因为X非随机且E（/ ） = 0,因此这意味着求和中的每一项都有期塑值0,所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏 的。（3）根据高斯一马尔可夫定理，只有0的OLS估计量是最付佳线性无偏估计量，因此,这里得到的P的有效性不如0的OLS估计量，所以较差。例6.对于人均存款与人均收入之间的关系式=a + pY, 使用美国36年的年度数据得如下估计模型，扌舌号内为标准差：S, = 384.105 +0.067乙（151.105） （0.011）R2 =0.538 & =199.023（1） 0
5、的经济解释是什么？（2） a和0的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话， 你可以给出可能的原因吗？（3） 对于拟合优度你有什么看法吗？（4） 检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假 设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答：（1） 0为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变 化量。（2） 由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此a符 号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期0的符号为正。 实际的回归式中，0的符号为
6、正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与 由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人I I数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对 截距项的估计产生影响：另一种可能就是线性设定可能不正确。（3） 拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度， 表明收入的变化可以解释储蓄中53.8%的变动。（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量 情形下在零假设下t分布的自由度为11-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于 2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09,截距项计算的t值为
7、 384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t值犬于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝 斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。三、习题（一）基本知识类题型2-1.解释卞列概念：1）总体回归函数11）最人似然法2）样本回归函数12）估计屋的标准差3）随机的总体回归函数13）总离差平方和4）线性回归模型14）回归平方和5）随机误差项（U1）和残差项（ej15）残差平方和6）条件期塑16）协方差7）非条件期塑17）拟合优度检验8）回归系数或回归参数18）t检验9）回归系数的估计量19）F检验10）最小平方法2-2.判断正误并说明理由：随机误差项5和残差项&是一回事总体回归函数给
8、出了对应于每一个自变量的因变量的值线性回归模型意味着变量是线性的在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果随机变量的条件均值与非条件均值是一回事2-3.回答下列问题:1） 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不町估计？2） 总体方差与参数估计误差的区别与联系。3） 随机误差项g和残差项&的区别与联系。4） 根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的 拟合优度问题？5） 为什么用决定系数R：评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？6） R2检验与F检验的区别与联系。7） 回归分析与相关分析的区别与联系。8）最小二乘法和最大似
9、然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？9）为什么要进行解释变量的显著性检验？10）是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析?2-2. F列方程哪些是正确的？哪些是错误的？（1）yt = a + /3xt t = 12 ，畀（2）yt = a+Pxt +“ t = 1Z（3）yt = a + pxt +/z / = 1,2,/A A（4）yt = a + J3xt + t = 1,2,/A（5）yt = a + /3 xt f = 1，2,/（6）yt =a + fixf f = 1，2,/（7）yg = a + J3xt + fit t = 1,2,/（8）yt =
10、a + p xt + t = 1,2,/其中带“八”者表示“估计值S23下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正 的、负的、还是无法确定？并说明理由。因变虽自变虽GNP利率个人储蓄小麦产出降雨虽美国国防开支前苏联国防开支棒球明星本垒打的次数其年薪总统声誉任职时间学生计虽经济学成绩其统计学成绩日本汽车的进口虽美国人均国民收入（-）基本证明与问答类题型2-4.对于一元线性回归模型，试证明:（1）E（y,） = & + /?（）:） =（3）S（X，儿）=0 i# j2-5.参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过 程说明，为什么说
11、满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性 和有效性？2-6.对于过原点回归模型丫严卩/严1,试证明2-7.试证明:（1）工匕=0 ,从而：e = 02莎=（3）工耳乙=；即残差与匕的估计值之积的和为零。2-8.为什么在一元线性方程中，最小二乘估计量与极人似然估计量的表达式是一致的？证明：小皿估计量为八挣：，并且是有盹2-9.熟悉t统计量的计算方法和查表判断。2-10.证明：R2=（ryx）2 ；其中R：是一元线性回归模型的判定系数，x是y与x的相关 系数。2-11.试根据置信区间的概念解释t检验的概率意义，即证明：对于显著性水平a,当时，0的100 （1-a ） %的置
12、信区间不包含0。的0均值假设是否可以表示为丄“=0?11 /=!213现代投资分析的特征线涉及如卞回归方程：匚=0o+0】G+；其中：表示股票 或债券的收益率；念表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；t 表示时间。在投资分析中，被称为债券的安全系数B,是用来度量市场的风险程度的， 即市场的发展对公司的财产有何影响。依据19561976年间240个月的数据，Fogler和 Ganpathy得到IBM股票的回归方程；市场指数是在芝加哥人学建立的市场有价证券指数：r, = 0.7264 +1.0598 r,t r2 = 0.4710（0.3001） （0.0728）要求：（1
13、）解释回归参数的意义；（2）如何解释F? （3）安全系数的证券称为不稳定证券，建立适当的零假设及备选假设，并用t检验进行检验（a=5%）。A _2-14.已知模型乙=4 +侏,+%,证明：估计量a可以表示为：a = Yi）yi 这里叱=一2-15.已知两个量X和Y的一组观察值（Xi, yj, 1=1, 2,，na证明：Y的真实值和拟合值有共同的均值。2-16. 一个消费分析者论证了消费函数Ca + bY,是无用的，因为散点图上的点（C,岭） 不在直线C, + 上。他还注意到，有时Y上升但C1下降。因此他下结论：C1不是Y1 的函数。请你评价他的论据（这里G是消费，Yi是收入）。2-17.证明：
14、仅当R?=l时，y对x的线性回归的斜率估计量等于x对y的线性回归的斜率 估计量的倒数。A Q A2-18.证明：相关系数的另一个表达式是：r = 其中“为一元线性回归模型一次项系数的估计值，Sx、Sy分别为样本标准差。2-19.对于经济计量模型:X=bo+0Xf+妁，其OLS估计参数仇的特性在下列情况下 会受到什么影响：（1）观测值数目n增加；（2） Xi各观测值差额增加；（3） Xi各观测值近 似相等;（4） E （u2） =0。2-20.假定有如下的回归结果：乙=2.6911 -0.4795X（,其中，Y表示美国的咖啡的消费量（每天每人消费的杯数），X表示咖啡的零售价格（美元/杯），t表示
15、时间。（1） 这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？做出回归线；（2） 如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？（3） 能否求出真实的总体回归函数？（4）根据需求的价格弹性定义：弹性=斜率X （X/Y）,依据上述回归结果，你能求出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？（三）基本计算类题型2-21. F面数据是对X和Y的观察值得到的。LYlllO： EX】=168O： 2X=204200L Xr=315400； L Yr=133300假定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求：（1）5和S? （2） bi和X的标准差？（3）1-?（4）对内、氏分别建立95%
16、的置信区间？利用置信区间法，你可以接受零假设：B-0 吗？2-22.假设王先生估计消费函数（用模型Ca + b+u,-表示），并获得下列结果：C, =15 + 0.81-, n=19（3.1） （18.7） R-=0.98 这里括号里的数字表示相应参数的T比率值。（1）利用T比率值检验假设：b=0 （取显著水平为5%）； （2）确定参数估计量的标准方差；（3）构造b的95%的置信区间，这个区间包括0吗？2-23. F表给出了每周家庭的消费支出Y （美元）与每周的家庭的收入X （美元）的数据。每周收入（X）每周消费支出（Y）8055, 60, 65, 70, 7510065, 70, 74, 8
17、0, 85, 8S12079, 84, 90, 94, 9S14080, 93, 95, 103, 108, 113, 115160102, 107, 110, 116, 118, 125ISO110, 115, 120, 130, 135, 140200120, 136, 140, 144, 145220135, 137, 140, 152, 157, 160, 162240137, 145, 155, 165, 175, 189260150, 152, 175, 178, ISO, 185, 191（1） 对每一收入水平，计算平均的消费支出，E （Y | X：）,即条件期望值：（2） 以收
18、入为横轴、消费支出为纵轴作散点图；（3） 在散点图中，做出（1）中的条件均值点；（4） 你认为X与Y之间、X与Y的均值之间的关系如何？（5） 写出其总体回归函数及样本回归函数；总体回归函数是线性的还是非线性的？2-24.根据上题中给出的数据，对每一个X值，随机抽取一个Y值，结果如下:Y70659095110115155150X180（1） 以Y为纵轴、X为横轴作图，并说明Y与X之间是怎样的关系？（2） 求样本回归函数，并按要求写出计算步骤；（3） 在同一个图中，做出样本回归函数及从上题中得到的总体回归函数：比较二者相同吗?2-25. T表给出了 19901996年间的CPI指数与S&P500指
19、数。年份CPIS&P500指数1990130.7334.591991136.2376.181992140.3415.741993144.5451.411994148.2460.331995152.4541.641996159.6670.83资料来炼：总统经济报告1997. CPI 第3S0贞：P抬故见含B-93.第406贞.（1）以CPI指数为横轴、S&P指数为纵轴做图：（2） 你认为CPI指数与S&P指数之间关系如何？（3） 考虑下面的回归模型：（S& P）,=Bl+BP_+,根据表中的数据运用OLS 估计上述方程，并解释你的结果；你的结果有经济意义吗？2-26. F表给出了美国30所知名学
20、校的MEA学生1994年基本年薪（ASP）、GPA分数（从 14共四个等级）、GMAT分数以及每年学费的数据。学校ASP/美元GPAGMAT学费/美元Harvard1026303.465023894Stanford1008003.366521189Columbian10048064021400Dartmouth9541066021225WhaxtonS993021050NorthwesternS464020634ChicagoS321021656NflTS05003.521690Virginia742803.264317839UCLA7401014496Berkeley719706471436
21、1Cornell63020400NUY7066020276Duke7049062321910Carnegie Mellon5989063520600North Caiolma6988062110132Michigan6782020960Texas618906258580Indiana5852061514036Purdue547205819556Case Western572003.159117600Georgetown6983061919584Michigan State4182059016057Perni State4912058011400Southern Methodist6091060
22、018034Tulane4408019550Illinois4713061612628Lowa416209361Minnesota482501261SWashington4414061711436（1）用双变量回归模型分析GPA是否对ASP有影响？（2） 用合适的回归模型分析GMAT分数是否与ASP有关？（3） 每年的学费与ASP有关吗？你是如何知道的？如果两变量之间正相关，是否意 味着进到最高费用的商业学校是有利的；（4） 你同意高学费的商业学校意味着高质量的MEA成绩吗？2-27.从某工业部门抽取10个生产单位进行调查，得到下表所列的数据：单位序号年产虽（万吨）y工作人员数（千人）X1210.87.0622210.17.0313211.57.018420S.96.9915207.46.974620537.9537198.86.9278192.16.3029183.26.02110176.8
