1、概率论与数理统计习题库第三章长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417#00001已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为X10Y-101pX0.40.6PY0.20.30.5分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。（X，Y）(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-1102
2、1从上表可以确定Z的取值域为0,1,W的取值域为-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。例如PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W的分布律分别为：Z01W-1012PZ0.30.7PW0.120.260.420.2#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令(1)求(X,Y)的分布律。(2)求X与Y的相关系数*00002解：（1）显然X、Y的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而PX=1，Y=1=P两次均摸到红球=，同理计长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417算其它的Pij，故有(X,Y)的分布律为：1011/103/1003/103/
3、10（2）#00003设(X,Y)具有概率密度，1)求常数c；2)求PY2X ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域由归一性 图3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在X0.5,Y0.5区域（见如图G1）上的概率。故有#00004已知(X,Y)的分布函数为 （1）求X与Y的边缘概率密度。（2）问X与Y是否相互独立？*00004解：（1） （2）#00005(X,Y)的分布函数为.（1）求X与Y的联合概率密度及边缘概率密度。（2）问X与Y是否不相关？*00005解：（1）先求出(X,Y)的概率密度（
4、2）#00006已知(X,Y)的分布律为xy1011/103/1001/103/10（1）边缘分布律。（2）求X、Y的相关系数，（3）问X与Y是否不相关？*00006解：（1）xy10pi.11/103/102/503/103/103/5p.j2/53/503/103/10（2）（3）#00007已知(X,Y)的概率密度为，（1）求X、Y的边缘分布函数（2）问X与Y独立吗？*00007解：（1） 故与不独立。 #00008已知随机变量(X,Y)的分布律为X Y1200.150.151且知X与Y独立，（1）求、的值。（2）令，求X与Z的相关系数*00008解：（1）首先，+=1-0.15-0.1
5、5=0.7又X与Y独立，由定理3.2.3.=(+)(0.15+)=0.35=0.7-0.35=0.35（2）#00009甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。*00009解：设甲于8点零分钟到达、乙于8点另分钟到达。由题意，与独立且U(0,60)（分）,YU(0,60)（分）,两人能见面等价于15。为求p|X-Y|15需求出(X,Y)的概率密度。由定理3.2.2. 图 #00010(X,Y)的概率密度为（1）试判断 （X,Y)的独立性。（2）问X与Y是否不相关？*00010解：（1）A=2求各一维边缘密度
6、函数fX(x)= 类似可得 故X，Y相互独立。（2）X与Y独立，故X与Y是不相关的。#00011设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。*00011解：本题已知随机变量X的分布律Pi:Px=i=由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布，即Y|X=iB(I,0.8),故有又由式(3.3.2),PX=i,Y=j=P(Y=yj|X=xiPX=xi,于是，(X,Y)的分布律为：#00012将一枚硬币连抛三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次
7、中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X，Y)的联合分布律、关于X和Y的边缘分布律*00012解：设“第i次出现正面”(i1，2，3)，则此随机试验共包含8个基本事件，它们及相应的(X，Y)取值为从而，(X，Y)的联合分布律为将其填入表格，进而得边缘分布律：#00013已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0Y3*00013解：#00014设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。*00014解：此题显然是已知(X,Y)的分布，求S=XY的概率密度问题。(X,Y)的概
8、率密度为 图2.7S的分布函数为FS(s)=PSs=PXYs当s0时，FS(s)=0当s2时，FS(s)=1现在，设0ss, 位于曲线xy=s下方的点满足xy0，0,（1） （1） 若系统L由L1,L2串联而成试写出L的寿命Z的概率密度（2） （2） 若系统L由L1,L2并联而成试写出L的寿命Z的概率密度*00017解：（1）由于当L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)由已知得，X、Y得分布函数分别为 Zmin(X，Y)的分布函数为于是，Zmin(X，Y)的概率密度为（2）由于当且仅当都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y
9、)Z的分布函数为FZ(z)=FX(z)FY(z) =于是，Z=max(X,Y)的概率密度为#00018设(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为试求P(XY)*00018#00019(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求关于X和关于Y的边缘密度函数；（3）问X与Y是否相互独立？ *00019解（1）根据得 （4分）（2） （8分） （10分）（3），X与Y不独立。#00020(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求；*00020解（1）根据得 （4分） （2） （8分） （12分）#00021(12分)设随机变量（X，Y）的联合
10、密度函数为（1）求常数C；（2）求Z=X+Y的密度函数*00021解（1）根据得 （4分） （2）根据两个随机变量和的密度函数公式 （6分）得当z0时，而当z0时 （10分）因此 （12分）#00022(14分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数*00022解（1）根据得 （4分）（2）当x0时，。当x0时， （6分）即 （8分）所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为 当x0时，当x0时， （12分）因此m的密度函数为 （14分）#00023 一台机器制造直径为X的轴，另一台机器制造内径为的轴套。设（X,Y）的
11、密度函数为 如果轴套的内径比轴的直径大0.004但不大于0.036，则两者就能很好地配合成套。现随机地选择轴和轴套，问两者能很好地配合的概率是多少？*00023解：设A轴与机器配套#00024 一电子部件含两个主要元件，它们的寿命(以小时计)分别为X和Y。设(X，Y)的分布函数为 （1） （1） 求两元件寿命都超过120小时的概率。 （2）求至少有一元件寿命超过120小时的概率。*00024（2）#00025设X与Y的联合密度函数为 求P(X+2Y1) *00025解：注意到：f(x，y)的表达式中含未知数A，先利用密度函数归一性求出A值。f(x，y)的非零值定义域记为D，则A=4.8#00026设随机变量X与Y相互独立，且同服从0，1上的均匀分布，试求：Z=|X-Y|的分布函数与密度函数*00026解:先求Z的分布函数Z的密度函数为 （12分）#00027设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,1002）
