1、主要考法有2个，一个是化简，另一个是证明，但考得最多的可能是最后一题的证明。这两题的证明方法是差不多的，都是通过两大步，一步是证明左面包含于右面，另一步是证明右面包含于左面，所以得出左右相等。对于每一步的证明，都是在一面中的任意元素x，如果能够证到它也属于另一面，那么前者包含于后者。例41 试证明集合等式A （BC）=（AB） （AC） 例42 试证明集合等式A （BC）=（AB） （AC）五、二元关系的概念1. 二元关系通俗的讲就是从二个集合中分别取出一个元素，构成的有序对的集合，如例51；2. 这二个集合也可以是同一个集合，这样的话，有序对的两个元素都从该集合中取。例51 设集合A=0,
2、1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 。例52 设集合A=1, 2, 3，R是A上的二元关系，则R的有序对集合为 。例53设集合A=0, 1, 2，B=1,2, 3, 4,，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 。六、二元关系的运算二元关系的集合运算也有并、交、补、差和对称差，如例1；二元关系还有逆运算和复合运算，注意复合运算gf实际上是f（g），如例2关于逆运算，如R，1, 3，则R3, 1 例61 设A=0，1，2，3，4，R=|xA，yA且x+y0，S=|xA，yA且x+y3，试求R，S，RS，R-1，S-1，r（R）例62设集合A=1，
3、2，3上的函数分别为：f=,3,3,，g=2,23,2,，则复合函数gf = 七、二元关系的性质这是一个非常重要的知识点，几乎是必考的。比如有一个集合A=a,b,c则1. 如果包含b,bc,c的二元关系的集合是具有自反性的；2. 如果二元关系中都不存在，则二元关系是反自反的；3. 如果集合中有，则一定有，那么这个集合是对称性的，当然这里的a和b是集合A中任意不相等的两个元素；4. 如果集合中有，则一定没有，那么这个集合是反对称的；5. 如果集合中有和，则一定包含，也就是找不出不满足它的反例也就说明集合具有传递性；例题如下：例71 集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系R=
4、|x+y=10且x, yA，则R的性质为（ ） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的例72 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有（ ）个 A0 B2 C1 D3例73 若A=1,2，R=|xA, yA, x+y=10，则R的自反闭包为 例74 集合A=1, 2, 3, 4上的关系R=|x=y且x, y A不是自反的 B不是对称的C传递的 D反自反例75判断下列各题正误，并说明理由如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2也是自反的。例76试证明：若R与S是集合A上的对称关系，则RS也是集合A上的对称关系 例77 对任意三个集合A
5、, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C 例78 设集合A=1，2上的关系R，则在R中仅需加一个元素 ，就可使新得到的关系为对称的例79设集合A=1，2上的关系R，则在R中仅需加入一个元素 ，就可使新得到的关系为自反的八、等价关系和序关系（主要考哈斯图）知识点：如R是集合A上的二元关系，如R是自反的、对称的和传递的，则称R是A上的等价关系；如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则称R是偏序关系。一般考偏序关系中的哈斯图，最主要是最大元、极大元、最小元和极小元。例81设A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合B的最大元
6、、最小元、上界、下界依次为 （ ） A8、2、8、2 B无、2、无、2 C6、2、6、2 D8、1、6、1例82设集合A=1，2，3，4，5，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（ ）A最大元 B极大元 C最小元 D极小元例83 判断下列各题正误，并说明理由：1） 若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在2） 若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在九、函数1、函数的概念，设f 是集合A到集合B上的二元关系，要满足以下两个条件：1）f的定义域是整个集合A； 2）对于集合A中任意元素a，在B中存在唯一元素b和它对应。（注意：对于B中元
7、素b可能在A中有2个以上元素和它对应，这个不要紧的）下面的例9、1和例9、2都考函数的概念。2、单射、满身和双射设f 是从集合 X 到集合 Y 的函数，则 对于Y中任意一个元素y，在X中都有唯一的元素x与之对应，称f为单射； 若f的值域是Y，则称f为满射； 若f 从X 到Y 既是满射又是单射，则称 f为从X 到Y的双射。3、反函数虽然没有考到，但也需要了解，复合函数见上面的六（2）例91 设A=a, b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=b，1，R3=，则（ ）不是从A到B的函数 AR1和R2 BR2 CR3 DR1和R3例92 设A=a，b，c，B=1，2
8、，作f：AB，则不同的函数个数为 例93设集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 。想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？，按照例2的思路，A中元素肯定要包括，所以应该是224。例94判断正误，并说明理由设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f （x）=x+6，则f是单射例95判断下列各题正误，并说明理由设集合A=1，2，B=3，4，从A到B的关系为f=，则f是A到B的函数二、图论知识点及例题整理一、握手定理，完全图1一个无向图中，结点的总度数是边数的2倍，注意其与树的定义结合出题。2. 在简单图G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完
9、全图记为Kn. 有n个结点的无向完全图Kn的边数为n（n-1）/2。例11 设图G，vV，则下列结论成立的是 （ ） Adeg（v）=2E B deg（v）=E C D例12 设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为 例13 证明：在一个连通图中，奇数度结点的个数为偶数个。二、邻接矩阵1 设G=是一个简单图，其中V=V1，V2，Vn，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵，其中：2设有向图G的邻接矩阵为A，A2中第i行第j列的元素即为从结点vi到结点vj长度为2的路的条数。A3中第i行第j列的元素即为从结点vi到结点vj长度为3的路的条数。A4中第i行第j列的元素即
10、为从结点vi到结点vj长度为4的路的条数。例21已知图G的邻接矩阵为 ，则G有（ ） A5点，8边 B6点，7边 C6点，8边 D5点，7边例2.2 P101例3一定要掌握。三、有向图的连通性1. 有向图中，任意一对结点之间至少有一个结点可达另一结点是单侧连通。2. 任何一对结点都相互可达是强连通。3. 略去有向图边的方向成为无向连通图是弱连通。例31 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是 （ ） A（a）是强连通的 B（b）是强连通的C（c）是强连通的 D（d）是强连通的四、无向图的连通性边割集和点割集1、点割集：通俗地说，在图中删除了这个集合中的所有结点与结
11、点关联的边后，图不连通；但少删除一个结点，图还是连通的，则称这个集合是点割集。如果集合只有一个点，称为割点。2、边割集：在图中删除了这个集合中所有边后，图不连通；但少删除一条边，图还是连通的，则称这个集合是边割集。如果集合只有一条边，称为割边。例41 如图一所示，以下说法正确的是 （ ） A（a, e）是割边 B（a, e）是边割集C（a, e） ,（b, c）是边割集 D（d, e）是边割集例42 如图一所示，以下说法正确的是 （ ）Ae是割点 Ba, e是点割集Cb, e是点割集 Dd是点割集 例43 图G如图一所示，以下说法正确的是 （ ） A（a, d）是割边 B（a, d）是边割集C
12、（a, d） ,（b, d）是边割集 D（b, d）是边割集五、补图与子图1、补图：一个图与它的补图的顶点是一模一样的，把这两个图合起来就是一个完全图。2、子图和生成子图：一个图G的子图G1的顶点和边都是原来图G的一部分，但图G的生成子图的顶点和原图G一模一样，边是原图的一部分。例51 设G是一个n阶完全图，n是大于等于2的奇数证明G与中的奇数度顶点个数相等（是G的补图）六、欧拉图1、欧拉通路（回路）：通过图 G 的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路（回路），存在欧拉回路的图就是欧拉图。具有欧拉通路但无欧拉回路的图称为半欧拉图。2、一个无向图 G 含有欧拉通路 图 G 是连通的，且 G
13、 有零个或两个奇数度的结点。3、一个无向图 G 是欧拉图（回路） 图 G 是连通的，且G 中每个结点度数均为偶数上述2和3是一个充分必要条件，也就是可以互相推出。例61判断下列各题正误，并说明理由（1）如图二所示的图G存在一条欧拉回路图二（2）如图所示的图G存在一条欧拉回路（3）如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图 例62 设完全图K有n个结点（n2），m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路Am为奇数 Bn为偶数 Cn为奇数 Dm为偶数例63 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 例64 设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图七、汉密尔顿图1、通过图 G
14、 的每个结点一次且仅一次的通路（回路），就是汉密尔顿通路（回路）存在汉密尔顿回路的图就是汉密尔顿图具有汉密尔顿通路但无汉密尔顿回路的图称为半汉密尔顿图解析：注意通过结点一次仅一次，边没有要求，通过一条边两次也可以，一次也不通过也行。2、设无向图 G = 是汉密尔顿图，对任意非空结点子集SV，存在 W （ G S ） |S|，其中 W （ G S） 是 （ G S） 中连通分支数（必要条件） 其实就是图中不存在割点。因为有割点的话，割点肯定要经过至少两次才能构成回路。注意：如果上述条件不满足，则图一定不是汉密尔顿图；但这个条件满足了，这个图不一定是汉密尔顿图。因为它只是必要条件，而不是充要条件。
15、3、在无向简单图 G = 中，若在G中每一对结点的度数之和都大于等于n，则在G中存在一条汉密尔回路。若在G中每一对结点的度数之和都大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路。这个条件满足了，图中一定有一条汉密尔顿回路；这个条件不满足，不能就说图不存在一条汉密尔顿回路，因为它只是充分条件。例71 若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 例72 若G是一个汉密尔顿图，则G一定是（ ） A平面图 B对偶图C欧拉图 D连通图八、平面图1、定义：一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交。知
16、道平面图中面、面的次数的概念。2、平面图的三个重要结论： 所有面的次数之和边的2倍。 欧拉公式：v-e+r=2，v为结点数，e为边数，r为面数。 e3v-6，e为边数，v为顶点数。例81设G是连通平面图，v, e, r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式 例82设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 例83 判断下列各题正误，并说明理由（1）设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面（2）设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图九、树的定义1、树的6个等价定义中最重要的一个是：图T连通且e=v-1，则图T是树。其中e是边数，v是结点数。2、其他如
17、（1）T 是无回路的连通图； （2） 图 T 无回路且 e v 1；也知道一下。例91结点数v与边数e满足 关系的无向连通图就是树例92若无向树T有5个结点，则T的边数为 例93 无向简单图G是棵树，当且仅当（ ）AG连通且边数比结点数少1 BG连通且结点数比边数少1CG的边数比结点数少1 DG中没有回路例94 设G是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去 条边，可以确定图G的一棵生成树例95 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树例96 已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为 例97 设正则m叉树的树叶数为t，分
18、支数为i，则（m-1）i= 十最小生成树1. 生成树：给定一个无向图G，若G的一个生成子图T是树，则称T为G的生成树。找生成树方法：找连通图且e=v-12. 最小生成树：在带权的图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树，称作最小生成树。3. 最小生成树的求法：避圈法：首先把握生成树中边数为结点数减1，依次选取最小的边，在选取中避免回路的产生。例1 01 图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= （a, b）, （a, c）, （a, e）, （b, d）, （b, e）, （c, e）, （c, d）, （d, e） ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G
19、的图形；（2）写出G的邻接矩阵 （3）求出G权最小的生成树及其权值例102已知带权图G如右图所示 （1） 求图G的最小生成树； （2）计算该生成树的权值十一、最优二叉树1、首先哈夫曼树是一棵带权二叉树，而且是叶子结点带权的树，哈夫曼树是构造出来的权重最小的带权二叉树。最优二叉树的权等于叶子结点的权乘以到树根的长度取和。例11.1画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权例112设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权例113试画一棵带权为2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权十二、综合题例12
20、1设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= （v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5） ，试（1）给出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形三数理逻辑知识点及例题整理一、命题公式的翻译第一类是直接由原子命题或者它的“非”构成的例1.1、将语句“他是学生”翻译成命题公式例1.2、将语句“今天没有人来” 翻译成命题公式例1.3、将语句“今天没有下雨”翻译成命题公式例1.4、将语句“他不去学校”翻译成命题公式第二类是由两个原子命题的“合取”（“与”）构成例1.5、将语句“尽管他接受了这个任务
21、，但他没有完成好”翻译成命题公式例1.6、将语句“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式例1.7将语句“小张学习努力，小王取得好成绩”翻译成命题公式第三类是一个原子命题是另一个的前提例1.8、将语句“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式例1.9、将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游”翻译成命题公式例1.10、将语句“如果你去了，那么他就不去”翻译成命题公式例1.11、将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消”翻译成命题公式例1.12、将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩”翻译成命题公式二、谓词公式的翻译其实谓词是命题的细化，也就是对每个原子命题公式也进行再细化。在公式
22、翻译时的注意点：1、只要是全称量词，则两个命题函数间一定是2、只要是存在量词，则两个命题函数间一定是例2.1、将语句“所有人都去工作”翻译成谓词公式例2.2、将语句“所有的人都学习努力”翻译成谓词公式例2.3、将语句“有人去上课” 翻译成谓词公式例2.4、设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ ）A（x）（A（x）B（x） B（x）（A（x）B（x） C（x）（A（x） B（x） D（x）（A（x）B（x）例2.5、设A（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）x）（A（x）B（x） B（x）（A（x）B（x）三、全称量词和存在量词的实例化
23、分析：也就是把用全称量词和存在量词进行抽象的语句用具体的一个个实例来描述。消除量词的规则为：设Da1, a2, , an，则例3.1、设个体域Da, b, c，则谓词公式（x）A（x）消去量词后的等值式为 例3.2、设个体域D1,2，则谓词公式消去量词后的等值式为 例3.3、设个体域D1,2，则谓词公式消去量词后的等值式为 例3.4、设个体域Da, b，则谓词公式（x）A（x）（x）B（x）消去量词后的等值式为 _ 例3.5、设个体域D1, 2, 3， P（x）为“x小于2”，则谓词公式（x）P（x） 的真值为 四、谓词推理书P204的4个规则，分别是US（全称指定）、UG（全称推广）、ES（
24、存在指定）、EG（存在推广）规则例4.1判断下列各题正误，并说明理由（1）下面的推理是否正确，试予以说明 （1） （x）F（x）G（x） 前提引入 （2） F（y）G（y） US（1）（2）试证明（x）（P（x）R（x） （x）P（x）（x）R（x）五、等价公式和真值表书P167的常用等价公式一定要抄在半开卷纸上，这类题目一般不会考一模一样的，所以要会运用常用公式。例5.1 命题公式的真值是 例5.2命题公式例5.3下列等价公式成立的为（ ）APQPQ BQPPQ CPP QQ DPP Q例5.4 下列等价公式成立的为（ ）APQPQ BP（QP） P（PQ） CQ（PQ） Q（PQ） DP（PQ） Q六、重言式、矛盾式和可满足式1. 重言式或永真式：对命题中变元的所有指派，命题公式都为真。2. 矛盾式或永假式：对命题中变元的所有指派，命题公式都为假。3. 可满足式：对命题中变元的所有指派，命题公式有真有假。例6.1下列公式 （ ）为重言式APQPQ B（Q（PQ） （Q（PQ） C（P（QP）（P（PQ） D（P（PQ） Q例6.2下列公式中 （ ）为永真式AAB AB BAB （AB） CAB AB DAB （AB）例6.3P（PQ）P为永真式七、范式1、析取范式和主析取范式 析取范式如（P Q） R，（P Q） （Q R
